P、PD和PID控制器性能比较

学 号：

自动控制原理

P、PD和PID控制器性能比较 题目

自动化学院 学院

电气工程及其自动化 专业

班级

某

指导教师

2013 年 1 月 20 日

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摘要

比例(P)控制规律是基本控制规律中最基本的、应用最普遍的一种，其最大优点就是控制及时、迅速。只要有偏差产生，控制器立即产生控制作用。但是，不能最终消除余差的缺点了它的单独使用。克服余差的办法是在比例控制的基础上加上积分控制作用。比例-微分(PD)控制器比单纯的比例控制作用更快，尤其是对容量滞后大的对象，可以减小动偏差的幅度，节省控制时间，显著改善控制质量。最为理想的控制当属比例-积分-微分(PID)控制规律,它集三者之长：既有比例作用的及时迅速，又有积分作用的消除余差能力，还有微分控制功能。本次课设对P、PD和PID控制器性能进行详细的比较，着重分析各控制器下、三种典型输入下的稳态误差，还对三种典型信号作为扰动输入的系统性能进行了分析。最后使用Matlab软件对以上分析结果进行更加直观的论证。

关键字：控制器 稳态误差 扰动 跟踪性能

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目录

1 题目与要求 ............................................................................................................................ 1 2 由参考输入决定的系统性能分析 ........................................................................................... 1

2.1 由R(s)输入决定的系统传递函数 ................................................................................ 2

2.1.1 开环传递函数 .................................................................................................... 2 2.1.2 闭环传递函数 .................................................................................................... 2 2.1.3 系统误差传递函数 ............................................................................................ 2 2.2 不同控制器下系统的系统性能 .................................................................................... 2

2.2.1误差常数 ............................................................................................................ 2 2.2.2 P控制器下的系统分析 ...................................................................................... 5 2.2.3 PD控制器下的系统分析 .................................................................................... 6 2.2.4 PID控制器下的系统分析 .................................................................................. 7

3 由扰动输入决定的系统性能分析 ........................................................................................... 7

3.1 不同的控制类型对应的系统类型 ................................................................................ 8 3.2 不同控制类型下的系统稳态误差 ................................................................................ 8

3.2.1 P控制下的系统分析 .......................................................................................... 8 3.2.2 PD控制下的系统分析 ....................................................................................... 9 3.2.3 PID控制下的系统分析 ...................................................................................... 9

4 该系统的跟踪性能和扰动性能分析 ....................................................................................... 9

4.1 系统的跟踪性能分析 ................................................................................................... 9 4.2 系统扰动性能分析 ..................................................................................................... 10 5 运用Matlab进行仿真 .......................................................................................................... 11

5.1 由参考输入决定的系统仿真 ...................................................................................... 11

5.1.1 阶跃信号输入时的各控制系统输出响应......................................................... 11 5.1.2 斜坡信号输入时的各控制系统输出响应......................................................... 13 5.1.3 加速度信号输入时的各控制系统输出响应 ..................................................... 16 5.2 由扰动输入决定的系统仿真 ...................................................................................... 19

5.2.1 阶跃扰动输入时的各控制系统输出响应......................................................... 19 5.2.2 斜坡扰动输入时的各控制系统输出响应......................................................... 21 5.2.1 阶跃扰动输入时的各控制系统输出响应......................................................... 23

6 心得体会 .............................................................................................................................. 24 参考文献 .................................................................................................................................. 25

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P、PD和PID控制器性能比较

1 题目与要求

一二阶系统结构如图1所示，其中系统对象模型为 器传递函数为

，令

，

，

。

, 控制

W R + - e + - Y

图1 一二阶系统结构图

要求完成的主要任务:

（1） 分析系统分别在P、PD、PID控制器作用下的，由参考输入决定的系统

类型及误差常数；

（2） 根据（1）中的条件求系统分别在P、PD、PID控制器作用下的、由扰动

w(t)决定的系统类型与误差常数； （3） 分析该系统的跟踪性能和扰动性能；

（4） 在Matlab中画出（1）和（2）中的系统响应，并以此证明（3）结论； （5）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚计算分析

的过程，其中应包括Matlab源程序或Simulink仿真模型，并注释。

2 由参考输入决定的系统性能分析

分析由参考输入决定的系统性能，则要忽略扰动输入，得到如图2的系统结构图。

R(s)-E(s)Y(s)D(s)G(s)

