材料力学第五版第七节应力状态答案.doc

第 七 章 应力状态与强度理论

一、教学目标和教学内容 1． 教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。

掌握强度理论的概念。

了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。 掌握常用的四个强度理论的相当应力。 了解莫尔强度理论的基本观点。

会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 2． 教学内容 应力状态的概念； 平面应力状态分析； 三向应力状态下的最大应力； 广义胡克定律体应变； 复杂应力状态的比能； ⑥梁的主应力主应力迹线的概念。 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。

介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。

简单介绍莫尔强度理论。

二、重点难点 重点 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。

难点 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。

2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。

4、广义胡克定律及其应用。

5 强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。

6 常用四个强度理论的理解。 7 危险点的确定及其强度计算。

三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时 10学时

五、讲课提纲 1、应力状态的概念 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指

过一点不同方向面上应力的集合。

应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。

一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体element）来表示。 单元体的表面就是应力作用面。

由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均匀分布的，而且一对平行表面上的应力情况是相同的。 例如，图7.1截面mm上ad点的应力状态表示方式，如图（c）所示。

图7.1 7.2节中的分析将表明，一点处不同方向面上的应力是不相同的。

我们把在过一点的所有截面中，切应力为零的截面称为应力主平面，简称为主平面（principal plane）。

例如，图（c）中a、d单元体的三对面及b、c单元体的前后一对表面均为主平面。

由主平面构成的单元体称为主单元体（principal element），如图（c）中的a、d单元体。 主平面的法向称为应力主方向。 简称主方向（principal direction）。

主平面上的正应力称为主应力（principal stresss），如图（c）中a、d单元体上的及。

用弹性力学方法可以证明，物体中任一点总可找到三个相互垂直的主方向，因而每一点处都有三个相互垂直的主平面和三个主应力；但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多于三个。 一点处的三个主应力，通常按其代数值依次用来表示，如图（c）中a、d单元体，虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力，但须分别用，表示。

根据一点处存在几个不为零的主应力，可以将应力状态分为三类 1）单向（或简单）应力状态三个主应力中只有一个主应力不为零，如图7.2（a）所示。

2）二向应力状态三个主应力中有两个主应力不为零，如图7.2（b）所示。

3）三向（或空间）应力状态三个主应力均不为零，如图7.2（c）所示。

图7.2 单向及二向应力状态常称为平面应力状态（plane state of stresses）。

二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。

因为，一个单向应力状态与另一个单向应力状态叠加，可能是单向、二向或零应力状态；一个单向应力状态与一个二向应力状态叠加，可能是单向、二向或三向应力状态；。

也就是说，一个应状态与另一个应力状态叠加，不一定属于原有应力状态。

对于平面应力状态，由于必有一个主应力为零的主方向，可以用与该方向相垂直的平面单元来表示单元体，例如图7.1（c）示各单元体，可以用图7.1（d）示平面单元表示。 这时，应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度。 在材料力学中所遇到的应力状态，主要为平面应力状态。

本章重点讨论平面应力状态有关问题。

2、平面应力状态分析 在本节中,将介绍在平面应力状态下，如何根据单元体各面上的已知应力来确定任意斜截面上的应力。

在以下讨论中，取平面单元位于xy平面内，如图7.3（a）所示。

已知x面（法线平行x轴的面）上的应力及，y面（法线平行于y轴的面）上有应力及。 根据切应力互等定理。

现在需要求与z轴平行的任意斜截面ab上的应力。 设斜截面ab的外法线n与x轴成角，以后简称该斜截面为面，并用及分别表示面上的正应力及切应力。

将应力、角正负号规定为 角从x方向反时针转至面外法线n的角为正值；反之为负值。

角的取值区间为或。

正应力拉应力为正，压应力为负。

切应力使微元体产生顺时针方向转动趋势为正；反之为负。

或者，截面外法线矢顺时针向转后的方向为正；反之为负。

求面上的应力、的方法，有解析法和图解法两种。 分别介绍如下 2.1解析法 利用截面法，沿截面ab将图7.3（a）示单元切成两部分，取其左边部分为研究对象。 设面的面积为dA，则x面、y面的面积分别为及。 于是，得研究对象的受力情况如图（b）示。

