中考圆专题讲练6圆与相似(二)——线段的比值问题

【例1】如图，△ABD内接于⊙O，P在OB的延长线上，DB与PA相交于C，且CA2CBCD。

（1）求证PA为⊙O的切线； ABM（2）若DC⊥PA，PA=15，PB=5，AD交OB于M，求。 COMMPB1证：（1）连AO，易证△ABC∽△DAC，∴∠CAB=∠CDA=AOB,

2o

∴∠CAB+∠BAO=90，故PA为⊙O切线。

D（2）设⊙O半径为r，则r2152(5r)2，解得r＝20，∵BC∥OA，

PCBCPB5PCBC1∴△PBC∽△POA，∴，∴，PC＝3，BC＝4，故AC＝12，由

PAOAPO2515205BMBD328CA2CBCD，得CD＝36，BD＝32，∵BD∥OA，∴△BMD∽△OMA，∴ 。

OMOA205O

【例2】如图，在⊙O中, AB=AC，直径BD交AC于P，过A作AE∥BC交BD的延长线于E。

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若PC=3，AP=2，求⊙O 的半径。

证：（1）连AO交BC于M，由△ABO≌△ACO,可得∠BAO=∠CAO，∴AM⊥BC，

又AE∥BC，∴OA⊥AE，故AE为⊙O切线。

AOAP（2）证法一：延长AO交BC于M，易证AM∥CD，∴△AOP∽△CPD，∴， CDCP设⊙O的半径为r，∴

r237，∴CDr，在Rt△BCD中，BD＝2r，∴BCr CD322BADPOEN CCM1377r，证OMCDr，∴AMr，在Rt△AMC中，

2444772514∴(r)2( r)52， . ∴r447

【例3】如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO。

（1）求证：BD是⊙O的切线。

2上一点，（2）若点E是BCAE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，

3BEFDAOC求△ACF的面积。

证：（1）连OB，ABADAO,DBO90 （2）易证ΔBEF∽ΔAFC，9SACFSBEF18

4SBEFBF4cos2BFA， 2SACFAF92

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC．AB分别交于点D．E，且∠CBD=∠A。

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

D（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长。

AOECB证：(1)BD与⊙O相切，证∠A＝∠ODA＝∠CBD，

∠CBD+∠CDB＝90°。∴∠ODA+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝90° 58x10xADAE(2);设AD＝8x，AE＝10x，证ΔADE∽ΔBCD，， BCBD2BD2

5∴ BD

2

2．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点E在⊙O上，BC⊥PE于C，CF∥AB交BE延长

线于F，且CF=BC．

（1）求证：PC为⊙O切线；

（2）若PE=62，PA=6，求EF的长.

证：(1) 略

(2) 设OE=r, Rt△PEO中, (6+r)2=(62)2+r2 r=3 又

POOEPE9362 ∴ ∴BC=4 PC=82 ∴EC=22 PBBCPC12BCPCPAFEOCBEB=(22)242=26 又

EFCE2EF226 = ∴EF=EBPE32662

3．如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，弧BD=弧DE，DF⊥AE于F。

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tanBAC的值。

证：（1）证∠EAD＝∠BAD＝∠ADO，OD//AF，∠ODF＝90

(2) 连OD交BE于M，证四边形EMDF为矩形，FD＝EM＝MB＝3，

1BE＝6，又AB＝10，AE8，证OMAE4,DM1EF

2DF31tanBAC ∴tanDAFAF93EFDM CAOB