随机时延网络化不确定系统的鲁棒H∞滤波

自动化学报ACTAAUTOMATICASINICA

Vol.33,No.5May,2007

随机时延网络化不确定系统的鲁棒

H∞滤波

王武1

杨富文1

摘要研究了一类具有随机时延的网络化不确定系统的H∞滤波器设计问题.这类时延的产生是由于传感器和滤波器通过有限带宽的网络连接而引起的系统测量数据的滞后,而且它是随机发生的.本文采用满足Bernoulli分布随机变量来描述测量数据的这种随机时延.利用线性矩阵不等式,给出了全阶和降阶的滤波器存在的充分条件.所设计的滤波器使得滤波误差系统是均方指数稳定且具有给定的H∞性能.数值仿真表明设计方法的有效性.

关键词不确定系统,随机时延,鲁棒H∞滤波,线性矩阵不等式中图分类号TP13

RobustH∞FilteringforNetworked

UncertainSystemswithRandomTime

Delays

WANGWu1

YANGFu-Wen1

AbstractThispaperdealswithanH∞filterdesignprob-lemfornetworkeduncertainsystemswithrandomtimedelays.Asthesensorsandfiltersareconnectedviaalimitedbandwidthcommunicationchannel,asystem󰀂smeasurementsareoftensub-jecttorandomlyvaryingdelays.AndthedelaysareassumedtobethelinearfunctionsofthestochasticvariablesthatsatisfyBernoullirandombinarydistribution.Thesufficientconditionsfortheexistenceoffull-andreduced-orderfiltersarepresented,thus,guaranteeingthatthefiltererrorsystemsareexponentiallymean-squarestableandhaveaprescribedH∞disturbanceatten-uationlevelvialinearmatrixinequalities(LMIs).Anumericalexampleisprovidedtodemonstratethevalidityoftheproposeddesignapproach.

KeywordsUncertainsystems,randomdelays,robustH∞filtering,LMI

1引言

随着网络技术的发展,被控对象与控制器、滤波器之间

通过网络连接而构成网络化系统.由于网络的传输带宽的,信息在传输过程中就会出现滞后的情况.这种由于网络通讯带来的时延具有随机性质,这使得系统分析与设计变得十分复杂.研究也表明时延是造成系统不稳定和性能下降的主要因素.目前较好地描述这种随机时延的方法主要有采用马尔可夫过程[1]和满足Bernoulli分布的随机变量[2,3]来描述的方法.文献[1]采用有限维的马尔可夫过程来描述随机时延,给出了网络化控制系统的最优控制器设计方法.文献[2]研究了满足Bernoulli分布的随机时延系统的H∞控制问题,而文献[3]采用同样的描述方法研究了鲁棒滤波问题.

收稿日期2006-2-8

收修改稿日期2006-9-5

ReceivedFebruary8,2006;inrevisedformSeptember5,2006

国家自然科学基金(60474049,60604027),福建省自然科学基金项目(A0510009)

SupportedbyNationalNaturalScienceFoundationofP.R.China(60474049,60604027)andtheNaturalScienceFoundationofFujianProvinceofP.R.China(A0510009)

1.福州大学电气工程与自动化学院福州350002

1.CollegeofElectricalEngineeringandAutomation,FuzhouUni-versity,Fuzhou350002

DOI:10.1360/aas-007-0557

对一类具有凸多面体不确定离散系统的滤波问题,不少学者采用参数依赖型Lyapunov函数,寻找与系统的不确定性相关联的Lyapunov函数,来减少设计的保守性[4∼6].本文试图将凸多面体不确定研究成果推广到具有随机时延的网络化系统中.沿用[2,3]的描述方法,即采用满足Bernoulli分布的随机变量来描述系统测量数据的随机时延.利用线性矩阵不等式方法,给出了随机时延不确定系统的全阶和降阶H∞滤波器存在的充分条件.

2问题的描述

考虑如下随机时延不确定系统x(k+1)

=Axx(k)+Bww(k)z(k)=Lx

x(k)y(k)=Cx

x(k)+Dww(k)(1)

ˆy

(k)=

r(k)y(k)+(1−r(k))y(k−1)

其中x(k)∈󰀇n是状态向量,w(k)∈󰀇m是外部扰动,属于l2[0,∞),z(k)∈󰀇p是要估计的信号,y(k)∈󰀇r是对象输

出,ˆy

(k)∈󰀇r是对象测量输出,随机变量r(k)∈󰀇是满足Bernoulli分布的序列,其取值为0和1,其概率为

Prob{r(k)=1}=E{r(k)}:=r¯Prob{r(k)=0}=1−E{r(k)}:=1−r¯

(2)