该部分沿面法向及切向的平衡方程分别为 图7.3 由此得 （a） 由，，及，式（a）可改写为 （7.1） 这就是斜面上应力的计算公式。

应用时一定要遵循应力及角的符号规定。

如果用替代式（9.1）第一式中的，则 从而有 （7.2） 可见，在平面应力状态下，一点处与z轴平行的两相互垂直面上的正应力的代数和是一个不变量。

由式（7.1）可知，斜截面上的应力、均为角的函数，即它们的大小和方向随斜截面的方位而变化。 现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力。 对于斜截面上的正应力，设极值时的角为，由得 可

见，取极值的截面上切应力为零，即的极值便是单元体的主应力。

这时的可由上式求得为 （7.3） 式（7.3）的在取值区间内有两个根及，它说明与有关的两个极值（主应力）的作用面（主平面）是相互垂直的。

在按式（7.3）求时，可以视，并按、、的正负号来判定、、的正负符号，从而唯一地确定或值。

于是有 ， ， 将以上各式代入式（7.1）的第一式，得的两个极值（对应面）、（对应面）为 （7.4） 可以证明，式（7.4）中的指向，是介于仅由单元体切应力产生的主拉应力指向（与x轴夹角为或）与单元体正应力、中代数值较大的一个正应力指向之间。

式（7.4）的、为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力，它的另一个主应力为零。

至于如何根据这三个主应力来排列、、的次序，应视、的具体数值来决定。

平面应力状态下，切应力极值可按下述方法确定。 设极值时的角为，由得 （7.5） 比较式（7.3）和式（7.5），有，可见，即斜截面上切应力的极值作用面与正应力的极值作用面互成夹角。

将由式（7.5）确定的代入式（7.1）的第二式，可以求得斜截面上切应力极值（对应）、（对应）为 （7.6） 这说明，

斜截面上切应力极值的绝对值，等于该点处两个正应力极值差的绝对值的一半。

另外，由式（7.5）可得，代入式（7.1）第一式得 （7.7） 可见在极值作用面上的正应力相等，且为、的平均值。 2.2图解（莫尔圆）法 平面应力状态分析，也可采用图解的方法。

图解法的优点是简明直观，勿须记公式。

当采用适当的作图比例时，其精确度是能满足工程设计要求的。

这里只介绍图解法中的莫尔圆法，它是1882年德国工程师莫尔（O. Mohr）对1866年德国库尔曼（K. Culman）提出的应力圆作进一步研究，借助应力圆确定一点应力状态的几何方法。

2.2.1应力圆方程 将式（9.1）改写为 （a） 于是，由上述二式得到一圆方程 （b） 据此，若已知、、，则在以为横坐标，为纵坐标轴的坐标系中，可以画出一个圆，其圆心为，半径为。

圆周上一点的坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。 因此，这个圆称为应力圆或莫尔圆（Mohr circle for stresses）。

图7.4 2.2.2应力圆的画法 在已知、及（图7.4（a）），作相应应力圆时，先在坐标系中，按选定的比例尺，以,、,为

坐标确定x（对应x面）、y（对应y面）两点，（在应力圆中，正应力以拉应力为正，切应力以与其作用面外法线顺时钟转向后的方向一致时为正）。

然后直线连接x、y两点交轴于C点，并以C点圆心，以或为半径画圆，此圆就是应力圆，如图7.4（b）。

从图中不难看出，应力圆的圆心及半径，与式（b）完全相同。

2.2.3几种对应关系 应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系 1） 点面对应 应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。 如图（9.4（a））上的n点的坐标即为斜截面面的正应力和切应力。

2）转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，斜截面外法线亦沿相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 3）二倍角对应 应力圆上半径转过的角度，等于斜截面外法线旋转角度的两倍。

因为，在单元体中，外法线与x轴间夹角相差的两个面是同一截面，而应力圆中圆心角相差时才能为同一点。 2.2.4应力圆的应用 1）应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。

如果欲求面上的应力及，则可从与x面对应的x点开始

沿应力圆圆周逆时针向转2圆心角至n点，这时n点的坐标便同外法线与x轴成角的面上的应力对应。

的方向按如下方法确定过x点作轴的平行线交应力圆于P点，以P为极点，连接两点，则射线便为n点对应截面的外法线方向，即为的方位线。 2）确定主应力的大小和方位。

应力圆与轴的交点1及2点，其纵坐标（即切应力）为零，因此，对应的正应力便是平面应力状态的两个正应力极值，但是，在图9.4示情况，因，所以用单元体主应力、表示，这时的应为零。

