2015年高中数学 综合测试卷B 新人教版选修1-1

一、选择题：

1、已知a、b为实数,则22是log2alog2b的 ( )

A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2、给出命题:若函数yf(x)是幂函数,则函数yf(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

23、已知命题p:\"x1,2,xa0\",命题q:\"xR,x22ax2a0\",若命题“pq” 是真命题,

ab则实数a的取值范围是 ( )

A.(,2]{1} B.(,2][1,2] C.[1,) D.[2,1]

4、设函数f(x)在定义域内可导,yf(x)的图象如左图所示,则导函数yf(x)可能为 ( ) y y y y y

x x x x O O O O O x A C D B 5、设F1和F2为双曲线

xy1(a0,b0)的两个焦点, 若F1，F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,22ab22

则双曲线的离心率为( ) A.

6、设斜率为2的直线l过抛物线yax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.y4x B.y8x C.y4x D.y8x

7、如图,曲线yf(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q,过P作PT垂直于x轴于

2222235 B.2 C. D.3 22T,若PTQ的面积为,则y与y的关系满足 （ )

22 A.yy B.yy C.yy D.yy

128、已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)lnxax(a时,f(x)的最小值为1,则a的值等于 ( )

A.

1),当x(2,0)2111 B. C. D.1 4239、设函数yf(x)在(a,b)上的导函数为f(x),f(x)在(a,b)上的导函数为f(x),若在(a,b) 上,f(x)0恒成立,则称函数函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m2时,f(x)在(1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(1,2)上 ( )

A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值

1

1312xmxx62 C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值

二、填空题：

10、某物体运动时,其路程S与时间t(单位:s)的函数关系是S2(1t)2,则它在t2s时的瞬时速度为 .

11、设P为曲线C:yx2x1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[1,3],则点P纵坐标的取值．．．范围是

x2y2x2y212、已知椭圆221(ab0)与双曲线221(m0,n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0),若cabmn222是a、m的等比中项,n是2m与c的等差中项,则椭圆的离心率是 .

2213、现有下列命题:①命题“xR,xx10”的否定是“xR,xx10”; ②若Ax|x0,Bx|x1,则A(ðRB)=A;③函数f(x)sin(x)(0)是偶函数的充要条

件是k(kZ);④若非零向量a,b满足a=b,b=a(R),则=1. 其中正确命题的序号有2____.(把所有真命题的序号都填上)

三、解答题：

14、(12分)设命题p:不等式2x1xa的解集是{x若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.

15、(12分)已知函数f(x)上恒成立.

(1)求a、c、d的值; (2)若h(x)

2

1x3};命题q:不等式4x4ax21的解集是, 31312axxcxd(a、c、dR)满足f(0)0,f'(1)0且f'(x)0在R3432b1xbx,解不等式f'(x)h(x)0 424

16.(12分)如图所示,已知圆O1与圆O2外切,它们的半径分别为3、1, 圆C与圆O1、圆O2外切. (1)建立适当的坐标系,求圆C的圆心的轨迹方程;

(2)在(1)的坐标系中,若圆C的半径为1,求圆C的方程.

· O2

O1

2

17、(12分)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m的厂房,工程条件是:

①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费用为

aa元;③拆去1m的旧墙,用可得的建材建1m的新墙的费用为42元,经讨论有两种方案:

(1)利用旧墙一段x m(0＜x＜14)为矩形一边;

(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14;问如何利用旧墙建墙费用最省?试比较(1)(2)两种方案哪个更好.

y2x2218、(12分)已知F1、F2分别为椭圆C1:221(ab0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x4yab5的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|.(1)求椭圆C1的方程;(2)已知点P(1,3)和圆

3O:x2y2b2,过点P的动

 直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点 Q,满足:APPB,AQQB,(0且1).

求证:点Q总在某定直线上.

y M F1 O · x F·2 3

19、(14分)已知函数f(x)ax3bx2c(其中a,b,c均为常数,xR).当x1时,函数f(x)的极植为 3c.

(1)试确定a,b的值; (2)求f(x)的单调区间;

(3)若对于任意x0,不等式f(x)2c2恒成立,求c的取值范围.

参

1.A 2a2bab,当a0或b0时,不能得到log2alog2b,反之成立.

2.B 原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真.

3.A “pq” 为真,得p、q为真,∴a(x2)2min1;△4a4(2a)0.

得a2或a1.

4.D 当x0时,f(x)0;当x0时,f(x)的符号变化依次为＋、－、＋.

5B由tanc62b33有3c24b24(c2a2),则eca2,故选B.

6B 抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(aa4,0),则直线l的方程为y2(x2),

它与y轴的交点为A(0,a12),所以△OAF的面积为aa2|4||2|4,

解得a8.所以抛物线方程为y28x.

7D S1111PTQ2yQT2,∴QTy,Q(xy,0),根据导数的几何意义,

ky0PQy,∴y2x(x1y.

y) 4

8.D ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为1,

1111a,令f'(x)0得x,又a,∴02.

a2xa1111令f'(x)0时,x,f(x)在(0,)上递增;令f'(x)0时,x,f(x)在(,2)上递

当x(0,2)时,f'(x)aaaa减;∴f(x)1111maxf(a)lnaaa1,∴lna0,得a1.

