（III）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.…），求数列{an}的通项公式。10.（2019•卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn=-a5 （1）若a3=4，求{an}的通项公式。（2）若a1≥0，求使得Sn≥an的n取值范围。
+1
=3an−bn+4 ， 4bn
+1
=3bn−an−4 .
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答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为q ， 所以a1≠0，q≠0.
44a2a2a4=a51q=a1qa1=1{2{4{
由 a3−a2+4a1=0 ，得 a1q−4a1q+4a1=0 ，解得 q=2 ．
因此数列 {an} 为“M—数列”.
（2）解：①因为
1Sn
=
22−bnbn+11
2
1
，所以 bn≠0 ． ，则 b2=2 .
+1
由 b1=1,S1=b1 得 由
1Sn
=1−b
2(bn
2
2
=
22−bnbn+
1
，得
Sn=
bnbn
+1−bn)
，
bnbn2(bn
+1+1−bn)
b=
当 n≥2 时，由 bn=Sn−Sn−1 ，得 n整理得 bn+1+bn−1=2bn ．
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n (n∈N②由①知，bk=k ， k∈N
*
*
−2(b−b
n
bn−1bn
n−1)
，
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
) .
.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1 ， 所以 q当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有 设
lnx(xf（x）= x
lnkk
k−1
≤k≤qk ，其中k=1，2，3，…，m.
≤lnq≤
lnkk−1 ．
>1)
，则
f '(x)=
1−lnxx2
．
令 f '(x)=0 ，得x=e.列表如下：xf '(x) f（x）因为
ln22
(1,e) +
e0极大值
(e，+∞)–
=
ln86
<
ln96
=
ln33
，所以
f(k)max=f(3)=
lnk
⩽lnqk
ln3
3 ．
取 q=
3
3 ，当k=1，2，3，4，5时，
k−1
k
，即 k≤q ，
经检验知 q≤k 也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
3 / 8
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3 ， 且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．
2.【答案】 （1）解： ∵ 等差数列 {an} 的公差 d∈(0,π] ，数列 {bn} 满足 bn=sin(an) ，集合 S={x|x=bn,n∈N ∴ 当
a1=0,d=
332π3
*
} ．
，
S={−2,0,2}集合 ．
a=（2）解： ∵ 1个元素，如图：
π2
，数列 {bn} 满足 bn=sin(an) ，集合 S={x|x=bn,n∈N
*
} 恰好有两
根据三角函数线，①等差数列 {an} 的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S 恰好有两个元素，此时 d=π ，
② a1 终边落在 OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a2 ， a3 的终边关于 y 轴对称，如图 OB ， OC ，
此时
d=
2π3
，
4 / 8
综上，
d=
2π3
或者 d=π ．
（3）解：①当 T=3 时， bn+3=bn ，集合 S={b1,b2,b3} ，符合题意．
②当 T=4 时， bn+4=bn ， sin(an+4d)=sinan ， an+4d=an+2kπ ，或者 an+4d=2kπ−an ，
d=
等差数列 {an} 的公差 d∈(0,π] ，故 an+4d=an+2kπ ，
kπ2 ，又 ∴ k=1,2
当 k=1 时满足条件，此时 S={−1,0,1} ．
③当 T=5 时， bn+5=bn ， sin(an+5d)=sinan ， an+5d=an+2kπ ，或者 an+5d=2kπ−an ，因为 d∈(0,π] ，故 k=1,2 ．当 k=1 时，
S={sin10,1,−sin10}+6
π
π
满足题意．
④当 T=6 时， bn=bn ， sin(an+6d)=sinan ，
所以 an+6d=an+2kπ 或者 an+6d=2kπ−an ， d∈(0,π] ，故 k=1,2,3 ．当 k=1 时，
S={2,1,2}+733 ，满足题意．
⑤当 T=7 时， bn=bn ， sin(an+7d)=sinan ，所以 an+7d=an+2kπ ，或者
an+7d=2kπ−an ， d∈(0,π] ， ，故 k=1,2,3
当 k=1 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π ， d=
2πm−n
=
2π7
， m−n=7 ， m>7 ，不符合条件．
当 K=2 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π ， d=
2πm−n
=
4π7
， m−n 不是整数，不符合条件．
当 K=3 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π 或者 4π ，
d=
2πm−n
=
6π7
，或者
d=
4πm−n
=
6π7
，此时， m−n 均不是整数，不符合题意．
综上， T=3,4,5,6 ．
3.【答案】 （1）设数列 {an} 的公差为d ， 由题意得 a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d ，解得 a1=0,d=2 ．从而 an=2n−2,n∈N由 Sn+bn,Sn (Sn解得
+1
