在毛管压力动态影响下多孔介质中两相流关系的实验和数值分析讲解

在毛管压力动态影响下多孔介质中两相流

关系的实验和数值分析

Diganta Bhusan Das

Dept. of Chemical Engineering, Loughborough University, Loughborough LE11 3TU,

U.K.

Mahsanam Mirzaei

Dept. of Engineering Science, The University of Oxford, Oxford OX1 3PJ, U.K.

DOI 10.1002/aic.13777

Published online March 12, 2012 in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com).

摘要

对实验和数值分析进行良好定义，以确定多孔介质中两相流毛管压力与动态效果关系的重要性。确定动态和准静态毛管压力-饱和度（Pc-Sw），әSw/әt-t曲线。然后通过达到建立流体均衡（әSw/әt= 0）速度的多孔区域的动态效果来确定，这些结果用动态系数（τ）表示。我们发现τ是饱和的非线性函数，它也取决于介质的渗透率。当流体的入口到域中测量点的距离增加时局部测定的τ似乎会增加。然而，依赖τ-Sw曲线遵循在不同的地点区域内有类似趋势的作用。我们认为当地τ-Sw曲线的饱和加权平均可以被定义为一个整个区域遵循指数趋势的有效τ-Sw曲线。

©2012年美国化学工程师AICHE J，58：31-3903，2012

关键词：两相流；多孔介质；瞬时流量；准静态流；毛管压力；饱和度；动态效果

引言

为了刻画各种工业问题（例如，整治地下的污染），需要去量化多孔介质中的两相流动。大量的学者已经开发出各种数值计划去量化流动行为关系如毛管压力（Pc）和含水饱和度（Sw）之间的关系。Pc-Sw的关系在很大程度上取决于实验室中使用10-12厘米高度多孔样品的良好定义实验。在这些实验中，Pc是通过测量在平均非润湿（Pnw）

和润湿（Pw）流体相压力的差异来计算的，表现为润湿相饱和度的函数（Sw）

PnwPwPc,equ(Sw)f(Sw)

（1）

式1中Pc,equ是在平衡饱和状态（әSw/әt= 0）的毛管压力。在传统意义上，1式中毛管压力关系被定义为包括在多孔样品一个影响平衡饱和度分布的所有因素的综合效果，即流体的性质（例如：表面张力，粘度和密度比），介质的性质（例如：孔径分布、渗透率和孔隙度）等。然而，决定Pc-Sw的平衡关系是一个耗时的过程，流体在平衡条件下并不一定流动，特别是在较小的持续时间里，Sw随时间的变化是快速的表示饱和的时间导数（әSw/әt）可能很高。在这种情况下，Pc-Sw的关系在很大程度上

1

依赖于Sw和әSw/әt，这种相关性称为动态效果[1-4]。有很多的作者建议，用式1成为传统的准稳态毛管压力的关系来描述两相流动态条件下的行为[1-19]。有人认为，方程式1应该是广义的，包括毛管阻尼或动态系数（τ）如下[6]

(Pc,dynPc,equ)|SwSw/tSw

（2）

c,dyndynPnwPwdyn和 Pc,equ是动态和平衡的条件的下，方程式中， P所有毛管压力

的测量在同一含水率下。明显为直线方程的一般形式，从理论上讲，应该通过原点对（Pc,dyn-Pc,equ）与әSw/әt积分，这一线性关系的斜率是动态系数（τ）。在这些中详细 Das2和Das等[3]。106到9.95×109Pa.s。讨论Mirzaei、参考文献报道的τ值范围从1.93×最近，越来越多的研究测定其物理解释已被报道[4,18-20]，这表明，动态系数获得的值的重要性。其他最近的工作基于多孔介质两相流动态毛管细压力的关系[21,22]集中在该地区进行开发数值模拟（公式2）。尽管迄今已经积累了知识，仍然有关于多孔介质中动态系数幅度和Pc-Sw两相流的动态行为的定量关系结果的歧义。在这方面，一些基本的问题需要认真加以解决，例如，动态系数的功能可以依赖于多孔介质的性质，如用实验来测定和解释渗透性这些关系。特别是，在两种不同类型多孔介质的动态系数的实验特性的尝试。硅油水流在均质多孔域的实验结果提出通过考虑不同的晶粒尺 寸来探索多孔介质性质的影响，例如，体积平均渗透率，孔隙度和样品孔径分布指数。

为了要实现本文的目标，我们设计的内部均质多孔介质中两相流实验来确定本地和有效的（平均）Pc-Sw关系。专门针对（1）理解网域内施加的边界条件和多孔样品的类型，（2）量化硅油在均质多孔介质的水流的动态效果，在不同的位置所引起的Pc-Sw行为关系的实验。

我们的实验和方法中，介绍和讨论在两个不同的多孔介质进行排水实验的结果。瞬态和准静态实验结果被用来计算整个域范围内的动力系数和量化本地动态效果。特别感兴趣的一点是，因为确定了本地τ-Sw曲线然后找到一个平均有效的全域τ-Sw曲线。这些模拟实验也使用作者已经开发的计算机模型[1-4]。

