材料力学习题答案2(2020年九月整理).doc

材料力学习题答案2

7.3 在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa。

解 (a) 如受力图(a)所示

x70MPa，y70MPa，xy0，30

(1) 解析法计算（注：P217）

xy22 70707070 cos60035MPa22xycos2xysin2xy2sinxycos27070sin60060.6MPa 2(2) 图解法

作O坐标系, 取比例1cm=70MPa, 由x、xy定Dx 点, y、yx定Dy点, 连Dx 、Dy , 交τ轴于C点, 以C点为圆心, CDx 为半径作应力圆如图(a1)所示。由CDx起始, 逆时针旋转2= 60°,得D点。从图中可量得

D点的坐标, 便是和数值。

7.4 已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:

(1) 主应力大小，主平面位置；

(2) 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；

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(3) 最大切应力。 解 (a) 受力如图(a)所示

x50MPa，y0，xy20MPa

(1) 解析法 （数P218）

2maxxyxy22xy min2500225002257MPa207MPa

按照主应力的记号规定

157MPa，20，37MPa

tan202xyx220y5000.8，019.3

max135772232MPa (2) 图解法

作应力圆如图(a1)所示。应力圆与轴的两个交点对应着两个主应力1、3 的数值。由CDx顺时针旋转20，可确定主平面的方位。应力圆的半径即为最大切应力的数值。

主应力单元体如图(a2)所示。

(c) 受力如图(c)所示

x0，y0，xy25MPa

(1) 解析法

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maxxyxy2xy min2220025MPa0022525MPa

222按照主应力的记号规定

125MPa，20，325MPa

tan202xyxy225，045 00max132252525MPa 2(2) 图解法

作应力圆如图(c1)所示。应力圆与轴的两个交点对应着两个主应力1、

3 的数值。由CDx顺时针旋转20， 可

CDx的长度即为最大切应力的数值。确定主平面的方位。主应力单元体如题图(c2)

所示。

7.33 对题7.4中的各应力状态，写出四个常用强度理论及莫尔强度理论的相当应力。设0.25，

t1。 c4解(a) 157MPa，20，37MPa

r1157MPa （书：247）

r2123570.250758.8MPa r313577MPa

r41222122331 236

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122257760.8MPa 2rM1t1357758.8MPa （书：P250，讲课没有讲） c4

(c) 125MPa，20，325MPa

r1125MPa

r2123250.2502531.3MPa r313252550MPa

r41222122331 2122225255043.4MPa 2rM1t13252531.3MPa c4

7.35 车轮与钢轨接触点处的主应力为-800MPa、-900MPa、-1100MPa。若[σ] = 300MPa，试对接触点作强度校核。

解 1800MPa，2900MPa，31100MPa

r3138001100300MPa300MPa

r41222122331 21222800900900110011008002MPa 2300MPa

用第三和第四强度理论校核， 相当应力等于或小于许用应力，所以安全。

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8.3 图(a)示起重架的最大起吊重量( 包括行走小车等)为W=40kN，横梁AC由两根No.18槽钢组成， 材料为Q235钢，许用应力[σ]=120MPa。试校核横梁的强度。

解 梁AC受压弯组合作

用。当载荷W移至AC中点处时梁内弯矩最大，所以AC中点处横截面为危险截面。危险点在梁横截面的顶边上。

查附录三型钢表（P406），No.18槽钢的A=29.30cm2，Iy=1370cm4 W=152cm3。 根据静力学平衡条件， AC梁的约束反力为：

MF0，

Ci3.5FRAsin301.75W0 ①

Fix0， FRAcos30FRC x0

由式①和②可得：

FRAW，FRC xFRAcos30Wcos30

危险截面上的内力分量为：

FNFRC xWcos3040cos3034.6kN

MFRAsin303.51.75Wsin301.75400.535kNm 2危险点的最大应力

maxFNM34.610335103121MPa (压) 46AWy229.310215210最大应力恰好等于许用应力， 故可安全工作。

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8.8 图(a)示钻床的立柱由铸铁制成，F=15kN，许用拉应力t=35 MPa。试确定立柱所需直径d。

