2024届山西省晋中学市榆次区数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．二次函数yx4x5的图象可以由二次函数yA．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 2．若关于的一元二次方程A．0或4

B．4或8

22x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）

有两个相等的实数根，则的值为（ ） C．0

D．4

3．方程x22x30变为xab的形式，正确的是（ ） A．x14 C．x13 4．已知下列命题: ①若x3，则x3；

②当ab时，若c0，则acbc；

③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； ④矩形的两条对角线相等.

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

22B．x14 D．x13

225．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A．501x70 C．701x50

22B．501x70 D．701x50

226．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）

A．C．

B．D．

7．正五边形的每个内角度数为（ ） A．36°

B．72°

2C．108° D．120°

8．如图，抛物线yaxbxc与x轴交于点1,0，对称轴为x1，则下列结论中正确的是（ ）

A．a0

B．当x1时，y随x的增大而增大 C．c0

D．x3是一元二次方程ax2bxc0的一个根

9．如果用线段a、b、c，求作线段x，使a:bc:x，那么下列作图正确的是（ ）

A． B．

C． D．

12x2x5化成ya(xh)2k的形式为（ ） 21122A．y(x4)3 B．y(x4)1

2210．将二次函数y1C．y(x2)23

212D．y(x2)1

211．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．

12．若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数yA．y1＜y2

B．y1≤y2

kk0的图象上，则y1、y2的大小关系为 xD．y1≥y2

C．y1＞y2

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．

14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（

5，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____． 3

15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且

OE4FG，则______． EA3BC

16．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式ht212t20，则火箭升空的最大高度是___m

17．因式分解：a34a_______________________．

18．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________.

三、解答题（共78分）

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0,7)，与反比例函数y相交于点A(1, a)． （1）求直线AB的解析式；

（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求ACD的面积； （3）设直线CD的解析式为ymxn，根据图象直接写出不等式mxn8在第二象限内的图象x8的解集． x

20．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=点．

（1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式

3kx+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两

x43kx+b＞的解集；

x4（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

21．（8分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）

（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．

22．（10分）台州人民翘首以盼的乐清湾大桥于2018年9月28日正式通车，经统计分析，大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为80千米/小时，研究证明：当20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度；

（2）在某一交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量车流速度车流密度，求大桥上车流量y的最大值．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；

（3）若抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

24．（10分）某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．

（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 25．（12分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

26．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行902km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．

参

一、选择题（每题4分，共48分） 1、C

【解题分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将yx4x5转化为顶点式，与原式y加右减，上加下减，即可得到答案

【题目详解】解：∵yx24x5=x21，∴ yx24x5=x21的图形是由y平移2个单位，然后向上平移1个单位 【题目点拨】

本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目 2、D

【解题分析】根据已知一元二次方程有两个相等的实数根得出k≠0，【题目详解】因为关于的一元二次方程

，所以

【题目点拨】

此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式解答. 3、B

【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果． 【题目详解】方程移项得：x2﹣2x=3， 配方得：x2﹣2x+1=1，即（x﹣1）2=1． 故选B． 【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 4、B

【分析】先写出每个命题的逆命题，再分别根据绝对值的意义、不等式的性质、直角三角形的性质和判定、矩形的性质和判定依次对各命题进行判断即可．

【题目详解】解：①的原命题：若x3，则x3，是假命题；①的逆命题：若x3，则x3，是真题，故①不符合题意；

②的原命题：当ab时，若c0，则acbc，根据不等式的基本性质知该命题是真命题；②的逆命题：当ab时，若acbc，则c0，也是真命题，故②符合题意；

．故选D．

有两个相等的实数根，所以

，

，求出k的值即可．

222x2对比，利用口诀左

x2的图形，向左

③的原命题：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；③的逆命题：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，也是真命题，故③符合题意；

④的原命题：矩形的两条对角线相等，是真命题；④的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，故④不符合题意．

综上，原命题与逆命题均为真命题的是②③，共2个，故选B． 【题目点拨】

本题考查了命题和定理、实数的绝对值、不等式的性质、直角三角形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识，属于基本题目，熟练掌握以上基本知识是解题的关键． 5、B

【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程． 【题目详解】解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x）， 2019年的产量为50（1+x）（1+x）=50（1+x）2， 即所列的方程为：50（1+x）2=1． 故选：B． 【题目点拨】

此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 6、A

【解题分析】解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成B选项的影子； 将矩形木框与地面平行放置时，形成C选项影子； 将木框倾斜放置形成D选项影子；

根据同一时刻物高与影长成比例，又因矩形对边相等，因此投影不可能是A选项中的梯形，因为梯形两底不相等． 故选A． 7、C

【解题分析】根据多边形内角和公式：180n2，得出正五边形的内角和，再根据正五边形的性质：五个角的角度都相等，即可得出每个内角的度数. 【题目详解】解：180525=108 故选：C 【题目点拨】

本题考查的是多边形的内角和公式以及正五边形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.