材料与实验方法 实验流程

在这项工作中，已经设计一个实验装置（图1）来量化多孔介质中的动态效果（τ）。式2中可以明显看出，方程中所需要的参数是准静态（Pc,equ）和动态（Pc,dyn）的毛管压力，含水饱和度（Sw）和饱和度（әSw/әt）的时间导数。因此，我们的实验中已经取得这些参数。构造台涉及挤满细或粗粒砂圆柱细胞的动态和稳态流动实验。在每次实验中，硅油的砂柱（图1）通过疏水性过滤器顶部注入和水的细胞通过细胞的亲水性过滤器的底部排出。三个迷你反射仪（小TDR）探针在样品测量原位含水量的实验过程中安装在不同的高度。三对压力换能器（PTS）也安装在和迷你TDR探针的

2

同一高度细胞壁上。每对PTS包含一个PT配备与亲水性过滤器来监视平均水（Pw）和硅油（Pnw）的压力等，相同高度的疏水性过滤器由TDR探头测量分别对应的Sw。这些测量压力差异（Pnw-Pw）的计算，来确定本地Pc的高度。被测本地的水饱和度和毛管压力，然后用其构造动态和准稳态的Pc-Sw曲线。随后，这些曲线是用于计算动态系数（τ）。

图1 实验示意图

测量传感器

在我们的实验中，小TDR的T-3型探针（东30传感器，华盛顿）在多孔样品用于测量水饱和度。这些校准的单元格直径为10.2厘米和高度为4厘米。对于这一点，采用下列程序。TDR探头连接到一个接口，称为多路复用[同步装置测量，SDMX50，坎贝尔科学（CSI），英国Loughborough同轴互连电缆]，然后连接到一个TDR单元（TDR100，CSI，拉夫堡大学，英国）（CSI，英国Loughborough）。TDR100单元也连接到数据采集器（CR10X，CSI，拉夫堡大学，英国），以记录探头和计算机软件（PCTDR，CSI，拉夫堡大学，英国）自动记录的含水量长度。

小TDR探头校准的第一步是数据记录器输入程序，用迷你TDR探头来模拟相关部分OFTHE的输入信号来确定参数。为了这个目的，一个小型TDR探头被连接到TDR100单元，然后连接到一台计算机运行PCTDR软件。接通TDR100单元的电源和PCTDR软件收集波形。收集到波形表示波形开始，该特定探针的波形长度作为表观距离。当波形开始，使用相同的过程，同时为另外两个探头测量长度。

探头发现明显的波形开始时间和长度值，通过记录器单元连接到五个短导体的电缆来记录TDR100的SDM控制端口的数据。池中充满了已知量的水和预定量的砂，然后倾入细胞。随后，施加24小时真空，采取多孔样品任何可能残留的空气。TDR100单元接通迷你TDR探头与数据记录仪来记录读数。接着，在单元格中的水被饱和砂土样品所取代，即完全饱和的油，同时，数据记录器记录这个样本的数据。这两个测量提供了在细胞中100％和0％的水的相对应校准曲线的点。然后将样品与已知

3

量的油水混合物充分饱和，放置在单元格中。样品被取代，迷你TDR探头记录读数。相同质量的样品与水和油的比重不同，但被认为能找到足够多的点校正曲线。知道各相流体混合物中确切的量用于确定不同的点，在每个样品中，制备单相量的点的校准过程中，样品水饱和度的曲线图随TDR探头的读数变小。表1给出了不同探头长度的PCTDR软件和计算TDR探头校准曲线拟合的多项式函数参数。每个迷你TDR探头功能一旦被确定用于校准，它们被安装在单元格中的预定位置，并固定在适当位置，通过应用有机硅密封胶。

表1 本文实验测定Sw拟合校准参数（数据按照三阶多项式方程形

23式:SwABKaCKaDKa）

探测器名称 TDR-1 TDR-2 TDR-3 探头长度 68 65 67 探头偏置 A 5.6 -1.5996 5.7 -1.6637 5.5 -1.7824 B 0.3215 0.3362 0.3555 C -0.0147 -0.0156 -0.0165 D 0.0002 0.0002 0.0003 在这项工作中，有6个PTS（XTC-190M-7 BARG，库力特半导体产品，Leonia，新泽西州）用于压力测量。放置在PTS前面的I-vyon F3.2 P4处理（PORVAIR科技Porvair过滤集团的一个部门，英国Wrexham）聚合物过滤器被用来衡量非润湿相的压力（硅油膜）。Vyon是疏水性的，用来控制水溶液润湿的孔隙结构。为了使其亲水，PORVAIR技术采用特殊工艺处理，以提高其表面的润湿特性允许直接吸收润湿液和入口压力非常高的不润湿液。在三个不同高度的单元格，以测量水的压力，三个PTS被安装在一侧。PT和一个过滤器之间的一个小的间隙允许流体积聚在前面的PT的压力测量。根据润湿特性，每个过滤器被脱气和饱和水润湿相或油（非润湿阶段）之前设立在原地PT压力测量校准。该脱气单元由两个圆形水库便于密封装置内的圆柱细胞原位脱气和饱和。每个库由一个主钻的中间，三个孔的一侧与壳体单元和主要流线提供连接的流线。每个库的主流程线连接的流入及流出线在下端和上端分别提供的除气的液体和空气的吸入和排出。

