极化恒等式(教师版)

一、极化恒等式：

1.极化恒等式：设a,b是两个平面向量，则有恒等式ab1[(ab)2(ab)2] （1） 42.极化恒等式的几何意义：向量a和b的数量积ab等于以a和b为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的

1，即 4222111222ab[(ab)(ab)][(AD)BC][ADBC]

444222111222ab[(ab)(ab)][(2AM)BC]AMBC

444在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解 二、极化恒等式的应用

1.（2012年浙江高考15题）在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则

ABAC

解法1：（基底法）ABAC(MBMA)(MCMA)(MBMA)(MBMA)

MAMB92516

解法2：（坐标法）以点M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，则B(5,0),C(5,0)，设A(3cos,3sin)，则

22AB(53cos,3sin),AC(53cos,3sin)

ABAC(53cos)(53cos)(3sin)29cos2259sin2925162211ABACAMBC910016 解法3：（极化恒等式）

44

1

2.（2011年上海高考11题）在正ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则

ABAD

解法1：（基底法）ABADAB(21ABAC) 3322121115ABABAC933 333322解法2：（基底法）ABADBA(BDBA)

2115BABDBA319

22解法3：（坐标法）以BC的中点O为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，则B(3,0), 2133333133D(,0),A(0,)，所以AB(,),AD(,)

222222所以ABAD32715 4422解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC的中点E，则AEBD

所以ABAD(AEEB)(AEED)AEAEEDEBAEEBED

AEEBED(23323115) 2222解法5：（极化恒等式）取BD的中点M，则由极化恒等式知

ABADAM2213322115BD()1 42423.（2016年江苏高考13题）在ABC中，D是BC上的点，E,F是AD上两个三等分点，

BACA4，BFCF1，则BECE

解法1：（基底法）设ABa,ACb，则BACAABACab4 ①

22BFCF(AFAB)(AFAC)(ADAB)(ADAC)3322111112121(aba)(abb)(ba)(ab)(ab2a2b)1 ② 333333339229联立①②得a,b

211所以BECE(AEAB)(AEAC)[(ab)a][(ab)b)

662217(26ab5a5b) 368

2

解法2：（基底法）设BDb,DFa，则

BACA(DADB)(DADC)(3ab)(3ab)9ab4 ① BFCF(DFDB)(DFDC)(ab)(ab)ab1 ②

联立①②得a22222513,b 8822所以BECE(DEDB)(DEDC)(2ab)(2ab)4ab7 8解法3：（坐标法）以BC为x轴，设B(a,0)， BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

C(a,0),A(3x,3y),E(2x,2y),F(x,y)，则

BACA(3xa,3y)(3xa,3y)9(x2y2)a24 ① BFCF(xa,y)(xa,y)(x2y2)a24 ②

联立①②得xy225213,a 88222所以BECE(2xa,2y)(2xa,2y)4(xy)a解法4：（极化恒等式）设AEEFFDa，则

13 822211BACAABACADBC9a2BC4 ①

44222112BFCFFBFCFDBCaBC1 ②

44251132联立①②得a,BC

84822211201372所以BECEEBECEDBC4aBC

448884.若AB是圆O的直径，M是圆O的弦CD上的一个动点，AB8，CD6，则MAMB的取值范围为

解法1：（坐标法）设点A(4,0 ),B(4,0)，设M(x,y)，则

22由OGOMOC知7xy16

所以MAMBx2y216[9,0]

221解法2：（极化恒等式）MAMBMOBCMO16

42又OGOMOC，即OM[7,4]，所以MAMB[9,0]

3

5.已知正ABC内接于半径为2的圆O，E为线段BC上一动点，延长AE交圆O与点F，则FAFB的取值范围为

解法1：（坐标法）建系如图，A(3,1),B(3,1)， 设F(2cos,2sin),[,]，所以 62FAFB(32cos,12sin)(32cos,12sin)24sin[0,6]

解法2：（极化恒等式）FAFBFD2221BCFD3 4因为BDFDCD，即FD[3,3]，所以FAFB[0,6] 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD，顶点A,D分别在x轴，

y轴正半轴（含原点）滑动，则OBOC的最大值为

解法1：（坐标法）设ODA(0,90)，则A(sin,0)，

0D(0,cos)，B(sincos,sin),C(cos,cossin)

所以OBOC(sincos)coscos(sincos)1sin22 当且仅当45时等号成立，所以OBOC的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取BC,AD的中点M,N，则

2211OBOCOMBCOM，

4413又OMONMN1

22321所以OBOC()2，即OBOC的最大值为2

24207.（2012年南京模拟）在ABC中，点E,F分别为线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为2，则PBPCBC的最小值是 解析：（极化恒等式）由题意知SABC21BCh2BCh4 222222213PBPCBCPOBCBCPOBC

