第26卷第6期
2010年12月
阿\"弘方学阮号称(自然科学版)
v。1．26N。．6
ebeiNorthUdition)Dec．2010JournalofHniversity(NaturalScienceE
对流扩散方程的非标准无网格
局部Petrov-Galerkin法
代
鸿
，
李茂军2
(1．重庆大学城市科技学院基础部，重庆402167；2．重庆大学数学与统计学院，重庆400044)
摘要：用无网格局部Petrov-Galerkin法求解对流占优的定常对流扩散方程将出现数值伪震荡．将Stream—
lineUpwindPetrov-Gaterkin
Method和GalerkinLeast-SquaresMethod中的稳定化思想引入无网格局部Petrov-
Galerkin法，构造了两种非标准无网格局部Petrov-Galerkin法，均能很好的消除对流占优时的数值伪震荡．数值算例显示了方法的可行性和有效性．
关键词：对流扩散方程；数值伪震荡；无网格局部Petrov-Galerkin法
中图分类号：0241．82
文献标识码：A
文章编号：1673—1492(2010)06—0020—04
Nonstandard
Meshless
LocalPetrov—galerkin
Method
forSolvingConvectionDiffusionEquation
DAIHon91．LIMao—jun2
(1．Department
ofBasicCourses，CityCollegeofScienceandTechnology，Cniversity，hongqingU
Chongqing402167，China；2．CollegeofMathematicsandStatistics，ChongqingUniversity，Chongqing400044，China)
ericalsolutionstothestationaryconvectiondiffusionproblemithdominantAbstract：Numsw
tivetermbythemeshless10calPetrov—Galerkinmethodper，based
on
are
convec—
corruptedbyspuriousoscillations．Inthis
pa—
theideasoftheStreamlineUalerkinmethodandtheGalerkinLeast—SquarespwindPetrov—G
are
method．tWOnonstandardmeshlesslocalPetrov—Galerkinmethods
convectiondiffusionproblemithdominantsw
developed
to
solvethe
stationary
convectivetermintwodimensions．Thetwomethodsavoid
are
thenumericalspuriousoscillationswhentheconvectivetermiSdominant．Numericalexamplested
to
presen—
illustratefeasibilityandefficiencyofthetWOmethods．
eshlessspuriousoscillations；m
local
Petrov-
ords：convection-diffusionequation；numKeywerical
Galerkinmethod
对流扩散方程Ll’2]在流体力学、气体动力学等领域有着广泛的应用．通常，当对流项占优时，用传统的Galerkin有限元法或有限体积法求解会出现数值伪震荡．近年来，许多研究工作者已经提出了多种方法来避免数值震荡现象，例如Streamline有限体积法等[3。]．
SUPG法和GLS法在Galerkin有限元变分公式中增加了稳定项，当问题的精确解光滑时，数值解精度高，稳定性好[3曲J．然而当精确解具有边界层效应时，数值伪震荡仍然存在．因而构造一种既能消除数
ethod(SUPG)，GalerkinLeastUpwindPetrov-GalerkinM
ethod(GLS)，Streamlineandapproximethod，ConstantgradientSquaresMateupwind／Petrov-Galerkinm
值伪震荡又能在问题的精确解光滑时保持S咿G和GLS的数值精度的方法具有很大的挑战性．E
．G．D．doCarmo等人在SUPG法的基础上，提出了SAUPG方法，解决了上面的困难，然而这种方法是一种非线性方法．孙小华等[8]应用无单元Galerkin方法成功求解对流占优对流扩散问题，而且该方法是一种无需网格的线性方法．
来稿日期：2010—06—17
作者简介：代鸿(1983-)，男。四川渠县人，重庆大学城市科技学院教师．
20
2010年12月
代鸿等：对流扩散方程的非标准无网格局部Petrov—Galerkin法第6期
无网格局部Petrov-Galerkin方法(MLPG)[9。113采用基于点的近似，对未知函数采用移动最dx--乘近似，积分时不需要背景网格，只须在规则的子区域上进行，因而处理方便，是一种真正的无网格法，且算法简单，易于程序实现．本文将SUPG法和GLS法的稳定化思想引入MLPG法，构造了非标准MLPG法，并应用于定常对流扩散方程．数值算例表明该方法既保持了SUPG法和GLS法的数值精度，又消除了数值伪震荡，同时该方法也是一种线性方法．1
基本公式
考虑如下的定常对流扩散问题：
口(z)“=石
Vu(z)一矿
(忌Vu(z))一厂(z)
z∈．0
(1)(2)(3)