一旦完成后，除气和饱和真空泵的流线被断开，而除气设备放置到位。PTS 连接到CR10X数据记录器进行数据采集。记录仪Net3.1支持软件（CSI，湖行政区，英国）提供的设施，通讯，编程，数据传输，在校准过程中，通过实验的数据处理。当校准单元的压力降低到大气压时，空气压力线断开。绘制的PT曲线图读取每励磁电压（MV/ V）与总压力，这是上述各PT校准单元的压力加上流体静压头。这似乎是一个线性函数给出了一个不错的选择，以合理准确的数据点。这样一个曲线图给每对PT校准方程。直线的斜率是每个PT方案的数据记录器的偏移值与截距的乘积。校准数据的收集，实验细胞小心地安装在顶部配备完全饱和的和排气的亲水性过滤器的金属板。然后，该单元被注满水并除气装置被卸下，以防止任何空气流去空气过滤器PTS。在确定了测量的传感器校准功能进行编程的数据记录器的压力和饱和度的测量，将样品准备进行两相流的实验。

4

多孔样品和流体属性

我们的实验采用两种商业档次的石英砂，即莱顿巴扎德DA14/25粗粒细粒砂（WBB矿产，柴郡，英国）和莱顿巴扎德DA30。这两个砂提供高均匀颗粒（d60/d10等于1.32为粗砂和1.21为细砂），球形度高，化学纯度高，有机质含量很低。粘度为200厘斯的硅油（BDH实验室日用品，英国Poole），在水中的溶解度可忽略不计，在室温温度和健康风险的波动被选择作为非水相液体（非水相液体）。我们的实验中所选择的水相是蒸馏水。

两相的流动实验是在直径为102毫米和120毫米的长度圆筒状的丙烯酸系细胞进行的。在所有的实验中，将砂在蒸馏水储层砂搅拌，直到无气泡出来的混合物。然后将混合物放置在一个真空单元24小时，以消除任何夹带的空气泡。细胞进行了仔细的安装一盘配备了O形圈密封紧，脱水，充分饱水的亲水性过滤器，以便于排水，防止油流在部分流出。潮湿和脱水的砂，然后倒入装满水的细胞。整个单元被放置在容器中收集多余的水的容器被放置在机械摇动器，以提供均匀的和致密的完全水饱和的包装。

多孔样品的均匀性，可通过X射线断层扫描检查。一旦确认，样品具有均匀的填料，填砂的孔隙率从每个砂包的总质量被测定。之前进行两相流实验中，使用水和单相流密切关注恒定水头渗透测试是测量固有渗透率砂包。为了执行该实验，亲水性过滤器被放置在顶部装有蒸馏水的砂柱和流入水库。

表2 实验中相关的流体和多孔介质属性

属性 渗透率，K（m2） 多孔性，θ（-） 入口压力，Pd（Nm-2） 孔径分布指数，λ（-） 残余水饱和度，Srw（-） 密度，ρ（Kg/m3） 粘度，μ（Kg/m·s） 表面张力σ（Nm）a 粗砂 8.7×10-10 0.35 510 2.07 0.258 — — — 细砂 3.1×10-10 0.32 675 2.55 0.271 — — — 水 — — — — — 1000 1×10-3 0.072b 硅油 — — — — — 968 193×10-3 0.035c 细砂和粗砂的属性，其中包括内在渗透率，孔隙度，布鲁克斯科瑞参数[23]确定准静态实验结果列于表2。在我们的实验中所用的流体的性质也已载于本表。这些测试所使用的液体的密度，粘度和表面张力都保持在一个恒定的温度为20℃的地方中，以避免任何温度变化的影响。

准静态和动态的两相流动实验程序

饱和多孔样品的孔隙度和渗透率测量，用硅油填充连接进入细胞内，以允许其流动（图1）疏水性过滤器和马里奥特瓶上的亲水性过滤器被替换。马氏瓶在实验细胞

5

通过一个手动压力调节器提供恒定的压力油的流量。

准静态的两相流动实验

我们的准静态流动实验如下进行：在单元格的底部流出，阀保持打开，以允许在实验过程中的流速非常低。平整的顶部的砂，以克服重力效应最小化的静水压头压力梯度。硅油的初始压力是零砂柱内。然而，硅油的压力PT的记录显示的静水压头，这是等于PTS测定水在同一高度上的压力测量。然后，边界上的硅油的压力逐渐增加马氏瓶的顶部上的空气压力增加。这导致了通过疏水性过滤器在顶部的细胞浸润硅油。注入油取代水的砂柱。水饱和度（Sw）到直接测量实验单元格中使用三个TDR探针。为了确认的Sw读数，也做一些测量考虑初始含水量和流出水量。然后这些与TDR读数的平均Sw相比。之所以在我们的工作中使用的TDR读数绘制Pc-Sw曲线是因为我们感兴趣的是本地测量的不可能的动态系数，否则就不使用TDR探针。水流进行了实验，直到达到稳态流条件，即水流量稳定在流出阀，测量Sw和Pc提供准静态的Pc-Sw曲线的一个点。接着，所施加的空气压力，因此，实验继续增加油的压力，直到达到新的稳态。由此获得的Pc-Sw曲线的第二点。此过程重复几次，以确定一个完整的Pc-Sw的样本曲线。此过程继续，直到测得的水含量在较低的TDR探头达到束缚水含量（Siw），并保持不变。然后，实验装置拆卸清洗和除气过滤器进行新实验。样品被重新安装，PTS脱水再次恢复和校准。测试电池用干净的砂子被重新组合和重新包装，再进行新的实验。

