安徽省合肥市第一六八中学2014-2015学年高二数学下学期期末(暨新高三升学)考试试题 理

新高三升学）考试试题 理

本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题，共50分）

一、 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D

四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）

12i1．设复数z满足i，则 z=（ ）

zA．2i

B．2i

C．2i

D．2i

 2．设a,b是两个非零向量，则“ab0”是“a,b夹角为钝角”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．执行如右图所示的程序框图,若输出s的值为22，那么输入

的n值等于（ ） A．6

B．7

D．9

C．8

4. 某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )

3333A. 2cm B. 3cm C. 33cm D. 3cm

5.已知x1的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若

nx1na0a1x1a2x1anx1，则a1等于

2n( )

A、－14 B、448 C、－1024 D、－16 6.若函数fx2sinx0的图象在0,3上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是( ) 2A、,1

3215B、,

2624C、,

3335D、,

447. 已知抛物线C：y8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的

一个交点，若FP3FQ，则|QF|=( )

85A. B. C. 3 D. 2

328. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同

1

类节目不相邻的排法种数是（ ） A．72 B．168 C．144

D．120

9. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(x)f(x)，f(2)3，数列

32an满足a11，且SnnA．3

2an1，（其中Sn为an的前n项和），则f(a5)f(a6) n( )

B．2 C．3 D．2

|x|(x+4)210.已知函数f(x)= (x≠-2),下列关于函数g(x)f(x)f(x)a（其中a为常

x+2

数）的叙述中：①a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是01. 其中真命题的序号是( ) 4A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置） 11.若椭圆的方程为

+

=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a= ．

12.某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个．为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本．现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为 ．

13.实数x、y满足x+2xy+y+4xy=4，则x﹣y的最大值为_____________

14.对于函数f（x）定义域D内的值x0，若对于任意的x∈D，恒有f（x）≥f（x0）（或f（x）≤f（x0）成立，则称x0是函数f（x）的极值点．若函数f（x）=2sin（，1）内恰有一个极值点，则m的取值范围为 ．

AD 的中点）15. 如图，四边形ABCD是正方形，以AD为直径作半圆DEA（其中E是，若

2

2

22

（m＞0）在区间

动点P从点A出发，按如下路线运动：ABCDEAD，其中、R)，则下列判断中： APAB2A(ED C

P ①不存在点P使1；②满足2的点P有两个；

③ 的最大值为3； ④ 若满足k的点P不少于两个，则

k(0,3).

E A

第15题图

B

正确判断的序号是 .（请写出所有正确判断的序号）

三、解答题：（本大题共6题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2

16．(本小题满分12分)已知函数f(x)2cos(6x3)(0x5)，点A,B分别是函数

yf(x)图象上的最高点和最低点．

（1）求点A,B的坐标以及OAOB的值；

（2）设点A,B分别在角,(,[0,2])的终边上，求sin(22)的值．

17．(本题满分12分)合肥滨湖湿地公园五一期间举办投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每

人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示,其中阴影区域的边界曲

线近似为函数yAsinx的图像）．每队有３人“成功” 获一等奖，２人“成功” 获二等奖，１人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（）求某队员投掷一次“成功”的概率；

（）设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望．

18．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形. （1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF； （2）求证：EF//平面ABCD.

19. (本小题满分13分)

A

D B

C

E F x2y26如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:221(ab0)的离心率为，直ab3线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点. 当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时， 弦AB的长为（1）求椭圆C的方程；

3

26. 3（2）若点E的坐标为(3,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O211为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出yEA2EB2A的直线交椭圆C于另一点P，求PAB的面积； （3）是否存在点E，使得

该定值；若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分13分)设函数f(x)lnx，g(x)PBF1OEF2xm(xn)(m0). x1第19题 （1）当m1时，函数yf(x)与yg(x)在x1处的切线互相垂直，求n的值； （2）若函数yf(x)g(x)在定义域内不单调，求mn的取值范围； （3）是否存在实数a,使得f(2ax)f(eax)f()0对任意正实数x恒成立？若存在，x2a求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由.

21. (本小题满分13分)

设函数fn（x）=x++c（x∈（0，+∞），n∈N，b，c∈R）．

（1）当b=﹣1时，对于一切n∈N，函数fn（x）在区间（，1）内总存在唯一零点，求c的取值范围；

（2）若f2（x）区间[1，2]上是单调函数，求b的取值范围；

（3）当b=﹣1，c=1时，函数fn（x）在区间（，1）内的零点为xn，判断数列x1，x2，„，xn，„的增减性，并说明理由．

*

n

*

4

理科答案

一．选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C B B B A D C B 二．填空题

11.4或8 12.12 13 14 [，]∪[，）∪（1，2）

15②③

三解答题

17、解：（）由题意知：S矩形1010100，

Sπ阴影205sinxdx20

记某队员投掷一次 “成功”事件为A， 则P(A)S阴影S20矩形10015 （）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4.

