样条插值 在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。 目录
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1 定义
2 样条插值 3 线性样条插值 4 二次样条插值 5 三次样条插值
o 5.1 三次样条的最小性
o 5.2 使用自然三次样条的插值 6 示例
o 6.1 线性样条插值 o 6.2 二次样条插值 7 参见
定义
假设有 n+1 个不同的节点 xi
以及 n+1 个节点值 yi，我们要找到一个 n 阶样条函数
其中每个 Si(x) 都是一个 k 阶的多项式。
样条插值
使用多项式插值，对给定数据集进行插值的 n 阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的 n 阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外 n-1 个自由度。
线性样条插值
线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。 从代数的角度来看，每个 Si 都是一个如下
的线性函数。 样条在每个数据点都必须连续，即
我们很容易得到
所以以上论述成立。
二次样条插值
二次样条插值可以构建为
通过选择 z0，然后用递推关系就可以得到系数：
三次样条插值
对于 n+1 个给定点的数据集 {xi} ，我们可以用 n 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果
表示对函数 f 进行插值的样条函数，那么需要：
插值特性，S(xi)=f(xi)
• 样条相互连接，Si-1(xi) = Si(xi), i=1,...,n-1
• 两次连续可导，S'i-1(xi) = S'i(xi) 以及 S''i-1(xi) = S''i(xi), i=1,...,n-1.
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由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成 S的 n 个三次多项式来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1 个条件，内部数据点给出 n + 1 − 2 = n − 1 个条件，总计是 4n − 2 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。 其中一项选择条件可以得到给定 u 与 v 的钳位三次样条，
另外，我们可以设
.
这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。
在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数 f 的最小震荡。
如果选择另外一些条件，
可以得到周期性的三次样条。 如果选择，
可以得到complete三次样条。
三次样条的最小性
三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间 H2([a;b]) 最小化函数
的函数。
函数 J 包含对于函数 f(x) 全部曲率 曲率的近似。
的近似，样条是 f(x) 最小
由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到 n 个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。
使用自然三次样条的插值
它可以定义为
以及
.
通过解下面的方程可以得到它的系数。
示例
线性样条插值
假设要为带有节点
的函数
找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：
样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示：
二次样条插值
下图是一个 k=4 的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子：
参见
三次埃尔米特样条 • NURBS •