解 立柱横截面上的内力分量如图(b)所示，FN＝F=15kN，M=0.4F=6kN·m，这是一个拉弯组合变形问题，横截面上的最大应力

maxFNM4FN32M415103326103 AWyd2d3d2d3根据强度条件max，有

41510332610335106 23dd由上式可求得立柱的直径为：d0.122m122mm。

8.12 手摇绞车如图(a)所示，轴的直径d=30mm，材料为Q235钢，=80MPa。试按第三强度理论，求绞车的最大起吊重量P。

解 圆轴受力图、扭

矩图、弯矩图如图(b)所示。这是一个弯扭组合变形问题， 由内力图可以判定，C处为危险截面。其上的弯矩和扭矩分别为

MC0.4FRA0.2PNm TC0.18PNm

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T2M2 （书P273） 按第三强度理论：

W将MC、TC值代入上式得

0.033801032P788N 220.180.26绞车最大起吊重量为P=788N。

8.13 电动机的功率为9kW，转速为715r/min，带轮直径D=250mm，主轴外伸部分长度l120mm，主轴直径d=40mm。若[σ]=60MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。显然危险截面在主轴根部。该处的内力分量分别为：

9120Nm 715DD根据平衡条件，2FFT，得

222T2120F960N

D0.25扭矩： T95499549Pn弯矩： M3Fl39600.12346Nm 应用第三强度理论

maxM2T2321202346258300000Pa58.3MPa60MPa

33W4010最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。

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8.14 图(a)为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d=24mm，外径D=30mm。材料为Q235钢，[σ]=100MPa。控制片受力F1=600 N。试用第三强度理论校核杆的强度。

解 这是一个弯扭组合变形问题。空心水平圆杆的受力图如图(b)所示。利用平衡条件可以求出杆上的反力，并作内力图(b)。从内力图可以判定危险截面在B处，其上的扭矩和弯矩为：

T0.2F10.2600120Nm

2MMz2My2.271.2271.3Nm

应用第三强度理论

maxM2T2W3271.321202200000Pa.2MPa100MPa4240.033130

最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，可以安全工作。

9.3 图示蒸汽机的活塞杆AB，所受的压力F=120kN，l=180cm，横截面为圆形，直径d=7.5cm。材料为Q255钢，E=210GPa，

p240MPa。规定nst= 8，试校核活塞的稳定性。

解 活塞杆的回转半径

iId44d2 Ad436

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对于两端铰支杆，μ=1，所以杆的柔度

li11.896

0.075/42E2210109192.9 6p24010因 1，故可用欧拉公式计算活塞杆的临界载荷，即

EI2l22210109Fcr211.80.0754994000N994kN

工作安全因数：nFcr9948.28nst8 F120工作安全因数大于规定的安全因数，故安全。

9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆端承受压力。杆长l4.5m,横截面直径d=15cm。材料为低合金钢，p200MPa，E = 210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全因数为nst3.3。试求顶杆的许可载荷。

2E2210109102 （书P301） 解 1p200106顶杆的柔度为：

lild/414.5120 0.15/4因 1,属于大柔度杆，故可用欧拉公式计算临界载荷，即

EI2l2221010920.154Fcr14.52540000N2540kN

顶杆的许可载荷：

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FFcr2540770kN nst3.3

9.8 某轧钢车间使用的螺旋推钢机的示意图如图所示。推杆由丝杆通过螺母来带动。已知推杆横截面的直径d=13cm,材料为Q255钢，E=210GPa，p240MPa。当推杆全部推出时,前端可能有微小的侧移,故简化为一端固定、一端自由的压杆。这时推杆的伸出长度为最大值，lmax3m。取稳定安全因数nst4。试校核压杆的稳定性。

解 一端固定、另一端自由的压杆的长度系数μ=2。推杆的柔度为：

lild/423185

0.13/42E2210109192.9 6p24010因 1,属于大柔度杆,故用欧拉公式计算临界载荷,即

EI2l222101092Fcr0.13423807000N807kN

推杆的工作安全因数nFcr8075.38nst4，因推杆的工作安全因数大于F150规定的稳定安全因数，所以可以安全工作。

9.15 某厂自制的简易起重机如(a)图所示,其压杆BD为20号槽钢,材料为Q235 钢。材

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料的E= 200GPa,p200MPa,a=304MPa,b=1.12 MPa，s240MPa。起重机的最大起重量是W=40kN。若规定的稳定安全因数为nst5,试校核BD杆的稳定性。