动态两相流动实验

进行动态两相流的实验，在域的顶部施加的硅油压力上升到一个高的压力，并施加恒定的空气压力。表3表示出了所施加的压力，在这项工作中进行不同的动态两相流动实验。动态的两相流的继续，直到饱和度在较低的TDR探头达到它的束缚水饱和度（Siw）。TDR探头测量的水分含量，正如前同时点创纪录的石油和水的压力。他们提供必要的数据，以确定三个本地动态Pc-Sw曲线为每个边界压力。一旦石油战线达到底部的过滤网和较低的迷你TDR探头开始表示束缚饱和水（Siw）该实验已经终止。重复这个实验为四个不同的条件下提供足够的动态Pc-Sw曲线确定S-Sw关系。然后，使用这些曲线是与稳态的Pc-Sw曲线计算所讨论的结果，在三种不同的测量高度在塔内的动态系数。

表3 圆柱均质多孔介质，考虑到用于测量两相流属性的压力

细胞实验应用不同的动态排水排量的边界条件

6

位移情况 动态情况1 动态情况2 动态情况3 动态情况4 5.6 3.9 2.8 2.1 8 9 10 11 顶部边界 1.2 零磁通水 1.2 1.2 1.2 底部边界 狄氏水压力（Pa） 零通量非润湿相 持续时间（小时） 狄氏非润湿相压力（Pa） 狄氏边界条件的压力施加在顶部和底部的水不润湿阶段。零通量边界条件是对水施加在顶部和底部的非润湿相。只允许非润湿相浸润在顶部和底部的压力细胞的水分流出。

数值分析

实验室进行的实验为了调查在多孔介质中的两相流的动态效果，我们的目标是模

拟在本节中的这些实验。主要目标是来形容先前报告的理论框架的实验中使用的并以探讨，是否从这些数值的模拟中比较实验的结果。边界条件（表3）和数值模拟域的大小（表4），实验所用的相同。此外，柱形域的配置和控制方程（表5），以模拟在

2

多孔介质中的流体流动是由Mirzaei和Das多孔介质和流体性质所用的相同的定义是相同的那些测量计算列于表2的实验。

通过Mirzaei和Das2也紧跟的实验程序，模拟动态和准静态的Pc-Sw曲线的程序中有详细描述。在这篇文章中，由于空间不足，他们不重复。

表4不同域的几何结构的节点和节点间距数

域几何形状 二维矩形 三维矩形 3D圆柱形 N×ΔR（cm） — — 4×1.25 节点数量×节点间距在不同的几何形状 N×Δθ（） — — 4×90 oN×ΔX（cm） 8×1.25 8×1.25 — N×ΔY（cm） 1×7.92 8×0.988 — N×ΔZ（cm） 1×0.05，24×0.5，1×0.005 1×0.05，24×0.5，1×0.005 1×0.05，24×0.5，1×0.005 N—节点数目；ΔR—节点间距柱形域R方向；ΔH—节点间距H方向的柱形域；ΔX—X方向的矩形域（2D或3D），节点间距；ΔY—节点间距在Y方向矩形域（2D或3D）；ΔZ—Z方向的长方形圆柱形域（2D或3D），节点间距。

表5数值模拟中使用的方程

模型方程 参数的定义 7

达西定律的延伸版本，为保护流体相势头 qKrk 保护流体饱和多孔域的连续性方程Sq0,w,nwt 布鲁克斯科瑞伯丁（布鲁克斯科瑞，19）毛管压力和相对的关系域的渗透性 SewSewPccd,PpPd1,PcPd,0Sew1P0,w,nwSwSrwSew1SrwKrwSew(2)/“w”和“nw”是润湿（水）和非润湿（DNAPL）流体相； Q [LT-1]：流体流速； Kr[ - ]：相对渗透率； K[L2]：渗透系数； μ[ML-1T-1]：流体的粘度； P [ML-1T-2]：平均孔隙水压力； φ[-]:孔隙介质； ρ[ML-3]：流体的密度； S[ - ]：平均流体在多孔介质中的饱和度； Sew[ - ]：有效润湿相饱和度；Pd[ML-1T-2]：入口介质压力； λ[ - ]：孔径分布指数； Srw[ - ]：束缚润湿相饱和度。 (2)/Krnw(1Sew)2(1Sew) 平均方法

如前所述，实验毛管细压力饱和度（Pc-Sw）和饱和度（Sw-t）曲线测量细胞内的三种高度。因此，数值模拟，毛管压力和饱和度值平均超过三个相应的测量量，即上，中，下测量卷。这些卷是围绕每个实验室测量点的测量卷在中间位于多孔介质的体积相等。上部，中部和下部的测量量是相等的。如下，以获取平均的Pc-Sw和Sw-t曲线在测量高度，毛管压力和饱和度值中的每个节点对应的测量体积的平均值

(Pc|tn)ViPnw|tnPw|tnV （3） tniVi

c其中，tn是一个任意的第n个时间步长，(P|tn)Vi是在时刻tn的平均毛管压力的

mm1SwjPnwjSwjPwjj1j1mm1SwjSwjj1j1功能，测量体积Vi，其中i=1,2,3对应于从顶部到底部的域的三个测量体积，(Pnw|tn和Pw|tn)Vi是平均体积不润湿和润湿相压力，Pnwj和Pwj是非润湿和润湿相的压力， Snwj和Swj是不润湿性和润湿相压中任意的第j个节点时刻tn相对应的饱和度，其中j= 1，2，3，...，m是在测量空间Vi的节点的总数。