8、D

【解题分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，与y轴的交点在正半轴可得c是正数，根据二次函数的增减性可得B选项错误，根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，从而得解．

【题目详解】A、根据图象，二次函数开口方向向下，∴a＜0，故本选项错误； B、当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；

C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，故本选项错误； D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（−1，0），对称轴是x＝1， 设另一交点为（x，0）， −1＋x＝2×1， x＝3，

∴另一交点坐标是（3，0），

∴x＝3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， 故本选项正确． 故选：D． 【题目点拨】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与x轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键． 9、B

【分析】利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论． 【题目详解】A、a：b=x：c与已知a：b=c：x不符合，故选项A不正确； B、a：b=c：x与已知a：b=c：x符合，故选项B正确； C、a：c=x：b与已知a：b=c：x不符合，故选项C不正确； D、a：x=b：c与已知a：b=c：x不符合，故选项D不正确； 故选：B． 【题目点拨】

本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 10、C

【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．

【题目详解】y12x2x5 21(x24x)5 21(x24x4)52 21(x2)23 2故选：C． 【题目点拨】

本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键． 11、A

1AE•AD=2x（0≤x≤2）， 21112当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF=x4-(x2)=-x+3x（2＜x≤4），

222【题目详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=图象为：

故选A． 12、C

【解题分析】根据反比例函数图象的增减性进行判断： 根据反比例函数yk k0的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

x当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵反比例函数的解析式y

k

中的k＞0，∴点A（1，y1）、B（1，y1）都位于第四象限． x

又∵1＜1，∴y1＞y1．故选C．

二、填空题（每题4分，共24分） 13、

1． 2【解题分析】试题分析：根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解． 试题解析：连接AB，

由画图可知：OA=0B，AO=AB

∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴cos∠AOB=cos60°=

1． 2考点：1．特殊角的三角函数值；2．等边三角形的判定与性质． 14、1

【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．

【题目详解】由图象可知点B2020在第一象限， ∵OA=

5，OB=4，∠AOB=90°， 32222513，

∴ABOBOA433∴OA+AB1+B1C2=

513++4=10， 33∴B2的横坐标为：10，

同理：B4的横坐标为：2×10=20， B6的横坐标为：3×10=30，

∴点B2020横坐标为：故答案为：1． 【题目点拨】

本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力． 15、

2020101． 24 7OE4， EA3【解题分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【题目详解】

四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且

OE4， OA7FGOE4， 则

BCOA74故答案为：．

7【题目点拨】

本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键. 16、1

【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【题目详解】解：∵ht212t20 =(t212t3636)20 =(t6)256， ∵a10， ∴抛物线开口向下，

当x=6时，h取得最大值，火箭能达到最大高度为1m． 故答案为：1． 【题目点拨】

本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键． 17、a(a2)(a2)

【分析】先提公因式，再用平方差公式分解.

【题目详解】解：a4aaa4a(a2)(a2) 【题目点拨】

本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键. 18、13 【分析】连接AD,过M作MG⊥AD于G,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD的值，再根据∠CDG=60°，求出DG,MG的值，最后利用勾股定理求出AM的值.

【题目详解】解：连接AD,过M作MG⊥AD于G,则由正六边形可得， AD=2AB=4，∠CDA=60°， 又MD=

321CD=1， 2∴DG=

13,MG=, 22∴AG=AD-DG=

7, 234913. 44∴AM=MG2AG2故答案为13．

【题目点拨】

本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、（1））yx7；（2）ACD的面积为1；（3）4x0或x2． 【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数y函数的解析式；

（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等； （3）根据图象即可求得．

【题目详解】（1））∵点A(1, a)在反比例函数y∴a8求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次x8的图象上， x88， 1∴A(1,8)， ∵点B(0,7)，

∴设直线AB的解析式为yk x7， ∵直线AB过点A(1,8)，

∴8k7，解得k1， ∴直线AB的解析式为yx7；

（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为yx2， ∴D(0,2)， ∴BD729，

yx2x4x2联立，解得或， 8y2y4yx∴C(4,2)，E(2,4)， 连接AC，则CBD的面积19418， 2由平行线间的距离处处相等可得ACD与CDB面积相等， ∴ACD的面积为1． （3）∵C(4,2)，E(2,4)， ∴不等式mxn8的解集是：4x0或x2． x

【题目点拨】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20、（1）y953；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0） x44k，可得y与x之间的函数关系式； x【解题分析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式

