并行计算有限元法与工程应用

并行计算有限元法与工程应用

作者：许凯

来源：《数字技术与应用》2010年第12期

摘 要:有限元法是解决复杂工程计算问题的重要数值方法,传统的有限元计算采用串行计算体系,了它的运算能力。采用并行计算的方法,不仅可以提高有限元数值运算的效率,还能扩大有限元方法的适用范围。

关键词:并行计算 有限元法 工程应用

中图分类号:O246 文献标识码:A 文章编号:1007-9416(2010)12-0084-01 1.概述

有限元法是现代工程设计和分析中的一种重要数值计算方法,利用该方法对工程问题进行数值计算和数值分析已成为结构设计中不可或缺的一个环节。随着科学技术的进步和生产的发展,工程结构的几何形状和荷载情况日益复杂,有限元法的应用也越来越广泛。目前,国内外有限元结构分析的计算程序发展很快,这些程序的规模从几万条到几十万条语句,其研制周期长达十几年,程序功能也很全面。但它们大多仍基于传统的串行计算机体系结构来设计,在解题的规模和速度上都受到很大的,束缚了它们在大型、超大型有限元结构分析中的应用。因此,将并行计算技术应用于有限元法中,必将更进一步提高有限元法在实际工程数值计算中的运算能力[1]。

一般来讲,有限元法处理结构分析问题的基本步骤大致可以分为数据准备阶段、单元分析阶段、单元装配阶段、约束处理阶段、方程组求解阶段以及后处理阶段。其中单元分析、单元装配和方程组的求解是有限元结构分析的关键[2]。

2.并行计算有限元方程组的形成 2.1 单元分析的并行计算

在结构的有限元数值计算中,有限元法将结构按某种原则剖分,以此对结构作单元分析。串行单元分析按单元顺序逐个进行,每分析完一个单元,就将其单刚矩阵迭加进总刚矩阵中,但是逐单元进行单元分析将花费大量时间,而单元分析阶段是可以实现并行化的,这是因为各单刚矩阵的计算仅仅与本单元的信息有关而不涉及其它单元。因此可以同时计算所有单元的单刚矩阵,而且单刚矩阵中各元素的计算也可以完全并行,这极大地提高了运算的速度。

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2.2 单元矩阵的并行装配

在完成了有限元模型的单元分析之后,需要通过装配总刚度矩阵来建立总平衡方程组以求各节点的位移。对于大型工程结构的分析问题,以往的串行有限元分析过程均不是在计算机内存中一次建立总平衡方程组,这是因为当问题规模极大,从而节点总数也很大时,总刚度矩阵的阶数太大,以至于在计算机内存中无法存储下来。对于这一问题,串行处理一般有两类方法,一种是采用把总刚度矩阵分块存储在外存中的方法,SAP系列程序就是采用这一方法。另一种使用波前法,其过程是边进行有限单元分析边消去,从而避免总刚度矩阵的生成,ANSYS程序系统采用了后一种方法。不过,这两种方法都需要内外存之间进行频繁的数据交换,所以进行一次较大规模问题的计算往往是很费时的。当在并行计算机上进行有限元分析时,由于现代大型并行机具备相当大的内存,所以在内存中一次形成总刚度矩阵是可能的,这为讨论总刚度矩阵的并行计算创造了条件。即使问题的规模大到不能在内存中装下总刚度矩阵,也可以考虑分块的办法,每块本身可以相当大,只要内存能装得下各分块,就可以使问题得到解决。

3.大型稀疏矩阵有限元方程组的并行处理

随着工程结构分析的问题愈来愈复杂,在结构分析中,为了保证数值解的精度,在用有限单元离散化处理时,往往要用大量的高阶单元将结构剖分得很密,这时相应的代数方程组的系数矩阵的阶数很高,即使用目前速度最快的串行机来进行求解,仍然十分费时,且问题的规模受内存容量。实践经验表明,有限元结构分析的大部分计算时间花费在求解离散方程上。有资料统计,即使是结构静力问题,方程组求解的计算时间都占整个问题求解时间的70％以上;对结构动力分析问题,由于在每一时间步上都要求解一次线代数方程组,这时花费在方程组求解上的时间在整个问题求解时间中所占的比例则更高。当计算的时间步较多时,方程组求解的时间甚至是决定性的。因此,在串行机上求解有限元分析问题,由于其运算速度和内存容量的,束缚了有限单元法在大型结构分析问题中的应用。大型并行机的出现则使大型结构分析的计算成为可能,如何结合大型并行机的特点研究相应的大型结构分析计算方法具有重大意义。而有限元方程组的求解作为有限元结构分析的一个关键过程,研究它的并行处理方法就更具现实意义。 目前,基于各类并行处理系统的并行有限元方程组求解方法发展很快,关于它们的研究与实践人们已做了大量工作,提出了一些适合不同计算机体系结构的并行方法,主要的方法有: (1)并行直接法:主要有并行Gauss-Jordan法,并行Gauss法,并行多波前法。其中,并行G-J法适用于自带存储器的多处理机系统,而并行Gauss法和多波前法则适用于共享存储器的多处理机系统 [1]。

(2)并行迭代法:在这一领域,研究最多的是并行预处理共轭梯度法。此外,将子结构技术,EBE技术应用到有限元方程组的并行直接法或并行迭代法中的研究也有了一定的发展。这些方法特别适合于共享存储的多处理机系统。

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4.并行有限元法在结构工程中的应用

目前我国正处在基础建设关键时期,开工建设了许多大型、超大型的工程项目。比如大型水利工程建设、重大交通工程建设以及超高层、大跨度结构的建设等。这些大型工程计算模型庞大、计算涉及的工程问题也很多,而工程计算的复杂性正是开发并行有限元计算方法的动力因素。这些大型工程涉及到许多复杂工程问题,如地质构造的问题、多场耦合问题、随机动力学问题、结构优化设计问题、结构非线性计算问题等,有限元计算是研究这些问题的有力工具。对于这些复杂的结构工程问题,有限元模型网格经常达到几十万甚至几百万。采用单个PC机需要的计算时间长,由于内存容量的,一些大的计算模型需要运算几天甚至几周时间。这显然不能满足工程计算对时间的要求,使得分析人员不得不减小计算规模,将网格划分得更粗,这样会导致有限元计算结果可靠性的降低。采用并行有限元就可以很好地解决这个问题。如果同一问题在一台计算机上需要100小时,那么采用10台计算机同时计算就可能在11个小时内完成,大大提高了计算的效率。除了计算速度的需求,计算精度要求的提高也使得并行有限元在结构工程中大有用武之地。由于并行计算将计算效率大大提高,有能力在有限时间内完成大量复杂计算,因此可以在有限元建模时将网格划分得更细,这样可以获得更高的计算精度以及计算分析所需要的更多计算信息。

由于能够同时解决计算规模和计算速度等问题,并行有限元计算在结构工程计算中将会发挥出越来越大的作用,随着工程分析的实际需求对计算的要求越来越高,它的作用也会越来越大。 参考文献

[1]周树荃,梁维泰,等.有限元结构分析并行计算[M].北京:科学出版社,1997. [2]王勖成.有限单元法[M].北京:清华大学出版社,2003.