z∈Lz∈L
92，z‘忌玩=足詈一石
位外法线向量，11一L+L为区域n的边界．
其中口(z)为对流速度，k为扩散系数且是>o，f为源项，n为R4(d=1，2，3)中的有界区域，咒为单
根据无网格局部Petrov-Galerkin法f9]，在任意的局部子域晓Ct2上建立积分弱形式，并采用罚因子法施加本质边界条件得：
(4)
』qv[n观一矿(志Vu)一力d以--a』气y(u---d)d／\"=0
其中5=1，2，…，N，N为局部子域个数，凡=nnDt2；，口是一个罚因子，以施加本质边界条件．
可是具有局部紧支性的权函数，本文取三次样条函数：
f2／3——4r2+4，
r≤三1／2
(5)
v(r)=J4／3--4r+4r2--4r3／3l／2<，≤l
10
联合(3)，(．4)式得：
r>1
』q(va吼+乳(志矿“))dO一』叱v(9+a“)d11=』qv∥力+fLp私r一口』r螂y动工1其中R=r口nan，，这里利用了权函数在L，一an，一几一n上为0．令
A舰州(犯，y)一Jn，(y口‘吼+函
F舰P6(V)2
(6)
(壶矿“))如一J
Lp(q+a“)dJl
(7)(8)
J
q”Ⅳ力+J气”qdI\"--aJ乙VudF
则(6)式化简为：
AmPG(U，y)一F舰肌(y)
(9)
当对流项占优时，直接求解(9)式会出现数值伪震荡，这一点可从后面的数值算例看出．为了获得稳定的数值解，本文基于A．N．Brooks，tJ．R．Hughes等人提出的SUPG，GLS稳定化方法，分别在(9)式两端加入稳定项得：
、
SUPG稳定化方法：A帆PG(U，v)+AmH；(U，v)一F地PG(p)+F黜(y)
GLS稳定化方法：A舰PG(“，p)+A伍s(“，v)一F帆PG(p)+Fa．s(y)其中：
(10)(11)(12)(13)
A双腆；(“，u)一』n．[口吼一矿(足Vu)]PSUPGdt2
F5UPG(u)一Jn．P剐vofdt2
‰j一器P掣，一尚卜Vv)
A—max／o，1一等l
I
n
Ⅲ，
(15)
J
A缸s(“，口)一Jn．[口驴“一V(忌Vu)-]P乱sda
(16)(17)
艮s(口)一Jo．P6Ls∥n
R，为节点S(s=1，2，…，N)的影响域半径．
‰一貉p掣，一南][n．乳一可m矿洲
㈣，
21
-
2010年12月河北北方学院学报(自然科学版)第6期
本文将上述两种稳定化方法分别记为MSUPG法和MGLS法，并统称为非标准无网格局部Petrov-Galerkin法．2
数值算例
为检验算法的有效性，我们考虑如下问题：
口(z)
Vu(z)一矿
(忌Vu(z))=O
z一(zl’z2)∈o
u(0，z2)一1，甜(1，z2)一0
O≤z2≤1o嚣(z。，0)=dou咒(z。，1)一o21矿
其中0=(o，1)×(O，1)，口=(1，0)，分别取k----0．1，0．05，0．01，在上述假设下，问题有解析解：u(xl，z：)
矿1雎一el／‘
1．51．51．5
O．50．5
0．5
O
0
OO
0
0．5
1
I．5
0
0．5
l
1．5
0．5l1．5
圈1a(MLPG法)Pe=10圈1b
IMI。PG法)Pe=20
图1c(MLPG法)pe=-100
1．5
1．51．5
0．5
O．5
0．5
O
0
0．5l
1．5
O
0
0．5
l
1．5
O00．5l1．5
图2a(MSUPG法)Pe-----10图2b(MSUPG法)Pe=20图2
c
IMSUPG法)Pe=100
1．5
1．51．5
O．5
O．5O．5
O0
0．5
l
1．5
O
0
0
O．5
l
1．50豳3
0．5l1．5
圈3a【MGLS法lPe=10图3b(MGLS法)Pe=20
c
IMGLS法)Pe=100
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2010年12月代鸿等：对流扩散方程的非标准无网格局部Petrov—Galerkin法
第6期
该算例对Peclet数(P。一I
a
k)非常敏感，常用来检验各种算法的优劣．为求解(9)，
(10)，
(11)式，我们在区域力上布置121(11×11)个规则节点，对未知函数U采用移动最小二乘近似[9，10]．图1，图2，图3分别显示了三种方法(MLPG法，MSUPG法，MGLS法)沿z：=o．5时的计算结果与精确解．从图中可以看出当Peclet数较小时，三种方法都可以得到很好的结果，当Peclet数较大时，MLPG法出现数值伪震荡，而MSUPG法与MGLS法仍然可以得到比较精确的结果，这说明了本文方法的有效性．3
结’论
本文分别将SUPG法和GLS法的稳定化思想引入无网格局部Petrov-Galerkin法，构造了两种非标准
无网格局部Petrov-Galerkin法(即MSUPG法，MGLS法)，并应用于定常对流扩散方程．数值实验结果表明：MSUPG法与MGLS法采用基于点的近似，不需要背景网格，前后处理方便，且算法简单，易于程序实现；由于未知函数采用移动最小二乘近似，因而具有高阶连续函数性质，在计算时稳定项中的二阶导数不会消失，从而保证了数值稳定性和计算精度；当对流项不占优时，三种方法均可以得到很好的结果，当对流项占优时，由于MLPG法没有对二阶导数进行控制，因而出现了数值伪震荡，MSUPG法与MGLS法在MLPG法的基础上增加了不同的稳定项，均对二阶导数进行了控制，因而消除了数值伪震荡．参考文献：
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[责任编辑：刘守义]
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