3kx+b＞的解集为x＞1； 4x（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=OP=3﹣

1717BC=，或BP=BC=，即可得到44447579=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标． 4444详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3），

k3=3， ，可得k=1×

x3∴y与x之间的函数关系式为：y=；

x把A（1，3）代入双曲线y=（2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式

3kx+b＞的解集为：x＞1； 4x（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2=

33x+b，可得3=+b， 449， 439∴y2=x+，

44∴b=

令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，

1717BC=，或BP=BC= 44447579∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，

444459∴P（﹣，0）或（，0）．

44∴CP=

点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 21、（1）分别为120元、200元（2）有三种购买方案，见解析

【解题分析】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得

x=120{，解得{． 10x+4y=2000y=200∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元． （2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有

y=x+801600≤80000－120×20m－200×m≤24000， 解得，2178m24． 1313∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案： 课桌凳（套） 办公桌椅（套） 方案一 440 22 方案二 460 23 方案三 480 24 （1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办 公桌椅，得出等式方程求出即可．

（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可．

22、（1）车流速度68千米/小时；（2）应把大桥上的车流密度控制在20千米/小时到70千米/小时之间；（3）车流量y取得最大值是每小时4840辆

【分析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，列式求出函数解析式，将x=50代入即可得到答案； （2）根据题意列不等式组即可得到答案；

（3）分两种情况：0x20、20x220时分别求出y的最大值即可. 【题目详解】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得

20kb80， 220kb02k解得5，

b88∴当20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数为v当x=50时，v508868（千米/小时），

∴大桥上车流密度为50/辆千米时的车流速度68千米/小时；

2x88， 5252x88605（2）由题意得，

2x88805解得20∴为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时，应把大桥上的车流密度控制在20千米/小时到70千米/小时之间； （3）由题意得y=vx， 当0x20时，y=80x， ∵k=80>0，

∴y随x的增大而增大， ∴当x=20时，y有最大值1600， 当20x220时， y(22x88)x(x110)24840， 55当x=110时，y有最大值4840， ∵4840>1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆. 【题目点拨】

此题考查待定系数法求一次函数的解析式，一元一次不等式组的实际应用，二次函数最大值的确定，正确掌握各知识点并熟练解题是关键.

23、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点G的坐标为（

79，）；（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣6）． 24【分析】（1）由点A的坐标及OA=OC=4OB,可得出点B,C的坐标, 根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴, 由AO的长度结合平行四边形的性质可得出点G的横坐标, 再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标;

（3）设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,结合点A,C的坐标可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°两种情况, 利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论． 【题目详解】解:（1）∵点A的坐标是（4,0）, ∴OA=4,

又∵OA=OC=4OB, ∴OA=OC=4,OB=1,

∴点C的坐标为（0,4）,点B的坐标为（﹣1,0）. 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,

将A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,

16a得

4bc4cc0a13, 4ab0,解得:bc∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4, （2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4, ∴抛物线的对称轴为直线x=

3, 2∵如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点H也在抛物线上,

∴GH∥AO,GH=AO=4, ∵点G,H都在抛物线上,

3对称, 27∴点G的横坐标为,

297∵当x=时,y=﹣x2+3x+4=,

4279∴点G的坐标为（,）．

24∴G,H关于直线x=

（3）假设存在,设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）, ∵点A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,4）,

∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,

CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32, 分两种情况考虑,如图2所示,

①当∠ACP=90°时,AP2=CP2+AC2,

即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0, 解得:m1=0（舍去）,m2=2, ∴点P的坐标为（2,6）;

整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）, ∴点P的坐标为（-2,-6）．

综上所述,假设成立,抛物线上存在点P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以为直角边的直角三角形． 【题目点拨】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、二次函数的性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质和平行四边形的性质. 24、（1）10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元．

【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；

（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可． 【题目详解】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%，

答：每次降价百分率为10%；

（2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则

y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0，

∴当m＝90元时，w最大为4500元．

答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．

25、（1）详见解析；（2）AC=9，CD=

15. 2【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可； （2）利用相似三角形的性质解答即可．

【题目详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； （2）∵△ABE∽△ACB， ∴

ABAE， ACAB∴AB2＝AC•AE， ∵AB＝6，AE＝4，

AB2∴AC＝9，

AE∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴

CDCE， ABAEAB•CEAB•ACAE6515 ． AEAE42∴CD【题目点拨】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 26、（90+303）km．

【分析】过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，由∠ABE＝45°，AB＝902，可得 AE＝BE＝

2AB＝90km，在2Rt△CBE中，由∠ACB＝60°，可得CE＝

3BE＝303km，继而可得AC＝AE+CE＝90+303． 3，

+20°【题目详解】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°＝60°，AB＝90过B作BE⊥AC于E，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝902， ∴AE＝BE＝

2AB＝90km， 2在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°， ∴CE＝3BE＝303km， 3∴AC＝AE+CE＝90+303，

∴A，C两港之间的距离为（90+303）km． 【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．