其中r¯是已知的正数.系统矩阵A,B,C,D,L均为不确定

矩阵,假设可以表达为若干个顶点矩阵的凸组合,即

M=(A,B,C,D,L)∈Ω

Ω={(A,B,C,D,L)|(A,B,C,D,L)=

P

S(3)

τ(ABLP

Sii,i,Ci,Di,i),τi≥0;τi=1}

i=1

i=1

注1.本文系统测量输出方程可用来描述由于网络阻塞引起的数据丢失,当数据发生丢失时,则对系统而言表现的就是测量数据超过一个采样周期还未接收到,则采用上一次的数据来替代.现有文献(如[7])研究数据丢失时,如果发生数据丢失,系统的测量输出就仅剩干扰信号w(k),而本文的这种处理方法显然更符合工程实际.

设计如下形式的k阶滤波器

x

ˆ(k+1)=Afx

ˆ(k)+Bfyˆ(k)zˆ(k)

=

Cfˆx

(k)+Dfyˆ(k)(4)

其中ˆx

(k)∈󰀇k为状态估计,Af,Bf,Cf,Df是要设计的滤波器参数.当k=n时设计的滤波器是全阶滤波器,当1≤k那么,滤波误差系统为xf(k+1)

=Aclxf(k)+Adclxf(k−1)+Bclw¯(k)e(k)

=Cclxf(k)+Cdclxf(k−1)+Dclw

¯(k)(5)

其中

\"

x(k)#

xf(k)=

x

ˆ(k),e(k)=z(k)−ˆz(k),\"

#\"

#w

¯(k)=w(k),AA0w(k−1)

cl=

r(k)B,

fC

Af

558

\"

Adcl=

\"Bcl=

hCcl=

h

Cdcl=

hDcl=

−r(k)DfD

(r(k)−1)DfD

(r(k)−1)DfC

0

L−r(k)DfC

−Cf

i,

0

(1−r(k))BfC

00#,

#,

自动化学报33卷

(如γ2),如果F=0,那么二者就是一样的,如果F=0,就可以具有更小保守性的结果,即附加矩阵F增加了解的寻优空间.本文的仿真示例和[6]的仿真都验证了这一点.

Br(k)BfD

0

(1−r(k))BfD

i,

3鲁棒H∞滤波与滤波器设计

定义.

\"

Acl0=

\"

Adcl0=

Ar¯BfC

0Af

#,Acl1=

#

,Adcl1=#,\"

0BfC\"

00#,

#,

0(1−r¯)BfC

00

0−BfC

00

i.

Bcl0=

\"

Br¯BfD

0(1−r¯)BfD

#,i

本文研究的问题是在系统不确定矩阵(A,B,C,D,L)满

足(3)的情况下,设计形如(4)的滤波器,使得滤波误差系统(5)是均方指数稳定的,并使得在零初始条件下,滤波误差系统(5)具有H∞性能γ(γ>0).

引理1.取矩阵M=MT,Q=QT>0和A为合适维数的矩阵,则以下条件等价.

1)ATQA−M<02)存在矩阵R,满足

\"#

T

−MAR

<0(6)

RTAQ−R−RT

3)存在矩阵F和G,满足

#\"

TTTT

−M+AF+FA−F+AG

−F+GTA

Q−G−GT

\"

Bcl1=

h

Ccl0=

h

Cdcl0=

h

Dcl0=

0BfD

0−BfD

h

,Ccl1=

−DfCh

0i

DfC

0

,

i,

L−r¯DfC−Cf

i

(¯r−1)DfC0,Cdcl1=

i

−r¯DfDh

(¯r−1)DfD

i

,

<0(7)

Dcl1=

−DfD

DfD

.

注2.引理1中条件1)和条件2)等价性证明可参见

[8],条件1)和条件3)等价性证明可参见[9].由此可见(6)和(7)是等价的,但是由(6)有−M<0,而(7)隐含−M+ATF+FTA<0,在设计中M包含着待优化的变量

266666666666R−P∗∗∗∗∗∗

266666666666R−P∗∗∗∗∗∗

0−R∗∗∗∗∗

0−R∗∗∗∗∗00−γ2I∗∗∗∗

00−γ2I∗∗∗∗ATcl0iPT

Adcl0iPTBcl0iP−P∗∗∗

ATcl0P

ATdcl0PTBcl0P−P∗∗∗

TCcl0iTCdcl0i

TDcl0i

首先,考虑系统矩阵M∈Ω为任意确定性常值矩阵,然

后由线性矩阵不等式的仿射特性将其推广到不确定系统.