13112P(X1)C335(15)0125， P(X2)C2111235(15)125， 10P(X3)C11124801335(15)125，P(X4)C135(15)125 即X分布列为：

X 1 2 3 4

5

P(X)

1 12512 12548 125 125所以，X的期望EX11124817234 125125125125518. 18．（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE，

∴AE⊥CD又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF，又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF„„„6分 （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD

又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF 又∵AB平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，∴AB//EF 又∵EF平面ABCD，AB平面ABCD，∴EF//平面ABCD.„„„12 19.解：（1）由

c622，设a3k(k0)，则c6k，b3k， a3x2y2所以椭圆C的方程为221，因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，

9k3k即xAxB6k，代入椭圆方程，解得yk，于是2k266，即k， 33x2y21 所以椭圆C的方程为62x2y21，解得y1，因点A在第一象限，从而A(3,1)， （2）将x3代入62由点E的坐标为(2233，直线PA的方程为y,0)，所以kAB(x)，

223337,)， 55联立直线PA与椭圆C的方程，解得B(又PA过原点O，于是P(3,1)，PA4，所以直线PA的方程为x3y0，

所以点B到直线PA的距离h

3735523313363，SPAB4 2555 6

（3）假设存在点E，使得

11为定值，设E(x0,0)， EA2EB2122x021111当直线AB与x轴重合时，有， 222222EAEB(6x0)(x06)(6x0)当直线AB与x轴垂直时，

11EA2EB22x022(1)66，

6x02122x0266由，解得，2， x3022226x0(6x0)6x0所以若存在点E，此时E(3,0)，

11为定值2. EA2EB2根据对称性，只需考虑直线AB过点E(3,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 又设直线AB的方程为xmy3，与椭圆C联立方程组，

化简得(m23)y223my30，所以y1y2323myy，， 1222m3m3又

1111， EA2(x13)2y12m2y12y12(m21)y12(y1y2)22y1y21111所以， EA2EB2(m21)y12(m21)y22(m21)y12y22112. EA2EB211综上所述，存在点E(3,0)，使得为定值2 22EAEB将上述关系代入，化简可得. 20．解：（1）当m1时，g(x)1n1nx1k，在处的切线斜率， yg(x)4(x1)2由f(x)

11n11，n5. ，yf(x)在x1处的切线斜率k1，x4（2）易知函数yf(x)g(x)的定义域为(0,)，

又yf(x)g(x)1m(1n)x2m(1n)x1x(x1)2x(x1)22x2m(1n)(x1)21x，

7

由题意，得x2m(1n)21的最小值为负，m(1n)4（注：结合函数x(m(1n))2m(1n)4，，yx2m(1n)x1图象同样可以得到）

4m(1n)4，mn3（注：结合消元利用基本不等式也可）.

（3）令(x)=f(2ax)feax(f)(ax)x2aaaxln2xxlna，ln其中ln2x0a, 0则(x)aln2aalnxa11，设(x)aln2aalnxa xx(x)ax1ax10 x2x2(x)在(0,)单调递减，(x)0在区间(0,)必存在实根，不妨设(x0)0

即(x0)aln2aalnx0a110，可得lnx0ln2a1（*） x0ax0(x)在区间(0,x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减，所以(x)max(x0)，

(x0)(ax01)ln2a(ax01)lnx0，代入（*）式得(x0)ax0根据题意(x0)ax012 ax0120恒成立. ax011时,等式成立 2,当且仅当ax0ax0ax0又根据基本不等式,ax0所以ax011121、 2,ax01x0.代入（*）式得,lnln2a,即2a,aaaa2ax0(以下解法供参考，请酌情给分)

解法2：(x)axln2aaxlnxlnxln2a(ax1)(ln2alnx)，其中x0,a0 根据条件f(2ax)f(eax)f()0对任意正数x恒成立 x2a即(ax1)(ln2alnx)0对任意正数x恒成立

8

ax10ax1011ln2alnx0且ln2alnx0，解得x2a且2ax，

aaa0a0即

12x2a时上述条件成立此时a. a2解法3：(x)axln2aaxlnxlnxln2a(ax1)(ln2alnx)，其中x0,a0 要使得(ax1)(ln2alnx)0对任意正数x恒成立，

等价于(ax1)(2ax)0对任意正数x恒成立，即(x)(x2a)0对任意正数x恒成立，

设函数(x)(x)(x2a)，则(x)的函数图像为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，

因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即

n

1a1a122a，所以a a221.解：（1）当b=﹣1时，fn（x）=x﹣+c在区间（，1）内有唯一零点， 因为函数fn（x）=x﹣+c在区间（，1）上是增函数， 所以f（）＜0且f（1）＞0； 即由

﹣2+c＜0且c＞0，

﹣2+c＜0对于n∈N恒成立得c＜；

*

n

所以c的取值范围为（0，）．

（2）f2（x）=x++c在区间[1，2]上是单调函数，设1≤x1＜x2≤2，

2

f2（x1）﹣f2（x2）=（x1﹣x2），

由题知x1x2（x1+x2）﹣b＞0或x1x2（x1+x2）﹣b＜0对于1≤x1＜x2≤2恒成立，

因为2＜x1x2（x1+x2）＜16， 所以b≥16或b≤2．

（3）数列x1，x2，„，xn，„是递增数列，证明如下： 当b=﹣1，c=1时，fn（x）=x﹣+1，fn+1（x）=x﹣+1，

n

n+1

9

fn（x）在区间（，1）上的零点是xn， 所以fn（x）=xn

n﹣

+1=0；

由＜xn+1n＜1知，xn＜xn， 所以fn+1

n

n+1（xn）=xn﹣

+1＜xn﹣

+1=0，

设fn+1（x）在区间（，1）上的零点为xn+1， 所以fn+1（xn+1）=0， 即fn+1（xn）＜fn+1（xn+1）；

又函数fn+1

n+1（x）=x﹣+1在区间（，1）上是增函数，所以xn＜xn+1；

即数列x1，x2，„，xn，„是递增数列．

10