至于在别的情况时，图7.4（b）中的1、2点应取1、2、3中的哪两个数，按类似原则确定。

主应力的方位按如下方法确定从极点P至1点引射线为作用面外法方向，为主应力作用面的外法线方向。

从图7.4（b）中不难看出，主应力、的作用面（主平面）的外法线（主方向）相互垂直。

由图7.4（b）不难看出，应力圆上的、两点，是与切应力极值面（面和面）上的应力对应的。

不难证明正应力极值面与切应力极值面互成的夹角。 3、三向应力状态的最大应力 组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学方法进行受力分析的，只是一般三维构件的特殊情况，但属三维问题。

既然这样，在建立强度条件时，必须按三维考虑才符合实际。

因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情况平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状态，作进一步的分析，才能符合工程实际。

另外，在工程中还是存在不少三向应力状态的问题。 例如，在地层的一定深度处的单元体（图9.5），在地应力作用下便是处于三向应力状态；滚珠轴承中的滚珠与外环接触处、火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态的。 图9.5 本节只讨论三个主应力均已知的三向应力状态，对于单元体各面上既有正应力，又有切应力的三向应力状态，可以用弹性力学方法求得这三个主应力。

对于材料力学中的问题，可以用9.2节的方法以求得三个主应力、及。

图7.6 对于图7.6（a）示已知三个主应力的主单体，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分析平行于三个主应力的三组特殊方向面上的应力。

在平行于主应力的方向面上，可视为只有和作用的平面应力状态；在平行于主应力的方向面上可视为只有和作用的平面应力状态；在平行于主应力的方向面上，可视为只有和作用的平面应力状态。

并可绘出图（b）示三个应力图，并称为三向应力状态应

力圆（stress circle of three dimensional stress state）。 用弹性力学方法可以证明，主单元体中任意斜截面上的正应力及切应力，必位于以这三个应力圆为界的阴影区内。 由三向应力圆可以看出，在三向应力状态下，代数值最大和最小的正应力为 ， （7.8） 而最大切应力为 （7.9） 式（7.8）、（7.9）也适用于三向应力状态的两种特殊情况二向应力状态及单向应力状态。

4、广义胡克定律 体应变 在后续课程中要考虑单元体的变形，本节将讨论应力与应变间的关系。

4.1广义胡克定律 在三向应力状态下主单元体同时受到主应力、及作用，如图7.6（a）所示。

这时，我们把沿单元体主应力方向的线应变称为主应变（principal strain），习惯上分别用、及来表示。

对于连续均质各向同性线弹性材料，可以将这种应力状态，视为三个单向应力状态叠加来求主应变。

由工程力学Ⅰ知，在单独作用下，沿主应力、及方向的线应变分别为 ， ， 式中E、为材料的弹性模量及泊松比（Poisson ratio）。

同理，在和单独作用时，上述应变分别为 ， ， ， ， 将同方向的线应变叠加得三向应力状态下主单元体的主应变为 （7.10） 式（9.10）中的、及均以代数值代入，求出的主应变为正值表示伸长，负值表示缩短。

主应变的排列顺序为，可见，主单元体中代数值最大的线应变为 （7.9） 如果不是主单元体，则单元体各面上将作用有正应力、、和切应力、、，如图7.7所示。

图中正应力的下标表示其作用面的外法线方向；切应力有两个下标，前一个下标表示其作用面的外法线方向，后一个下标表示其作用方向沿着哪一个坐标轴。

如果某一面的外法线沿坐标轴的正方向，该面称为正面，正面上的各应力分量便以指向坐标轴正方向为正，反之为负；如果某一面的外法线沿坐标轴的负方向，则称该面为负面，负面上的各应力便以指向坐标轴的负方向为正，反之为负。

须说明，这里的约定与7.2节的约定是各自的。 对于图7.7，单元体除了沿x、y及z方向产生线应变、及外，还在三个坐标面xy、yz、zx内产生切应变、及。 图7.7 由理论证明及实验证实，对于连续均质各向同性线弹性材料，正应力不会引起切应变，切应力也不会引起线应变，而且切应力引起的切应变互不耦联。

于是，线应变可以按推导式（7.10）的方法求得，而切应变可以利用剪切胡克定律得到，最后有 （7.12） 式中G为剪切弹性模量。

E，及G均为与材料有关的弹性常数，但三者这中只有两个是的，可以证明这三个常数之间存在着如下关系

（7.13） 式（7.10）或（7.12）称为广义胡克定律（generalization Hooke law）. 广义胡克定律对于二向及单向应力状态也适用。

在二向主单元体中，有一个主应力为零，例如，设，则式（7.10）变为 （7.14） 图7.8 在一般平面应力状态下，单元体必有一个主应力为零的主平面，设为z面，这时有，及，如图（7.8）所示。

