函数单调性教学案

函数的单调性 课题引入

某市昨天24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图

你能看出一天中温度的变化趋势吗？

这种某一区域内函数上升或下降的趋势叫函数的单调性

如何用数学符号语言来描述这种图像的“上升”或“下降”呢？

对于定义域内某区间的任意两个自变量x1，x2，当x1对于定义域内某区间的任意两个自变量x1，x2，当x1定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1同理如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数

定义 增函数 减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 自左向右看图像是下降的 图像描述 专业学习参考资料

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单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间

写法 如果区间端点有意义，区间端点写成开与闭均可。 如果区间端点无意义，则只能写成开区间

如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

判读正误

1.如果f(x)在（0，+∞）是单调增函数，f(1) < f(2)

2如果f(1) < f(2)，则在f(x)在（0，+∞）上一定是单调增函数

3 f(x)在定义域I内某个区间D上是增函数，对于D上的任意两个自变量x1，x2 若有f（x1）.画出常见的几种函数，并指出其单调区间。 1.一次函数 2.二次函数 3.反比例函数 y=－(x－1)

y=2-|x+1|

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y=x2－2

1 y= 

x WORD整理版

yy=f(x)yy=|f(x)|aobcx

aobcx

y=x23x2 2.定义法 讨论函数yx4在0,的单调性。 x

用定义法判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）

3、复合函数法

yx1 y1 1x变式．写出 y=12x的单调区间

。

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二、已知函数单调性求参数范围

1.已知函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减函数,求实数a的取值范围.

2.若函数f（x）=（a-1）x-1为R上的增函数，则实数a的取值范围为

by在(0,)上是减函数，则b的范围是

x

一次函数单调性看 反比例函数单调性看 二次函数单调性看

三、函数值的大小关系 自变量的大小关系

11.已知f(x)是R上的减函数，则满足的f()f(1)的x取值范围是

x

变式 已知yf(x)在定义域1,1上是减函数,且f(1a)f(2a),求a的取值范

围.

四、应用函数的单调性求最大(小)值

2f(x)x4x6,x(1,5)的值域为 1.函数

2.求函数y1

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4在区间[4，6] 上的最值。 x3 WORD整理版

五、复合函数单调性

1.讨论函数fx

x22x3的单调性．

所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性． 求复合函数y=f（g（x））的单调区间的步骤： （1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数； （3）分别确定两基本初等函数的单调性； （4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间 2.y

六．最值

已知yx2ax3在1,1上的最小值为-3，求a的值

1的单调性为 2x2x3

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七．恒成立问题

1.fxx22xc若对于任意x（1，+∞），f(x)4 恒成立，求c取值范围。

八、分段函数单调性

已知（fx）=

是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）

练习

1.在区间(,0)上为增函数的是（ ）

A．y2x B．y C．yx23 D．yx2

2、若函数f（x）=x2﹣ax﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是（ ）

A．[8，+∞） B．（﹣∞，8] C．[4，+∞） D．[﹣4，+∞）

3.求单调区间

y=－|x|+2 的递减区间是

2y3的单调区间是

x1

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2x WORD整理版

y

1

1x4b4.若yax，y在(0,)上都是减函数，则函数yax2bx在(0,)上

x是 函数（填增或减）。

5.已知f（x）是R上的减函数，则满足的f(x1)f(1)的x取值范围是

6.函数yx24x3的减区间是 求函数y1的增区间是 ．

x2x2

7.画出下列函数图象并写出函数的单调区间

yx22x

8..已知yx22ax4在2,1上的最大值为-2，求a的值

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9.已知函数f（x）=

，证明函数在[0，1]上是单调函数

10.fxx24xa对于任意x（，-1），f(x) < 0恒成立，求a取值范围 11.函数

，满足对任意的实数x1≠x2都有

成立，则实数a的取值范围为

A．（0，1） 作业 1.函数y

2.下列函数中在(,0)上单调递减的是 （ ） A．y1-

3.若函数f（x）=x2+4（a﹣1）x+1在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

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B．，+∞） C．（0， D．（0，

2在区间[2，6] 上的最大值是 x11 B．y1x2 C．yx2x D．y1x x1 WORD整理版

4.当x0,5时,函数f(x)3x24x1的值域为 ( )

22A.f(0),f(5) B.f(0),f() C.f(),f(5) D.0,f(5)

33

5.证明函数

．函数f（x）在（1，+∞）上单调递减

6.若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（ ） A．m≥﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3≤m＜0 D．m≥﹣4

7、函数yx22x3的单调递增区间为 递减区间为

8.已知函数（fx）=满足对任意x1≠x2，都有

＞0 成立，则a的取值范围是（ ） A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2

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C．a≤﹣2 D．a＜0

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9、已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a．若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值．

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