9C 得f(x)12x2mx1,f(x)xm0对于x(1,2)恒成立.

∴m(x)max2,又当m2时也成立,有m2.而m2,∴m2.

于是f(x)12x22x1,由f(x)0得x23或x23(舍去),

f(x)在(1,23)上递增,在(23,2)上递减,只有C正确. 10. 4 S4(1t),∴所求的瞬时速度为4(12)4.

11.[34,3] 设P(x,y2x1,∴12x12330,y0)0130x02,有y0(x02)4[4,3].

12.12 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得

c2a2b2m2n2 ①,c2am ②,2n22m2c2 ③,将①代入③得

2n23m2n2,∴n3m,代入③得c2m,再代入②得a4m,得ec1a2.

13 .②③ 将b=a代入a=b得(21)a=0,∴21,有1,④错.

14 . 解:由2x1xa得a1a113xa1,由题意得33a2. a13∴命题p:a2. 由4x4ax21的解集是,得4ax24x10无解, 即对xR,4ax24x10恒成立,∴a0(4)244a10,得a1.∴命题q:a1.

由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.

当p、q均为假命题,则a2a1{aa1},而ðR{aa1}{aa1}.∴实数a的值取值范围是(1,).

d0d015.解:(1)f'(x)ax212xc,f(0)0,f'(1)0,a1,即1, 2c0c2aa0从而f'(x)ax212x12a.f'(x)0在R上恒成立,144a(12a)0, 即a0a1,c1,d0, (a14)20,解得44(2)由(1)知,f'(x)121132b14x2x4,h(x)4xbx24,

∴不等式f'(x)h(x)0化为121132b14x2x44xbx240,

即x2(1b12b)x20,∴(x2)(xb)0,

5

111,则所求不等式的解为xb;②若b,则所求不等式的解为空集; 22211③若b,则所求不等式的解为bx.

221111综上所述,当b时,所求不等式的解为(,b);当b时,所求不等式的解为;当b时,所求不等式的

22221解为(b,).

216..解:(1)如图,以O1O2所在的直线为x轴,以O1O2的中垂线 所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设圆C的圆心

①若b为C(x,y),半径为r,由CO1CO2(r3)(r1)2,

得圆C的圆心的轨迹是以O1(2,0)，O2(2,0)为焦点,

y C · x2y2定长为2的双曲线,设它的方程为221.由2a2,得a1,

ab222又c2,∴bca3.又点(1,0不合题意,且知x1.

y221(x1). ∴圆C的圆心的轨迹方程是x3 (2)令C(x,y),由圆C与圆O1、O2相切得|CO1|4,|CO2|2,

O1 O O2 x CO1CO220,

(x2)2y21631532152C(,)故,解得,∴圆C的方程为(x)(y)1. 222222(x2)y4aa17..解:(1)方案:修旧墙费用为x·元,拆旧墙造新墙费用为(4－x)·,

422126x3614)a ∴总费用y7a(1) (0＜x＜14) 其余新墙费用:(2xx4xx62∴y7a()35a≥35a,当x＝12时,ymin＝35a.

2xa7a25216)a(元) (2)方案,利用旧墙费用为14·＝(元),建新墙费用为(2x22x12621)a (x≥14) 总费用为:y2a(xx2126126x2126(x14),则f'(x)12设f(x)x, xxx2当x14时,f'(x)0,f(x)为增函数,∴f(x)maxf(14)35.5a. 由35a35.5a知,采用(1)方案更好

些.

答:采用(1)方案更好些.

18.解:(1)由C2:x4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x00),因M在抛物线C2上, 故x04y0„① 又|MF1|2225526,则y01„„②, 由①②解得x0,y0.而点M椭圆上,故有

33332262()2()483311„③, 又c1,则b2a21„④ 即2222ab9a3by2x2221. 由③④可解得a4,b3,∴椭圆C1的方程为43 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),

6

由APPB可得:(1xxx1x211,3y1)(21,y23),即y

y123(1)由AQQB可得:(xxyy即x1x2(1)x1,1)(x2x,y2y),y1y2(1)y

⑤⑦得:x2212x2(12)x ⑥⑧得:y221y223y(12) 两式相加得(x21y21)2(x22y22)(12)(x3y)

又点A,B在圆x2y23上,且1,所以x221y13,x22y223 即x3y3,∴点Q总在定直线x3y3上. 19解:(1)由f(x)ax3bx2c,得f'(x)3ax22bx,

当x1时,f(x)的极值为3c,

∴f'(1)0,得f(1)3c3a2b0a6abc3c,∴,

b9∴f(x)6x39x2c.

(2)∵f(x)6x39x2c,∴f'(x)18x218x18x(x1), 令f'(x)0,得x=0或x=1.

当x0或x1时,f'(x)0,f(x)单调递增;当0x1时,f'(x)0,f(x)单调递减; ∴函数f(x)的单调递增区间是,0和1,,单调递减区间是[0,1].

(3)∵f(x)2c2对任意x0恒成立,∴6x39x2c2c2对任意x0恒成立,

∵当x=1时,f(x)22c2min3c,∴3c2c,得c30,

∴c1或c32.

∴c的取值范围是(,1][32,).

7