图2 由参考输入决定的系统结构图

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2.1 由R(s)输入决定的系统传递函数

2.1.1 开环传递函数

系统类型由系统开环传递函数决定。根据结构图，很容易得到系统的开环穿的函数，系统的开环传递函数为：

2.1.2 闭环传递函数

系统的输出相应是由闭环传递函数和输入决定的。系统的闭环传递函数Φ(s)为：

2.1.3 系统误差传递函数

系统误差传递函数和输入决定系统误差输出。系统的误差传递函数

为：

2.2 不同控制器下系统的系统性能

2.2.1误差常数

下面讨论阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数三种常见的输入信号函数的稳态误差计算。

（1）阶跃信号输入

则

其中

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称为系统的稳态位置误差系数。 对0型系统

对1型或高于1型的系统

(2)斜坡信号输入

其中

称为系统的稳态速度误差系数。

对0型系统

对1型系统

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对2型或高于2型的系统

(3)抛物线信号输入

其中

称为系统的稳态加速度误差系数。

对0型系统

对1型系统

对2型系统

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对3型或高于3型系统

各种类型的系统在三种典型输入信号作用下的稳定误差终值见表1所示：

表1 典型输入信号作用下的稳态误差终值 稳态误差系数 系统类型 0型 1型 2型 3型 K ∞ ∞ ∞ 0 K ∞ ∞ 0 0 K ∞ 0 0 0 r(t)= r(t)=Rt ∞ r(t)=∞ ∞ 稳态误差终值 0 0 0 2.2.2 P控制器下的系统分析

由已知条件

得

,则系统的开环传递函数为：

由此开环传递函数可以看出该系统为0型系统。 根据开环传递函数得系统的闭环传递函数Φ(s)为：

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对闭环传递函数的特征方程列劳斯表为： 5 20 6 0 20

可见，劳斯表第一列同号，所以没有正实根；且没有出现第一行均为0，所以没有纯虚根，因此系统是稳定的。

因为系统是0型系统，开环增益

，因此，系统的稳态误差为：

误差系数：

2.2.3 PD控制器下的系统分析

已知，，所以可以求得PD控制下的开环传递函数为：

可见该系统为0型系统。 那么，其闭环传递函数为：

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对其特征方程列劳斯表如下： 95 380 118 0 380

可见该系统是稳定的。 由于是0型系统，所以开环增益

，其稳定误差为：

其误差系数为：

2.2.4 PID控制器下的系统分析

已知，，，所以可以求得PID控制下的开环传递函数为：

可见该系统为1型系统。 其闭环传递函数为：

对其特征方程列劳斯表如下： 190 760 236 19

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744.7 19

由劳斯判据可知，该系统是稳定的。

由于是1型系统，所以开环增益

，其稳定误差为：

其误差系数为：

3 由扰动输入决定的系统性能分析

分析由扰动输入决定的系统时，忽略参考输入。则系统在扰动下的输出响应为：

其开环传递函数为：

系统误差传递函数为：

稳态误差为：

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3.1 不同的控制类型对应的系统类型

由于扰动决定的系统，其开环传递函数与由参考输入决定的系统的相同，所以它们的系统类型是相同的。

(1) 当控制器传递函数 (2)当控制器传递函数用为0型系统；

(3)当控制器传递函数作用为1型系统；

时，该控制系统对扰动

时，该控制系统对扰动作用为0型系统；

时，，所以该控制系统对扰动作

3.2不同控制类型下的系统稳态误差

3.2.1 P控制下的系统分析

已知D(s)=19，所以

在不同控制下的系统稳态误差：

3.2.2 PD控制下的系统分析

已知 ，稳态误差为：

在不同控制下的系统稳态误差：

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3.2.3 PID控制下的系统分析

已知 ，稳态误差为：

在不同控制下的系统稳态误差：

4 该系统的跟踪性能和扰动性能分析

4.1 系统的跟踪性能分析

由参考输入决定的系统稳态误差如表3所示，从表中可以看出：

(1)当阶跃信号输入时，P控制系统和PD控制系统可跟踪阶跃输入，但存在一个稳态位置误差R/20；而PID控制系统的稳态误差为0，所以可以完全跟踪阶跃输入信号。

(2) 当斜坡信号输入时，由于P控制和PD控制系统稳态误差都为无穷大，所以不能跟踪斜坡输入信号；而PID控制P可跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差。 (3) 当抛物线信号输入时，由于这三种控制系统的稳态误差都是无穷大，所以这三种控制系统都不能跟踪抛物线输入信号。

