样条插值

问题的背景 高次插值函数的计算量大, 有剧烈振荡, 数值稳定性差;而分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑(导数不连续)。样条函数可以同时解决这两个问题, 使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。

1. 样条函数

在[a,b]上取n+1个插值结点a=x0(3) 在区间[xk ,xk+1 ](k=0,1,…,n-1)上,S(x)是m次多项式。

2. 三次样条函数

在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足: (1) 在(a,b)上0、1、2阶导数连续; 即:

s'(xk-0)=s'(xk+0),s″(xk-0)=s″(xk+0) ,(k=0,1,…,n-1)

(2) S(xk)=yk ,(k=0,1,…,n) ;

(3) 在区间[xk ,xk+1 ](k=0,1,…,n-1)上,S(x)是三次多项式。

3. 三次样条函数的计算 由二阶导数连续, 设

是未知待定的数。因S(x)是分段三次多

项式, 则在每个区间[xk ,xk+1 ]内，S″(x)是分段一次多项式, 记hk=xk+1 -xk , 则:

将上式在区间[xk ,xk+1 ]上积分两次,并且由S(xk )=yk ,S(xk+1 )=yk+1 来确定两个积分常数。当x∈[xk ,xk+1 ]

时,

利用S(x)一阶导数连续的性质,对上式求导,得:

在上式中,令x=xk ,得:

'

将上式中的k换成k-1,得: s(x)在[xk-1 ,xk]上的表达式, 将x=xk 代入，

而s'(xk +0)=s'(xk-0), 联立上述两式, 得到关于m 的方程:

两边乘以 , 得:

上式中，等式左边含未知量mk-1 ,mk ,mk+1 ,等式右边yk-1 ,yk ,yk+1 是已知的,令

则得:

λkmk-1 +2mk +μk mk+1 = Ck ,(k=1,2,…,n-1).

这是含有n+1个未知量m0 ,m1 ,…,mn ,共有n-1个方程组成的线性方程组。欲确定方程的解,尚缺2个方程,因此求三次样条函数还要2个附加条件。

常用的问题有下面两种提法:

第一类问题:附加条件为s″(x0)=m0 ,s″(xn)=mn 。

则方程组为:

其系数矩阵为:

这是一个三对角矩阵,由于λk +μk =1<2 ,因而它是严格对角占优的。原方程组是个三对角方程组,可以用追赶法求解。

第二类问题:给出边界端点的一阶导数值: 利用前面已推导的公式:当x∈[xk ,xk+1 ]时,

取k=0,x=x0 ,得:

取k=n-1,x=xn ,得:

移项,得：

于是, 我们可以建立如下方程组:

其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵:

从而可以解出m0 ,m1 ,…,mn , 解出后可以得到三次样条函数的分段表达式, 即当x∈[xk ,xk+1 ]时,

例 已知y=f(x)的函数值为:

m0=0,mn=0,求函数的三次样条插值。

解: h0=1,h1 =2,h2 =1

建立方程组:

解得:

当x∈[x0 ,x1 ]=[1,2]时,

从而得到函数的三次样条插值:

当x∈[x1,x2]=[2,4]时,

当x∈[x2,x3]=[4,5]时,

所以