解 应用平衡条件图(b)

MF0，FAiNBD2W240103107000N107kN 1.5sin301.50.5查附录三型钢表得：A32.837cm2，Iy144cm4，iy2.09cm，Ix1910cm4，

ix7.cm。

由计算出Q235钢的

2E2200109199.3

p2001062as30457.1 b1.12压杆BD的柔度( 设BD杆绕y轴弯曲失稳)

yliy11.5/cos3082.91

0.0209因y均小于 1大于2，所以应当用经验公式计算临界载荷，即

FcrAcrAaby32.841043041.1282.9106693000N693kN

压杆的工作安全因数为：

n6936.48nst5 107BD压杆的工作安全因数大于规定的稳定安全因数,故可以安全工作。

10.2 长为l、横截面面积为A的杆以加速度a向上提升。若材料单位体积的质量为，试求杆内的最大应力。

解 应用截面法,由下段的平衡条件可得任一截面的轴力

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FNdgAxAxa0

解上式得：

FNdgAx1a/g

任一截面上的应力

dFNdgx1a/g A当xl时，杆内应力最大

maxgl1a/g

10.4 飞轮的最大圆周速度v=25m/s,材料的单位体积的质量是7.41×103kg/ m3 ,若不计轮辐的影响,试求轮缘内的最大正应力。

解 若不计轮辐的影响,飞轮可视为均质的薄圆环。设其截面积为A,密度为

,平均直径为D,以匀角速度ω旋转,因为是薄圆环,所以可近似地认为环内各点

的向心加速度an相同，等于D2/2，于是沿轴线均匀分布的惯性离心力集度：

qdAan1AD2 2如图(b)所示。

为了求环的内力，设想把环用过直径的平面截开，研究其一半的平衡，如图(c)所示,根据平衡条件，有

Fiy0， 2FNdqdsin0DdqdD 2FNdqdD1AD22Av2 24轮缘横截面的正应力

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FNdAv2dv27.411032524630000Pa4.63MPa

AA

11.1 火车轮轴受力情况如图(a)所示。a=500mm,l=1435mm,轮轴中段直径d=15cm。若F=50kN,试求轮轴中段截面边缘上任一点的最大应力

max,最小应力min,循环特征r,

并作出σ-t曲线。

解 轮轴中段截面上的弯矩为常数，即

MFa501030.525103Nm

最大应力为：

maxM2510375500000Pa75.5MPa 3W0.15/32最小应力为：

min75.5MPa

循环特征：rmin1 max作t曲线图如图( b)所示。

11.5 货车轮轴两端载荷F=110kN,材料为铬镍合金钢，b500MPa，

1240MPa。规定安全因

数n1.5。试校核Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的强度。

解 由平衡条件求得

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FRAFRB110kN

两截面上任意一点为对称循环。 Ⅰ-Ⅰ截面:

弯矩：M1F0.0821100.0829.02kNm 最大弯曲正应力：maxM9.0210372900000Pa72.9MPa 3W0.108/32由图(b)，D/d =133/108=1.23，R/d=20/108=0.185。 查附录四图3得有效应力集中因数K1.35 查附录四表1得尺寸因数0.7

查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数：

0.950.950.905004000.9375

800400其工作安全因数为

n11Kmax2401.60n1.5

1.3572.90.70.9375Ⅱ-Ⅱ截面:

弯矩：M2F0.0820.0361100.11813kNm 最大弯曲正应力maxM21310356300000Pa56.3MPa W0.1333/32查附录四图1,当D/d=146/133=1.098,R/d=40/133=0.3时,查附录四图3得有效应力集中因数K1.2

查附录四表1得尺寸因数0.68

查附录四表2并用直线插入法得表面质量因数

0.850.850.805004000.8375

800400其工作安全因数为

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n11Kmax2402.03n1.5

1.256.20.680.8375因为Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的工作安全因数均大于规定的安全因数,故安全。

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