在每个节点的数值网格的润湿性，非润湿性流体的饱和度和体积的关系如下

VWJVnwjVj

（4）

8

SVjVj,w,nw

（5） （6）

SwjSnwj1其中，Vwj和Vnwj任意节点j的润湿和非润湿阶段。Vj为节点j体积，Swj和Snwj是在节点j的润湿和不润湿相饱和度。

在测量体积Vi在任意的时刻tn的平均水饱和度的计算使用单独的节点的平均饱和度的数值测量体积Vi

mSwjjVj|tnj1Sw|tnV（7） mijVjj1Vi

各数值单元的孔隙率的影响是相同的。因此，7式中的孔隙率可以忽略。基于在

不同的时间在每个测量体积的平均含水饱和度，然后计算每个数值测量体积。әS/әt也是在任何时间的平均水饱和度与时间的关系曲线的斜率。近似基础上的中心差分格式，如下所示

Sw|tn1Sw|tn1S|Sw,tntVitn1tn1VI（8）

其中，Sw|tn-1，Sw|tn和Sw|tn+1是平均润湿相饱和tn-1，tn，tn+1利用公式7计算在任何数值测量体积。

在确定有效平均Pc-Sw曲线和әS/әt随时间变化的曲线，方程2应用于不同的数值测量计算动态系数。诚如之前，饱和度加权平均计算的动态系数和平均润湿相饱和度值在不同的测量体积计算平均动态全域系数的值。

结果与讨论 实验结果

多孔样品的压力分布。在本节中，我们简要地讨论分布在多孔样品阶段的润湿性和非润湿压力。图2显示了在三个不同的高度内通过选择性测得的样品PTS和边界的地方的流体压力。由图可知，一对安装在同一高度上表现出相似的行为PTS前沿推进硅油前达到。硅油尽快达到疏水性过滤器的油PT，它显示了压力的增加。这是因为只允许油流通过过滤器到达前面的PT中存在的油室中的油过滤器的疏水性。然而，由于油不能流过亲水性过滤器水PT读取一个恒定的压力，但仍插入在过滤器上的静水压头。在一定高度域中的非润湿性和润湿相的压力的差异被确定，这是该高度在域中的毛管压力（Pc）。这些Pc的数据，然后用于构建Pc-Sw曲线。在图2中给出的结果是仅适用于非润湿相的压力的情况下，当在样品上边界是8千帕。发现类似的

9

趋势为其他边界的压力值，不包括在这篇文章。

图2 在粗砂领域应用的顶部边界压力（油压）8千帕的压力传感器的读数

图3 粗砂饱和度在边界油压力8，9，10，11千帕随时间变化（Sw-t）

10

图4 （a）8千帕边界压力细和粗 （b）动态流量条件下所有边界条件 砂域的Sw-t曲线； 细砂域的Sw-t曲线

水饱和度（Sw）多孔样品中的分布。图3示出的在3个不同高度水饱和度的变化（Sw）与硅油置换水含有粗砂细胞内的多孔域的时间。在该图中，在不同的高度的粗砂Sw对从实验的开始所经过的时间作图。域边界的油压力的数字显示，在该图中可以明显看出，TDR探头示出的上面的束缚水饱和度（Srw）比中间的稍微高。与此相反，最低探表明与Srw域的底部相比，上部和中间部分的域高。这是某种程度上预期作为我们的实验装置模拟压力传感器。因此，前面的硅油，在我们的实验，达到更低的亲水性，它可以没有任何进一步的流动，它往往会积聚在过滤器里。这可以防止细胞从多孔介质的底部流出，而从多孔介质样品中更高的Srw附近顺利流出。这似乎导致在中间有稳定的Sw-t，特别是域的一部分，在多孔样品的旁路，隔离水就不能动。如果饱和（Sw-t）曲线叠加目标的边界条件，表明，在不同的高度上的探针不会导致残余油饱和度值的曲线有非常相似。图3还显示了在一幅图中的三个不同的高度所有动态的流动条件Sw-t曲线。正如预期的那样，图中显示，即较高的边界的压力，有较高的残余油饱和度。达到探针时推进波前在边界压力比下边界压力较高，在所有国家和地区Sw-t曲线的趋势非常一致。

图4a表明8千帕压力的硅油在不同高度中的细砂和粗砂Sw-t曲线之间的比较。正如所料，推进非润湿阶段需要更长的时间来达到测量高度上细砂域比粗砂域较低的渗透率。该图还显示，剩余的水饱和度都高在细砂域，由于更小的孔径大小，从而降低细砂域的渗透率。在其他边界压力，即9，10，和11千帕观察到类似的趋势。

这些数字表明，在相同的时间中细砂比粗砂Sw高。另外，对于不同的边界条件，残余水饱和度在介质中的域下方更高且比细砂更加显著。残余水饱和度增加而增加边界的压力。因此，无论是边界条件和多孔介质类型影响的分布和Srw值。图4b显示

11

了类似的粗砂域，比非润湿相细砂更高的临界压力，有更快的位移。这意味着，在更高的边界条件下（压力11千帕油压力）的前进油前沿到达测量点早于下边界压力位移（8千帕油压），这是与预期的结果相一致。