+1
*
．
+2
+bn,Sn
+bn 成等比数列得
+2
+bn)2=(Sn+bn)(Sn
1
+bn) ．
bn=d(Sn
2
+1−SnSn+2)
*
．
2
所以 bn=n+n,n∈N
．
5 / 8
（2）
cn=
an2bn
=
2n−22n(n+1)
=
n−1n(n+
,n∈N1)
*
．
我们用数学归纳法证明．
⑴当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
*
⑵假设 n=k(k∈N) 时不等式成立，即 c1+c2+⋯+ch<2k ．那么，当 n=k+1 时，
c1+c2+⋯+ck+ck<2k+
2k+1+
k+1
<2k+
k
(k+1)(k+2)
<2k+
1k+1
=2k+2(k+1−k)=2k+1
．
*
即当 n=k+1 时不等式也成立．
根据（1）和（2），不等式 c1+c2+⋯+cn<2n 对任意 n∈N
成立．
4.【答案】 解：（Ⅰ）解：设等差数列 {an} 的公差为d，等比数列 {bn} 的公比为q依题意，得 {
3q=3+2dd=3n−12{=3n . 3q−15+4d ，解得 q=3 ，故 an=3+3(n−1)=3n,bn=3×3
n
{a}a=3n{b}b=3nnnn所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解： a1c1+a2c2+⋯+a2nc2n
⋯+a2n−1)+(a2b1+a4b2+a6b3+⋯+a2nbn)
= (a1+a3+a5+ =[n×3+
n(−1)2
×6]+(6×31+12×32+18×33+⋯+6n×3n)
=3n2+6(1×31+2×32+⋯+n×3n) Tn=1×31+2×32+⋯+n×3n . ①3Tn=1×32+2×33+⋯+n×33②-①得， 所以， =
2
+1
， ②
+1
=2Tn=−3−3−⋯−3n+n×3n
2
=−
2
3(1−3n)1−3
=
(2n−1)3n
2
(2n−1)3n
2
+1
+3
.+1
a1c1+a2c2+⋯+a2nc2n=3n+6Tn=3n+3×
+2
+3
(2n−1)3n+6n2+9
2
(n∈N
*
)
5.【答案】 解：（Ⅰ）设等差数列 {an} 的公差为 d ，等比数列 {bn} 的公比为 q .依题意得 {
6q=6+2d,d=3,n−1{2=3×2n . 6q=12+4d, 解得 q=2, 故 an=4+(n−1)×3=3n+1, bn=6×2
n
{a}b=3×2a=3n+1,{b}nnnn所以， 的通项公式为 的通项公式为 .
an(cn−1)=ax(bn−1)=(3×2n+1)(3×2n−1)=9×4n−1
2（Ⅱ）（i） 22 .
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所以，数列 （ii）
{an(cn−1)}
2
2
an(cn−1)=9×4n−1
的通项公式为 22 .
+ai(ci−1)]=
∑i
2n
ac
=1ii
=
∑i=1[ai
×3)+
n−2n−1
2n
∑i
2n
a=1i
+
∑i=1a2i(c2i−1)
n
=(2n×4+=(3×2=27×2
2n−12n−1
2n(2n−1)
2
∑i=1(9
n
×4i−1)
−n
*
+5×2+5×2
)+9×
4(1−4n)1−4
)
−n−12 (n∈N
6.【答案】 （1）解：设 {an} 的公比为q，由题设得
22
2q=4q+16 ，即 q−2q−8=0 .解得 q=−2 （舍去）或q=4.
因此 {an} 的通项公式为 an=2×4
n−1
=2
2n−1
.
2
（2）由（1）得 bn=(2n−1)log22=2n−1 ，因此数列 {bn} 的前n项和为 1+3+⋯+2n−1=n .
7.【答案】 解：（I）根据三者成等比数列，
2
可知 (a3+8)=(a2+10)(a4+6) ，
2
故 (−10+2d+8)=(−10+d+10)(−10+3d+6) ，
解得d=2，
故 an=−10+2(n−1)=2n−12 ；（Ⅱ）由（I）知
Sn=
(−10+2n−12)⋅n
2
=n2−11n
，
该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时， Sn 取最小值-30.8.【答案】 （1）解：由题设得 4(an
+1
+bn
+
a1)=2(an+bn) ，即 n
1
+1
+bn
+1
=2(an+bn)
．
1
又因为a1+b1=l，所以 {an+bn} 是首项为1，公比为 2 的等比数列．由题设得 4(an+1−bn+1)=4(an−bn)+8 ，即 an+1−bn+1=an−bn+2 ．
又因为a1–b1=l，所以 {an−bn} 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，
1
an+bn=
12
n−1
， an−bn=2n−1 ．
12n
所以
an=2[(an+bn)+(an−bn)]=
+n−2
，
7 / 8
1
bn=2[(an+bn)−(an−bn)]=
112
−n+n
1
2
．
9.【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II）设数列 {an} 的长度为q的一个递增数列为 ai1,ai2,ai3,...,aiq, 且 aiq=an0 ；设数列 {an} 的长度为p的一个递增数列为 aj1,aj2,aj3,...,ajp, 且 ajp=am0 ；因为pajp ，即 an0 > am0 ;（III）10.【答案】 （1）解：设 {an} 的公差为d ． 由 S9=−a5 得 a1+4d=0 ．由a3=4得 a1+2d=4 ．
于是 a1=8,d=−2 ．
因此 {an} 的通项公式为 an=10−2n ．
an={
n+1,n=2k−1
n−1,n=2k(k∈N
∗
)
（用数学归纳法证明即可）.
a=(n−5)d,Sn=
（2）由（1）得 a1=−4d ，故 n
n(n−9)d
2
.2
由 a1>0 知 d<0 ，故 Sn⩾an 等价于 n−11n+10⩽0 ，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是 {n|1⩽n⩽10,n∈N} ．
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