于是，式（7.12）写成 （7.15） 而，由式可以解得 （7.16） 4.2体应变 体应变又称体积应变（volume strain），是指在应力状态下单元体单位体积的体积改变，设单元体各棱边的变形前长度分别为dx、dy和dz，变形前的单元体体积便为 在三向应力状态下，主单元体变形后的各棱边长度将分别为、及，因此，变形后主单元体的体积为 因为、及均微小，略去高阶微量后 根据主单元体体应变的定义，有 （7.17） 将式（9.10）的三个主应变代入上式，化简后得 （7.18） 上述表明，小变形时的连续均质各同性线弹性体，一点处的体应变与该点处的三个主应力的代数和成正比。

在纯剪切平面应力状态下，因，，由式（7.18）可得该应力状态下单元体的体变0。

因此，在图（7.13）示的一般形式的空间应力状态下，切应力、及的存在均不会影响该点处的体应变，并可仿照以上推导求得 （7.19） 可见，小变形时连续均质各向同性线弹

性体内，一点处的体应变，只与过该点沿三个相互垂直的坐标轴方向正应力的代数和成正比，而与坐标方位和切应力无关。

5、复杂应力状态下的应变比能 弹性体在外力作用下将产生变形，在变形过程中，外力便要通过外力作用方向的位移做功，并将它积蓄在弹性体内，通常称积蓄在物体内的这种能量为应变能（strain energy），而把每单位体积内所积蓄的应变能称为比能（strain.energy density）。

与应变能有关的问题将在第十五章能量法中详细介绍。 在单向应力状态中，如果棱边边长分别为dx、dy、dz的单元体，作用于x面的应力为。

如图7.9（a）所示，作用在单元体上的外力为，沿外力方向的位移为，外力所做的功为 图7.9 根据能量守恒定律，外力功全部积蓄到弹性体内，变成了弹性体的应变能。 单元体的应变能 单元体的应变比能为 应变比能为图9.17（b）示阴影面积。

在三向应力状态下，如果已知、及三个主应力（图11.18a），各对力通过其对应位移所做的功的总和，便为积蓄在物体内的应变能。

因此 单元体的比能为 式中的、、分别表示沿、、方向的线应变，应按广义胡克定律（式7.10）计算，用三个主应力、、表示主应变、、，化简后有 （7.20） 由于单元体的变形有体

积改变和形状改变，因此，可以将比能分为相应的两部分。 与体积改变对应的比能称为体积改变比能（strain.energy density corresponding to the change of volume），用表示；与形状改变对应的比能称为形状改变比能（strain.energy density corresponding to the distortion），用表示。

即 （a） 现在来推导体积改变比能和形状改变比能的计算公式。

将图11.18（a）示单元体表示为图b、c两部分叠加。 图9.18（b）中的三个主应力相等，其值为平均应力，有 由式（7.18）知，图11.18（b）与图11.18（a）的体应变是相等的，那么体积改变比能也应相等。

因此图11.18（b）的三个主应力相等，变形后的形状与原来的形状相似，只发生体积改变而无形状改变，则全部比能应为体积改变化能。

这样，图11.18（a）的体积改变比能为 （7.21） 将式（7.21）代入式（a），并注意到式（7.20），化简后得单元体的形状改变能为 （7.22） 读者自己证明，式（7.22）即为图c的比能。 式（7.22）将在强度理论中得到应用。

6、概述 6.1材料在单向应力状态或纯剪切应力状态时的强度条件 轴向拉（压）杆件的最大正应力发生在横截面上各点处；而横力弯曲梁的最大正应力发生在最大弯矩横截面的上、下边缘处，如图7.1（a）、（b）所示，其应力状态

皆为单向应力状态，强度条件为 拉压杆 梁 式中，为材料破坏时的极限应力，称为安全系数。

对于塑性材料，（屈服极限）；对于脆性材料，（强度极限），皆可由试验确定。

纯扭转圆轴的最大切应力发生在横截面周边各点处；而梁的最大切应力发生在最大剪力横截面的中性轴上，如图7.1（c）、（d）所示，为纯剪切应力状态，强度条件为 扭转轴 梁 式中，或由实验确定。