准静态多孔样品中的Pc-Sw关系。准静态的Pc-Sw曲线已在文献中进行了广泛的介绍，都很好理解。然而，我们提出我们的实验中为完成讨论了一些典型的结果，因为这些曲线都需要确定动态系数。图5显示了准静态排水粗粒和细粒砂域的Pc-Sw曲线。Pc-Sw曲线从本地和边界的毛管压力数据确定。正如预期的那样，粗砂域图5a所示，从局部压力和水饱和度测量计算的Pc-Sw曲线覆盖的Pc-Sw曲线计算边界压力和累积倒掉的水样品。这是因为在准静态条件下，当地的Pc-Sw曲线遵循Pc-Sw曲线测量的边界Pc数据。为了简单起见，从现在开始我们称从边界测量数据的Pc-Sw曲线作为有效的准静态Pc-Sw曲线。此外，Pc-Sw曲线的比较确定的细砂和粗砂域排水（图5b）表明，Pc-Sw曲线的多孔介质的固有渗透率较低（在这种情况下的细砂），这是符合预期的趋势。

要验证实验数据的可靠性，还进行了在顶部边界域与油压力为10KPa的实验，取得准静态的Pc-Sw曲线。结果发现，原始的和反复的实验的结果几乎完全重合。这给了实验中已被正确地进行和使用开发的试验装置可再现结果的信心。

图5 准静态毛管压力曲线

（a）从本地和边界数据粗砂准静态Pc-Sw曲线 （b）确定有效粗和细砂的 确定本地测量边界压力和饱和度数据 准静态Pc-Sw曲线

动态Pc-Sw多孔样品的关系，在本节中，我们讨论了一些典型结果动态的Pc-Sw关系。这些实验结果，包括从当地测得的在不同地点的动态Pc-Sw曲线，确定不同的粗和细砂域的边界条件压力饱和度。在不同的地方Pc-Sw曲线遵循类似的趋势，几乎覆盖在粗和细的砂域。此一致的行为显示出与边界条件无关。然而，在更高的边界压力（例如11千帕）局部毛细管压力在最低测量位置显示的饱和度较低。在细和粗砂

12

域，更高的边界压力导致残余油饱和度较高。这是预期细和粗砂域Sw-t形概况所示。图6显示在粗和细的砂域本地动态Pc-Sw曲线的比较。准静态流条件相似，局部动态的Pc-Sw曲线细砂域较高。图6还表明，动态的Pc-Sw曲线依赖于所施加的边界的压力和多孔介质，如渗透率和孔径分布的属性。此外，对于具有相同属性的多孔介质，这不是独特的Pc-Sw曲线。

图6 11千帕的压力边界细和粗砂动态P-Sw曲线比较。

c

动态系数（τ）的计算。公式2示出的Pc,dyn-Pc,equ和әSw/әt，如果给一个已知的饱和度值，τ可以被确定。在确定细和粗砂域Pc,equ和Pc,dyn，我们在相同的测量高度绘制的曲线计算的动态系数。例如，图7显示了一组典型的细和粗砂域准静态和动态的Pc-Sw曲线，这是用于计算在此位置上的动态系数。边界的压力越高，对所有介质类型越是远离准静态曲线的动态曲线位子。类似的，在域中的其他地方也观察到此趋势。

әSw/әt-t为多孔样品在不同高度的关系。在本节中，我们将讨论对于细和粗砂域的饱和时间导数（әSw/әt）与时间（t）曲线。әSw/әt是Sw-t曲线的斜率，因此，在某一特定时间的饱和度变化率。在我们的例子中，әSw/әt-t关系表明，硅油取代水的单元，这反过来又决定了动态系数（见公式2）饱和度的变化率可能会随时间而改变。正如预期的那样，әSw/әt是不恒定的，随时间变化的。图8显示әSw/әt-t取决定与细和粗砂域测量地点的不同。图8a-c使用从实验开始时所经过的时间，而图8d使用饱和发生的第一个变化时刻的时间。正如图中所示，细砂域әSw/әt结果相比粗砂域略高。叠加әSw/әt-t曲线（8d图），也比较细和粗砂域再次显示了一致性的行为曲线。此外，Sw的导数与t的关系确定在三个不同高度的粗砂域，说明在较低的残余油饱和度较高的测量点可能是比较高的边界压力高，即有轻微的差异。图7和8中的曲线是用来寻找Pc,dyn-Pc,equ和әSw/әt-t然后计算当地τ-Sw的关系。

τ-Sw在不同高度的多孔样品的关系。在本节中，我们将讨论如何计算动态系数。如图所示，Pc,dyn-Pc,equ和әSw/әt的饱和度被确定在图7和图8中的细和粗砂域三个不

13

同高度。Pc,dyn-Pc,equ和әSw/әt计算τ是必要的。在图9中，提出一个典型的中间粗砂域。如该图所示，直线数据点可以安装到不同的饱和度值。基于方程。如图2所示，这些直线的斜率被定义为特定的饱和度值τ。

图7 （a，b）本地中间粗和细砂域动态和准静态Pc-Sw曲线的测量高度。

在上部和下部的测量点观察到类似的趋势。

图10表明了本地细和粗砂域中排水计算出的τ-Sw曲线。图10a显示τ-Sw上粗和细砂域测量点中的依赖性。图10b显示的突出图形部分为0.5< Sw <1动态系数及其较高的饱和度为多孔介质类型，以示区别。虽然在图10a的动态系数似乎要小些，粗砂域范围的较高饱和度仍然相当稳定，图10b所示，这可能并非如此。