表3 参考输入决定的系统稳态误差

控制器 P控制 PD控制 PID控制 系统类型 0 0 1 阶跃信号输入 R/20 R/20 0 10 / 30

斜坡信号输入 ∞ ∞ 2R 抛物线信号输入 ∞ ∞ ∞

4.2 系统扰动性能分析

由扰动输入决定的系统稳态误差如表4所示：

表4 由扰动输入决定的系统稳态误差

控制器 P控制 PD控制 PID控制 从表中可以看出：

(1) P控制和PD控制系统在一定程度上能平衡阶跃扰动，但存在一个稳态位置误差；而PID控制系统可以完全消除阶跃扰动，抗干扰能力较强。

(2) 当有斜坡信号扰动时，P控制和PD控制系统的稳态误差为无穷的，不能消除扰动；而而PID控制系统可在一定程度上可以抵抗扰动影响。

(3) 当抛物线信号扰动时，由于三个系统的稳态误差都是无穷大，所以三个系统都不能消除抛物线信号扰动的影响。

系统类型 0 0 1 阶跃信号输入 R/20 R/20 0 斜坡信号输入 ∞ ∞ 2R 抛物线信号输入 ∞ ∞ ∞ 5 运用Matlab进行仿真

5.1 由参考输入决定的系统仿真

5.1.1 阶跃信号输入时的各控制系统输出响应

(1) P控制下的单位阶跃响应如图3所示

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P控制下的阶跃相应1.41.21输出相应0.80.60.40.20012345t6710 图3 P控制下的阶跃相应

源程序： clear;

num=19; %设置分子 den=[5,6,20]; %设置分母 t=0:0.05:10; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=1;

plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('P控制下的阶跃相应') %设置标题 (2) PD控制下的单位阶跃响应如图4所示 源程序： clear;

num=[4,361]; %设置分子

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den=[95,1,380]; %设置分母 t=0:0.02:10; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=1;

plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下的阶跃相应') %设置标题

PD控制下的阶跃相应1.41.21输出相应0.80.60.40.20012345t6710 图4 PD控制下的阶跃相应

(3) PID控制下的单位阶跃响应如图5所示 源程序： clear;

num=[8,722,19]; %设置分子 den=[190,236,760,19]; %设置分母 t=0:0.1:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标

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ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PID控制下单位阶跃相应') %设置标题

PID控制下单位阶跃相应1.41.21输出相应0.80.60.40.2001020304050t60708090100 图5 PID控制下单位阶跃相应

由以上3个图可以看出，PID控制下的系统可以完全跟踪阶跃输入，而P和PD控制下的系统可跟踪阶跃输入，但存在一个稳态位置误差R/20。

5.1.2 斜坡信号输入时的各控制系统输出响应

(1) P控制下的单位斜坡响应如图6所示 源程序： clear;

num=19; %设置分子 den=[5,6,20,0]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=t;

plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标

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title('P控制下的单位斜坡相应') %设置标题

P控制下的单位斜坡相应10090807060输出相应5040302010001020304050t60708090100 图6 P控制下的单位斜坡相应

(2) PD控制下的单位斜坡响应如图7所示 源程序： clear;

num=[4,361]; %设置分子 den=[95,1,380,0]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=t;

plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下单位斜坡相应') %设置标题

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PD控制下单位斜坡相应10090807060输出相应5040302010001020304050t60708090100 图7 PD控制下单位斜坡相应

(3) PID控制下的单位斜坡响应如图8所示

PID控制下的单位斜坡相应10090807060输出相应5040302010001020304050t60708090100 图8 PID控制下的单位斜坡相应

源程序： clear;

num=[8,722,19]; %设置分子 den=[190,236,760,19,0]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应

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plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=t;

plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PID控制下的单位斜坡相应') %设置标题

由以上3个图可以清楚地看出，当为斜坡输入时，只有PID控制下的系统能更重输入，而P和PD控制下的系统稳态误差为无穷大，不能跟踪斜坡输入。

5.1.3 加速度信号输入时的各控制系统输出响应

(1) P控制下的单位加速度响应如图9所示 源程序： clear;

num=19; %设置分子 den=[5,6,20,0,0]; %设置分母 t=0:0.02:10; %时间区间

[y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 plot(t,y) ;%绘制曲线 hold on y=(t.^2)/2; plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标

title('P控制下的单位加速度相应') %设置标题

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P控制下的单位加速度相应5045403530输出相应2520151050012345t6710 图9 P控制下的单位加速度相应

(2) PD控制下的单位加速度响应如图10所示

PD控制下的单位加速度相应5045403530输出相应2520151050012345t6710 图10PD控制下的单位加速度相应

源程序： clear;

num=[4,361]; %设置分子

den=[95,118,380,0,0]; %设置分母

18 / 30

t=0:0.02:10; %时间区间

[y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应

plot(t,y) ;%绘制曲线

hold on y=(t.^2)/2; plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下的单位加速度相应') %设置标题

(3) PID控制下的单位加速度响应如图11所示

PID控制下的单位加速度相应5045403530输出相应2520151050012345t6710 源程序： clear;

图11PID控制下的单位加速度相应

num=[8,722,19]; %设置分子 den=[190,236,760,19,0,0]; %设置分母

t=0:0.02:10; %时间区间

[y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应

plot(t,y) ;%绘制曲线

hold on y=t.^2/2;

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plot(t,y,'--');