TCcl0TCdcl0

TDcl0

aATcl1P

aATdcl1P

TaDcl1P

00−aP∗

T

aCcl1

TaCdcl1

TaDcl1

37

777777<0777775

0−I∗∗aATcl1iPT

aAdcl1iP

TaDcl1iP

00−aP∗

000−aI

T

aCcl1i

TaCdcl1i

TaDcl1i

(8)

3

7

77777

7<0,(i=1,...,S)777775

0−I∗∗

000−aI

(9)

5期王武等：随机时延网络化不确定系统的鲁棒H∞滤波559

定理1.假设系统矩阵M∈Ω为任意确定性常值矩阵和给定γ>0.如果存在正定对称阵P和R使得式(8)(见上页下方)成立,其中a=(1−r¯)¯r,那么滤波误差系统(5)是均方指数稳定的且具有给定的H∞性能.

推论1.给定γ>0.滤波误差系统(5)均方指数稳定且具有给定的H∞性能的充分条件是如果存在正定对称阵P和R,使得式(9)成立,其中Acl0i,Acl1i,Adcl0i,Adcl1i,Bcl0i,Bcl1i,Ccl0i,Ccl1i,Cdcl0i,Cdcl1i,Dcl0i,Dcl1i为系统(5)的顶点矩阵,它们可以由系统(1)的顶点矩阵和滤波器矩阵求出.

在推论1中,系统矩阵和Lyapunov矩阵存在耦合,因此对每个顶点采用统一的Lyapunov矩阵,这样设计滤波器将带来很大的保守性.为了减小设计的保守性,目前采用的方法是将系统矩阵和Lyapunov矩阵解耦.下面利用引理1实现系统矩阵和Lyapunov矩阵解耦,进而得到不确定系统的鲁棒H∞性能准则.

定理2.给定γ>0.滤波误差系统(5)均方指数稳定且具有给定的H∞性能的充分条件是如果存在正定对称阵Pi和Ri,矩阵Γ和Θ,满足

\"

Π1+ΠT2Θ+ΘTΠ2−ΘT+ΠT

#2

Γ−Θ+ΓT

Π<0,(i=1,...,S)2Π3−Γ−ΓT

(10)

其中

26Ri−Pi00CTcl0iaCT

3cl1i

6∗−Ri0CT7dclaCT

Π60idcl1i71=66

6

∗∗−γ2IDTcl0iaDT7cl1i77,4∗∗∗−I0

75∗∗∗∗−aI

\"ΠAdcl0iBcl0i00#2=

Acl0iAcl1i

Adcl1i

Bcl1i

0

0,

Π3=diag{Pi,aPi}.

下面给出滤波器的设计方法.

定理3.给定γ>0.如果存在任意实数λ11,λ12,λ21,λ22和正定对称阵PV2,V3,A

ˆ1i,P3i,R1i,R3i,和矩阵P2i,R2i,V1,

f,Bˆf,Cˆf,Df满足23

6

Ψ11

Ψ12Ψ13Ψ14Ψ15Ψ16676∗Ψ22Ψ23Ψ24Ψ25Ψ26767676∗∗−γ2IΨ34Ψ35Ψ367

676∗∗∗Ψ7<0,(i=1,...,S)40074

∗∗∗∗Ψ55075

∗∗∗∗∗aΨ55

(11)

\"

#\"

其中E=

Ik∗k0,ΨΨ#11211=

Ψ111(n−k)∗k

∗

Ψ,

113

Ψ111=R1i−P1i+λ11(V1TAi+ATiV1)+¯r

λ12(EBˆfCi+CTiBˆTfET),

Ψ112=R2i−P2i+λ12EAˆf+λ11ATiV3+¯r

λ12CTiBˆTf,Ψ113=R3i−P3i+λ12(Aˆf+AˆTf),

\"

Ψbλ12EBˆfCi+aλ22CTiBˆTaλ22C12=

fE

TiBˆT

#f

bλ12B

ˆfCi0

,

\"

Ψλbλ#11V12EB

ˆfDi13=

1TBi+r¯λ12EB

ˆfDiλλ,

11V3TBi+r¯12B

ˆfDibλ12BˆfDi\"

ΨLT14=

i−¯r

CTiDT

f−aCTT

#iDf

−C

ˆT0,f\"