图8 （a，b）在粗粒和细砂域的所有边界条件的әS/әt-t曲线；（c，d）在细和粗砂域8千帕边

界压力的әS/әt-t曲线。

14

类似的比较观察其他的边界条件曲线。图8a-c使用从实验开始时所经过的时间，而图8d使用饱和发生的第一个变化的时刻的时间。

图9 动态和准静态的Pc-Sw曲线（Pc,dyn-Pc,stat=△Pc）与饱和度（әSw/әt）动态系数（τ）计算时

间导数之间的差异在粗砂域的中间测量点。

图10c，d显示的τ-Sw曲线在中部和下部的两个砂测量高度。可以明显看出，随着动态系数的增加，饱和度逐渐减小，但是这不是一个线性依赖关系。此外，在所有高度相同的饱和细砂域动态系数较高。在时间和所需能量达到准静态条件时，当地特定的物理特性τ-Sw数据显示在图10a-d上，如透气性，孔隙性和孔隙大小分布。然而，他们强烈地依赖于润湿相饱和度。结果表明，在较低的水饱和度的系统需要更高的动态系数达到准静态条件，这意味着多孔介质属性系数的依赖性。

有效τ-Sw关系。由于τ-Sw曲线在不同的地点细和粗砂域中相当一致的趋势，以一个平均数据，并提出了一个有效的τ- Sw平均含水饱和度为整个域的函数曲线，如图11。指的是通过利用下面的公式，其中Sw是体积加权也是平均有效的水饱和度，水饱和度的平均值，〈τ〉|S是饱和度加权动态系数（τ），这是为一个函数的有效平均τ，平均有效饱和（τ）Vi是动态系数和Sw测得的饱和度，测量体积Vi在相应的测量高度I（ I=1,2,3...，n）测量的高度，数量计算的τ-Sw曲线，即数字的τ-Sw曲线，其中n= 3。

SSwi1inwtn|VViiVi1wtnin（9）

iS|Si1in|VViiSi1inwtn|Vi|S

（10）

15

图10 （a至d）在细和粗砂域中动态系数与饱和度数据

图11 细和粗砂域中平均动态系数与饱和度关系

图11给出在粗和细砂域中平均τ-Sw曲线。同样，τ-Sw曲线显示粗砂域和细砂域的差异。这意味着，细砂域需要更多的能量来达到准静态流动条件。

经发现在不同高度的样品τ-Sw关系，可以使用不同的平均方法（本研究中所使用

16

的量加权平均算术平均数，几何平均数，调和平均数等）的平均值代替整个域。在这项研究中，三个本地测得的饱和度加权平均τ-Sw曲线（式10）被使用。曲线的型态与作者先前观察的那些相似。

图12 有效的动态和准静态Pc-Sw曲线中粗砂域的测量体积

图13 在上、中层和较低的测量和有效τ-Sw数据数值计算

数值分析

试图模拟均质域中的动态和准静态两相流，确定在三个测量体积对应的Pc-Sw曲线。图12显示粗砂域测量体积数值的动态和准静态数值实验的结果。类似的实验室试验，平均动态Pc-Sw曲线不准高于平均准静态Pc-Sw曲线。在数值实验，不润湿阶

17

段，不发生通过较低滤波器的实际问题。因此，位移继续进行，直到整个域中的残余水饱和度分布是相似。在此条件下的范围内的毛细管压力也较高（图12）。因此，毛管压力下毛管压力值（或更高饱和度值）饱和曲线都被抑制，Pc-Sw变化趋势不清晰。Pc-Sw曲线毛管压力值较低，Pc-Sw曲线被放大0.4< Pc<1.8千帕。在图12中所示，在数值实验的开始时更高的边界压力导致较高毛管压力，平均饱和度是较高的。考虑到实际情况，布鲁克斯科瑞用于多孔介质中的流体流动数值模型进行建模这是合乎逻辑。观察了在上部和下部相同的测量趋势。

图14 比较粗砂实验和数值模拟有效τ-Sw关系

所说的相同步骤，用于三个测量体积中的数值域的动态系数计算。图13显示了设置三个不同测量τ-Sw的数据和有效τ-Sw的数据计算。正如图9和图10中所示，当地的上覆有效τ-Sw数据与当地的τ-Sw数据遵循一致的趋势。图中所示的实验结果显示，动态系数是当水饱和度减少和水饱和度增加的非线性函数。图14显示出了比较，计算出粗砂域上进行数值和实验室实验的平均τ-Sw数据。从图中可以看出，实验和数值模拟有效覆盖在τ-Sw数据上。很显然实验的结果可以使用前面的数值模型进行预测。

结论

该文章是针对均质多孔介质中的三维（3D）两相流动态和准静态毛管压力-饱和度曲线直接实验测定。实验技术已被设计，以适应于3D多孔材料的高渗透率压力和含水饱和度PTS和TDR探针的原位测量。测量一般都是在指定的边界条件在合理的时间内进行。这种方法的主要优点在于收集必要的信息来描述两相流行为动态和平衡

18

条件样品材料的排水位移的可能性。

在这篇文章，我们已经提出我们的实验研究在垂直方向3D圆柱形域中的两相流。测量瞬时响应突破后多孔介质压降的总润湿相饱和度。测得动态曲线Pc-Sw进行对比，解释相应稳态结果和动态两相多孔介质中流动的机制的潜在差异。我们的研究结果清楚证实，Pc-Sw关系不是唯一的，并依赖于流动力学，即稳定状态，多孔渗透性，等其他因素，这是符合我们先前的数值结果。我们结果表明，在文献中提出了动态毛管压力的线性关系一般是有效的。在排水的多孔介质，动态系数是水饱和度的非线性函数，随着饱和度降低而降低。换句话说，流动系统需要较高的能量随着饱和度降低到平衡。此外，饱和度在不同的位置关系计算出一个域的τ-Sw加权平均，给出了表示为一个域的有效曲线。

