第一章有理数 1.1 正数和负数
一、正数和负数 1.正数：像3，1.8% ，3.5这样大于0的数叫做正数.
2.负数：像-3，-2.7.%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号 “一” （负）的数叫做负数. 3.数的符号：一个数前面的“+”“一”号叫做它的符号。其中“+”号可以省略不写，而“一”号不能省略不写。有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“+” （正）号.例如，+3， +2， +0.5，+，…就是3，2，0.5. 4.0的意义：
（1）0既不是正数，也不是负数。 （2）0是正数与负数的分界。
（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃可表示为实际温度为冰点时的计量结果。
二、用正数和负数表示具有相反意义的量 具有相反意义的量包括两层含义： （1）具有相反意义；（2）具有数量。
●注意：（1）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量。 （2）具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与出口200箱就不是具有相反意义的量。
（3）具有相反意义的量，只要求1具有相反意义和数量，不要求数量一定相等，所以与一个量成相反意义的量不止一个。例如，盈利300元，与它具有相反意义的量有很多，如亏损400元，亏损100元等。 1.2 有理数 1.2.1 有理数
一、有理数的有关概念
1.整数：正整数0、负整数统称为整数，如-3， -2，2，0，1，2，3等。 2.分数：正分数负分数统称为分数，如2，0.2，-1.25等。 3.有理数：整数和分数统称为有理数。
任何一个有理数都可以写成（m，n是整数，m≠0）的形式。 ●注意（1）分数都可以化为有限小数或无限循环小数。
（2）小数可分为有限小数和无限小数，其中无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，如0.5=， 0.3333…=。无限不循环小数不能化为分数，所以无限不循环小数不是有理数，如3.212 212 2..1每两个1之间2的个数逐次增加1），π.
4.部分常用的数的名称 （1）正整数：如1，2，3，... 负整数：如-1，-2，-3，..
（2）正分数：形如（m，n是正整数）的数，例如… 负分数：形如- （m，n是正整数）的数，例如-0.5，- （3）非负数：正数和0；
非正数：负数和0.
●注意：引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数，如-6，-4，-2都是偶数，也可以写成2n（n为整数）的形式；-5，-3，-1都是奇数，可以写成2n-1（n为整数）或2n+1（n为整数）的形式。 二、有理数分类
（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：
1.2.2 数轴 一、数轴
1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 ●注意（1）数轴是一条直线；
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
（3）数轴的三要素都是规定的，在解决具体问题时，可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定后就不能随意改变。 二、画数轴的步骤
（1）画直线，取原点：在直线上任取一个适当的点为原点。
（2）标正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，用箭头表示出来，箭头标在画出部分的最右边（或最上边），则从原点向左（或下）为负方向。
（3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 ●注意：思在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一根据所表示的数的度，也可以选取更长或更短的长度表示一个单位长度，大小灵活选取单位长度，例如可以选取2cm或0.5 cm为一个单位长度。
三、数轴上的点与有理数的关系
任意一个有 理数，都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点不都表示有理数。
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
●注意用数轴上的点表示有理数时，（1）正数用数轴上原点右边的点表示；（2）负数用数轴上原点左边的点表示；（3）0用数轴的原点表示。 1.2.3 相反数 一、相反数
1.相反数的定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这就是说，2的相反数是-2，-2， -2的相反数是， 2；5的相反数是-5，-5的相反数是5. 一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0。这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
●注意 “只有符导不同”中“只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数。例如，+5和-2虽然符号不同，但不能说它们互为相反数。 2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
●注意（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；
（2）数轴上与原点的距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数。 3.相反数的性质
任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数。
0是唯一一个相反数等于它本身的数，即若a= -a，则a=0。 4.求一个数的相反数的方法：
（1）求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号，即可得到这个数的相反数。 （2）求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“一”号，如a的相反数为-a，a-b的相反数为-（a-b），注意这里的括号是必须要加的。 二、多重符号的化简
1.多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据，例如：-（-5）表示-5的相反数，所以-（ -5） =5。
2.多重符号的化简先省略所有的“+”号，然后由“-”号的个数确定结果的符号当“-”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“-”号的个数是奇数时，化简的结果为负数。（奇负偶正） 1.2.4 绝对值 一、绝对值
1.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|，读作“a的绝对值”。
注意任何数都有绝对值，并且只有一个，数a的绝对值，是表示它的点到原点的距离。因为距离不可能是负数，所以数a的绝对值|al为非负数，即|a|≥0。 2.绝对值的性质
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即（1）如果a>0，那么|a| =a； （2）如果a=0，那么|a| =0； （3）如果a<0，那么|a|= -a。
●注意：（1）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大。
（2）绝对值是它本身的数是非负数，即若lal =a，则a≥0；绝对值是其相反数的数是非正数，即若|a| = -a，则a≤0。
（3）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若1x1 =a （a>0），则x=士a，如x1 =2，则x=士2。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a= -b，则|a| = 161；绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若|a|=1b|，则a=b或a= -b。 二、有理数的大小比较 1.利用数轴比较有理数的大小
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
2.根据法则比较有理数的大小
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