44h33()2BC2BCh23 242 4

8.（2012年安徽高考题）平面向量a,b满足2ab3，则ab的最小值为 解法1：2ab34ab4ab94ab94ab 由基本不等式得4ab94ab4ab4abab所以ab的最小值为2222229，当且仅当略 8222111解法2：（极化恒等式）ab(2a)b[2ab2ab][2ab9]

2882ab0193即a,b反向共线且a时等号成立， (09)，当且仅当8842ab3所以ab的最小值为9 8巩固练习：

1.（2007年天津高考15题）在ABC中，AB2，AC3，D是边BC的中点，则

ADBC

解析：ADBC22ABAC115(ACAB)(ACAB)(94) 22222.已知正ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的动点，则PAPB的取值范围为 解析：过点C作CDAB于点D，则点D为AB的中点，

221ABACBC23，PAPBPDABPD3

42因为1PD3，所以PAPB[2,6]

3.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧APB上（如图所示），则

PDPC的取值范围为

221解析：取CD的中点E，则PDPCPECDPE4

42因为2PE25，所以PDPC[016 ]

4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，以A为圆心，AE为半径作圆交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则PCPD的最小值为

5

解法1：（坐标法）

221解法2：（极化恒等式）取CD的中点G，则PCPDPGCDPG1

42又51PG2，所以PCPD[525,3]，所以PCPD的最小值为525 5.已知AB是圆O的直径，AB2，C是圆O上异于，点A,B的一点，P是圆O所在的平面上任意一点，则(PAPB)PC的最小值为

222111解析：取OC的中点D，则(PAPB)PC2POPC2(PDOC)2PD

4226.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD中，且OA3，O为BD的中点，OC5，

若ABAD7，则BCDC

222111解析：ABADAOBD9BD7BD16

444221BCDCCBCDCOBD25169

427.如图，在ABC中，已知AB4，AC6，BAC60，点D,E分别在边AB,AC上，且AB2AD，AC3AE，若F为DE的中点，则BFDE的值为 解法1：（极化恒等式）取BD的中点N，连接NF,EB，则BEAE，所以BE23 因为NF是DBE的中位线，所以FN3

221BFDE2FBFD2(FNDB)2(FN1)4

420解法2：（基底法）略 解法3：（坐标法）略

备选题：

1.（2008年浙江高考9题）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量

(ac)(bc)0，则c的最大值为（ ）

A.1 B.2 C.2 D.

22 22解法1：（代数法）(ac)(bc)c(ab)cab0c(ab)c 所以cabccosc2cos2，故选C

解法2：（坐标法）设a(1,0),b(0,1),cOC(x,y)，则ac(1x,y),bc(x,1y)

6

2所以(ac)(bc)x(1x)y(1y)0(x)(y)1221221 2所以点C在以点(,)为圆心，

11222为半径的圆上，所以c2 2解法3：（几何法）设OAa,OBb,OCc,ODab，则ODab2

所以(ac)(bc)0(OAOC)(OBOC)0CACB0CACB 所以点C在以AB为直径的圆上，所以c的最大值为2

2.（2013年浙江高考7题）设点P0是ABC的边AB上一定点，满足P0B1AB，且对于4AB上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则（ ）

A.ABC90 B.BAC90 C.ABAC D.ACBC 解析：取BC的中点M，则PBPCP0BP0CPM222211BCP0MBC 4400所以PMP0M，所以MP0AB，所以ACBC，故选D

3.在平面直角坐标系xOy中，A,B分别在x,y正半轴上移动，AB2，若点P满足

PAPB2，则OP的取值范围为 解析1：（坐标法）设A(a,0),B(0,b)，P(x,y)，则a2b24

PAPBAPBP(xa,y)(x,yb)x2y2axby2x2y22axby

(x2y22)2(axby)2(a2b2)(x2y2)4(x2y2)423x2y2423

OPx2y2[31,31]

解析2：（极化恒等式）取AB的中点Q，则OQ21AB1 2221PAPBPQABPQ12PQ3，

431OQPQOPOQPQOQPQ31

4.梯形ABCD中，满足AD // BC，AD1，BC3，ABDC2，则ACBD 解析：取BC的两个三等分点E,F，G在CB的延长线上，且BGAD1，则

22221ABDCABAFAEBFAE12AE3

4 7

21ACBDACAG(AEGC)(34)1 425.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OPBP的最小值为 解析：取OB的中点D，则

22211311OPBPPOPBPDOBPD()2

4444166.在等腰直角ABC中，ABAC1，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，

0则(AEAM)(ACAM)的取值范围为 332解析：取CE中点D，则MD[，]

4422117(AEAM)(ACAM)MEMCMDCEMD[，1]

481627.已知A,B是圆O：xy1上的两个点，P是线段AB上的动点，当AOB的面积最大时，AOAPAP的最大值为 解析：当AOB的面积最大时，OAOB，所以

222AOAPAPAP(AOAP)APPOPAPO

取OA的中点，则

2212111AOAPAPPAPO(PMOA)PM()2

44844222

8