ΨΨ151

Ψ#152

15=

AˆTfET−λ11V3

TAˆT,

f−λ12V2

Ψ151=ATiV1+¯rCTiBˆTfET

−λ11V1T,Ψ152=ATiV3+¯r

CTiBˆTf−λ12EV2,\"ΨaCTˆTTTˆT#

16=iBfEaCiBf

00

,

\"ΨΨR#

221−2i−aλ22CTˆT

22=iBf

∗−R,

3iΨ221=−R1i−aλ22(EBˆfCi+CTiBˆTfET),\"Ψλ22EB

ˆ#

fDi−λ22EBˆfDi23=λ22Bˆ−λ,

fDi22B

ˆfDi\"

−bCTT#Ψ24=

iDfaCTi

DT

f0

0

,\"

ΨbCT#25=

iBˆTfE

T

bCTi

BˆT

f0

0

,

\"

Ψ−a(CT26=

iBˆTfE

T

+λ21V1T)

−a(CTiBˆT

f

+λ22EV2)

#\"

−aλ,

21V3T

Ψ−r¯DTT

−aDT

#

−aλ22V2

34=

iDff−bDTiDTaDT,

f

f

\"

ΨBTTBT#35=

iV1+r¯DiBˆTiE

T

iV3+r¯DTiBˆT

f

bDTBTbDT,

ifET

i

BˆTf\"

ΨaDT36=

iBˆTiE

T

aDT#iBˆTf

−aDTiBˆTiE

T

−aDTBˆT,

i

fΨ44=diag{−I,−aI},

\"

P1i−V1−V1T

ΨP2i−EV#

2−V355=

∗

P,b=(1−r¯).

3i−V2−V2T

那么滤波误差系统(5)均方指数稳定且具有给定的H∞性

能.此时滤波器的参数为

Af=V−12A

ˆf,Bf=V−12Bˆf,Cf=Cˆf,Df=Df.注3.当λ11=λ12=λ21=λ22=0时,(11)就是采用

引理1的条件2)根据定理3的滤波器构造方法而得到的结果.当λ11,λ12,λ21,λ22给定时,(11)是一组线性矩阵不等式,可以采用MatlabLMIToolbox进行寻求此时的最优γ.而希望得到真正最优的γ值,那么以γ为目标,利用Matlab

560自动化学报33卷

optimizationtoolbox的fminsearch函数来寻找γ最小时的λ11,λ12,λ21,λ22值.

4仿真例子

系统的参数如下\"

\"

hiA=

00.5#−0.2

,B=

0

#,C=

1

0

h0.3+ρ,

i

1D=1,L=12,r¯=0.8,|ρ|≤0.5.

以λ11=λ12=λ21=λ22=0为初始点,由定理3中的(11)和函数fminsearch,可以寻得λ11=−0.0722,λ12=0.0695,λ21=0.0755,λ22=−0.0315时存在最优的γ=4.2241,\"相应的全阶滤波器为A−0.15800.4097#\"−0.2884

#

f=h−0.28740.5965,Bf=,Cf=

i

−0.7185

−0.3214−1.5820,Df=1.2387.对于同样的初值,得到λ11=−0.1140,λ12=0.0253,λ21=0.0622,λ22=−0.0784时存在最优的降阶滤波器,此时的γ=5.0222,相应的滤波器为

Af=0.3357,Bf=−0.5307,Cf=−1.9076,Df=1.3000.

而当λ11=λ12=λ21=λ22=0时,由(11)利用MatlabLMIToolbox可以寻得最优的γ,全阶滤波器时γ=4.2983,降阶滤波器时γ=5.1011.可见本文提出的设计具有较小的保守性.

5结论

本文研究了一类具有随机时延的网络化不确定系统的H∞滤波器设计问题.采用满足Bernoulli分布的随机变量来描述测量数据的随机时延.利用线性矩阵不等式方法,给出了全阶和降阶的滤波器存在的充分条件.

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(WANGWuReceivedhisPh.D.degreefromFuzhouUniver-sity.HeisalectureratFuzhouUniversity.Hisresearchinterestcoversrobustcontrolandfiltering,andnon-fragilecontrol.Cor-respondingauthorofthispaper.)

杨富文福州大学电气工程与自动化学院教授,博士,博士生导师.研究方向为鲁棒控制,信号处理,迭代学习控制,非脆弱控制,工业实时控制和电力电子技术.E-mail:fwyang@fzu.edu.cn

(YANGFu-WenReceivedhisPh.D.degreefromHuazhongUniversityofScienceandTechnology.HeisaprofessoratFuzhouUniversity.Hisresearchinterestcoversrobustcontrol,signalprocessing,iterativelearningcontrol,non-fragilecontrol,industrialreal-timecontrol,andpowerelectronics.)