图7.1 6.2材料的破坏形式 以上列举的强度条件，用于简单应力状态，是直接根据试验结果建立的。 然而工程实际中许多构件的危险点都处于复杂应力状态，其破坏现象较复杂，但材料的破坏形式可分为如下二类 脆性断裂材料失效时未发生明显的塑性变形而突然断裂。 如铸铁在单向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。 塑性屈服材料失效时产生明显的塑性变形并伴有屈服现象。

如低碳钢在单向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。 注意材料的破坏形式并不是以材料为塑性材料或脆性材料为准来区分的。

如大理石为脆性材料，在单向压缩时发生的破坏为脆性断裂，图7.2（a）；若表面受均匀经向压力，施加轴向力后出现明显的塑性变形，成为腰鼓形，显然其破坏形式为塑性屈

服，图7.2b。

图7.2 6.3强度理论的概念 在复杂应力状态下，一点的3个主应力、、可能都不为零，而且会出现不同的主应力组合。

此时如果采用直接试验的方法来建立强度条件，是非常困难的，原因在于进行复杂应力状态试验的设备和加工比较复杂；不同的应力组合需要重新做试验；不同的材料需重新试验。

人们经过长期的生产实践和科学研究，总结材料破坏的规律，提出了各种不同的假说认为材料之所以按某种形式破坏，是由于某一特定因素（应力、应变、形状改变比能）引起的；对于同一种材料，无论处于何种应力状态，当导致它们破坏的这一共同因素达到某一极限时，材料就会发生破坏。

这样的一些假说称为强度理论。

7、常用的强度理论 由于材料存在着脆性断裂和塑性屈服两种破坏形式，因而，强度理论也分为两类一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论，其中有最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；另一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论，其中有最大切应力理论和形状改变比能理论。 7.1第一强度理论最大拉应力理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大主拉应力。

即在复杂应力状态下，只要材料内一点的最大主拉应力达到单向拉伸断裂时横截面上的极限应力，材料发生断裂破坏。

破坏条件为 强度条件为 （7-1） 式中 单向拉伸时材料的许用应力。

试验表明，该理论主要适用于脆性材料在二向或三向受拉（例如铸铁、玻璃、石膏等）。

对于存在有压应力的脆性材料，只要最大压应力值不超过最大拉应力值，也是正确的。

7.2第二强度理论最大伸长线应变理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大伸长线应变。

即在复杂应力状态下，只要材料内一点的最大拉应变达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极限值时，材料就发生断裂破坏。

由广义胡克定律可知 单向拉伸断裂时 于是破坏条件为 即 所以，强度条件为 （7.2） 此理论考虑了三个主应力的影响，形式上比第一强度理论完善，但用于工程上其可靠性很差，现在很少采用。

7.3第三强度理论最大切应力理论 该理论认为材料屈服的主要因素是最大切应力。

在复杂应力状态下，只要材料内一点处的最大切应力达到单向拉伸屈服时切应力的屈服极限，材料就在该处发生塑

性屈服。

由11章可知复杂应力状态下最大切应力为 单向拉伸时 破坏条件为 于是强度条件为 （7.3） 该理论对于单向拉伸和单向压缩的抗力大体相当的材料（如低碳钢）是适合的。 7.4第四强度理论最大形状改变比能理论 该理论认为材料屈服的主要因素是该点的形状改变比能。

在复杂应力状态下，材料内一点的形状改变比能达到材料单向拉伸屈服时形状改变比能的极限值，材料就会发生塑性屈服。

由11章可知 单向拉伸时 ，可得 破坏条件为 即 于是强度条件为 （7.4） 试验表明，对于塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果。

综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式 其中称为相当应力。

四个强度理论的相当应力分别为 对于梁来讲， 注意 1、对以上四个强度理论的应用，一般说脆性材料如铸铁、混凝土等用第一和第二强度理论；对塑性材料如低碳钢用第三和第四强度理论。

2、脆性材料或塑性材料，在三向拉应力状态下，应该用第一强度理论；在三向压应力状态下，应该用第三强度理论或第四强度理论。

3、第三强度理论概念直观，计算简捷，计算结果偏

于保守；第四强度理论着眼于形状改变比能，但其本质仍然是一种切应力理论。

4、在不同情况下，如何选用强度理论，不单纯是个力学问题，而与有关工程技术部门长期积累的经验及根据这些经验制订的一整套计算方法和许用应力值有关。