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标

title('PID控制下的单位加速度相应') %设置标题

由以上3个图可以看出，三种类型的控制下的系统都不能跟踪加速度输入。

5.2 由扰动输入决定的系统仿真

5.2.1 阶跃扰动输入时的各控制系统输出响应

三种控制系统输出响应的比较如图12所示 源程序： clear;

num=[-1]; %设置分子 den=[5,6,20]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 figure; %打开一个图

subplot(3,1,1); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('P控制下的单位阶跃相应') %设置标题 num=[-19]; %设置分子 den=[95,118,380]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,2); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下的单位阶跃相应') %设置标题

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num=[-38,0]; %设置分子 den=[190,236,760,19]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,3); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PID控制下的单位阶跃相应') %设置标题

P控制下的单位阶跃相应0-0.02输出相应-0.04-0.06-0.080102030506070tPD控制下的单位阶跃相应4080901000-0.02输出相应-0.04-0.06-0.080102030506070tPID控制下的单位阶跃相应4080901000-0.02输出相应-0.04-0.06-0.0801020304050t60708090100 图12 三种控制系统的阶跃输出响应的比较

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由上图看出，P控制和PD控制系统在一定程度上能平衡阶跃扰动，但存在一个稳态位置误差；而PID控制系统在绕动后回到原点，可以完全消除阶跃扰动，抗干扰能力较强。

5.2.2 斜坡扰动输入时的各控制系统输出响应

三种控制系统斜坡输出响应的比较如图13所示 源程序：

clear;

num=[-1]; %设置分子 den=[5,6,20,0]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 figure; %打开一个图

subplot(3,1,1); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('P控制下的单位斜坡相应') %设置标题

num=[-19]; %设置分子 den=[95,118,380,0]; %设置分母 t=0:0.02:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,2); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下的单位斜坡相应') %设置标题

num=[-38,0]; %设置分子 den=[190,236,760,19,0]; %设置分母 t=0:0.02:300; %时间区间

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[y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,3); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PID控制下的单位斜坡相应') %设置标题

P控制下的单位斜坡相应0-2-4-6输出相应01020305060tPD控制下的单位斜坡相应407080901000-2-4-6输出相应01020305060tPID控制下的单位斜坡相应407080901000-0.5输出相应-1-1.5-2050100150t200250300 图13 三种控制系统斜坡输出响应的比较

由上图可以看出，只有PID控制系统最终得到稳定的输出，所以只有PID控制系统在一定程度上有抵抗斜坡扰动的能力。

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5.2.1 阶跃扰动输入时的各控制系统输出响应

三种控制系统加速度输出响应的比较如图14所示 源程序：

clear;

num=[-1]; %设置分子 den=[5,6,20,0,0]; %设置分母 t=0:0.1:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 figure; %打开一个图

subplot(3,1,1); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('P控制下的单位加速度相应') %设置标题

num=[-19]; %设置分子 den=[95,118,380,0,0]; %设置分母 t=0:0.1:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,2); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PD控制下的单位加速度相应') %设置标题

num=[-38,0]; %设置分子

den=[190,236,760,19,0,0]; %设置分母 t=0:0.1:100; %时间区间 [y,x,t]=step(num,den,t) ;%阶跃响应 subplot(3,1,3); %打开2*2个图的第1个图 plot(t,y) ;%绘制曲线

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grid; %绘制网格 xlabel('t'); %设置横坐标 ylabel('输出相应'); %设置纵坐标 title('PID控制下的单位加速度相应') %设置标题

P控制下的单位加速度相应0输出相应-100-200-3000102030506070tPD控制下的单位加速度相应4080901000输出相应-100-200-3000102030506070tPID控制下的单位加速度相应4080901000输出相应-50-100-15001020304050t60708090100 图14 三种控制系统加速度输出响应的比较

由上图可以看出，三种控制系统都没有抵抗加速度扰动的能力。

6 心得体会

这是一次非常锻炼人毅力的课设，让我花了不少时间和精力，但是付出都应该是值得的。在这次课设中，我收获了不少，把课本学到的知识具体化，那是和考试完全不一样的体验；我学习了Matlab软件，visio软件，这是额外的收获吧。刚

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开始接触这个题目，还是觉得有点难的，但是经过一段时间的资料查阅，慢慢地对问题有了更深入的理解，所以我认为无论是图书馆还是网络，都是学习很好的工具。总体来说，课设题目是比较清晰的，但是要把问题分析清楚还是要花不少时间和篇幅的。我还不能说我完全能够掌握稳态分析，因为知识需要在不断的发现问题，不断解决问题中才得以完善。

参考文献

[1]黄忠霖，自动控制原理MATLAB实现.：国防工业，2007 [2]王万良，自动控制原理.：高等教育，2008

[3]X坤，MATLAB自动控制原理习题精解，：国防工业，2004

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