在这项工作中所采用的方法具有的优点是直接测量样品内的润湿性和非润湿相和饱和度，这是当地的毛管压力，即为本地动态系数同时测定的压力。但是，（1）附近流出物中的流体分布，最小化方式的不确定性，端部效应的减少，（2）非均质性对τ-Sw关系的影响，在未来将探索。开展模拟这项工作展示了τ-Sw的关系，可以使用以前开发的数字计划进行预测。

致谢

这项研究被放入英国EPSRC Project GR/S94315/01框架中，“微观和温度对两相多孔介质流动中的动态毛管压力饱和度关系的影响。感激EPSRC资助。G.西尔斯教授（牛津大学，英国）承认完成实验这项工作中的巨大贡献。审稿意见有助于提高文章内容。

参考文献

[1]Mirzaei M, Das DB, Sills GC. Dynamic effects in capillary pressure saturation relationship for two-phase flow in porous media: experiments and numerical simulations. In: Proceeding of the ITP2007 Interdisciplinary Transport Phenomena V: Fluid, Thermal, Biological, Materials and Space Sciences, October 14–19, Bansko, Bulgaria, 2007.

[2]Mirzaei M, Das DB. Dynamic effects in capillary pressure-saturations relationships for two-phase flow in 3d porous media: implications of micro-heterogeneities. Chem Eng Sci. 2007;62:1927–1947.

[3]Das DB, Gauldie R, Mirzaei M. Dynamic effects for two-phase flow in porous media: fluid property effects. AIChE J. 2007;53:2505–2520.

[4]Hanspal N, Das DB. Dynamic effects on capillary pressure-saturation relationships for two-phase porous flow: implications of temperature. AIChE J. 2012, DOI: 10.1002/aic.12702.

[5]Kalaydjian F. Dynamic capillary pressure curve for water/oil displacement in porous

19

media: theory vs. experiment. Presented at the SPE Conference, Washington, DC, SPE24813, October 4–7, 1992.

[6]Hassanizadeh SM, Gray WG. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media. Water Resources Res. 1993;29:33–3405.

[7]Beliaev AY, Hassanizadeh SM. A theoretical model of hysteresis and dynamic effects in the capillary relation for two-phase flow in porous media. Transport Porous Media. 2001;43:487–510.

[8]Beliaev AY, Schotting RJ. Analysis of a new model for unsaturated flow in porous media including hysteresis and dynamic effects. Comput Geosci. 2001;222:345–368. [9]Hassanizadeh SM, Celia MA, Dahle HK. Dynamic effect in the capillary pressure-saturation and its impact on unsaturated flow. Vadose Zone J. 2002;1:38–57. [10]Barenblatt GJ, Patzek TW, Silin DB. The mathematical model of non-equilibrium effects in water-oil displacement. Soc Pet Eng. 2003;84:409–416.

[11]Dahle HK, Celia MA, Hassanizadeh SM. Bundle-of-tubes model for calculating dynamic effects in the capillary pressure-saturation relationship. Transport Porous Media. 2005;58:5–22.

[12]O’Carroll DM, Phelan TJ, Abriola LM. Exploring dynamic effects in capillary pressure in multistep outflow experiments. Water Resour Res. 2005;41:W11419.

[13]Oung O, Hassanizadeh SM, Bezuijen A. Two-phase flow experiments in a geocentrifuge and the significance of dynamic capillary pressure effect. Porous Media 2005;8:247–257.

[14]Oung O, Schenkeveld FM, Weststrate F. Centrifuge research on the transport of DNAPLs: the use of dielectric water content sensors to study DNAPL transport into porous media in centrifuge experiments. In: Proceedings of the International Symposium on Physical Modelling and Testing in Environmental Geotechnics, La Baule, May 15–17, 2000:317–324. ISBN 2-7208-6050-6.

[15]Manthey S, Hassanizadeh SM, Helmig R. Macro-scale dynamic effects in homogeneous and heterogeneous porous media, Transport Porous Media. 2005;58:121–145.

[16]Bottero S, Hassanizadeh SM, Kleingeld PJ, Bezuijen A. Experimental study of dynamic capillary pressure effect in two-phase flow in porous media. In: Proceedings of the XVI International Conference on Computational Methods in Water Resources (CMWR), Copenhagen, Denmark, 18–22 June, 2006.

[17]Gielen TWJ. Dynamic effects in two-phase flow in porous media: a pre scale network approach. PhD thesis, Delft University of Technology, Delft, The Netherlands, 2007. [18]O’Carroll DM, Mumford KG, Abriola LM, Gerhard JI. Influence of wettability variations on dynamic effects in capillary pressure. Water Resour Res. 2010;46:10.1029/2009WR008712.

[19]Joekar-Niasar V, Hassanizadeh SM, Dahle HK. Non-equilibrium effects in capillarity and interfacial area in two-phase flow: dynamic pore-network modeling. J Fluid Mech.

20

2010;655:38–71.

[20]Sakaki T, O’Carroll DM, Illangasekare TH. Direct quantification of dynamic effects in capillary pressure for drainage-wetting cycles. Vadose Zone J. 2010;9:424–437.

[21]Fucik R, Mikyska J, Sakaki T, Benes M, Illangasekare TH. Significance of dynamic effect in capillarity during drainage experiments in layered porous media. Vadose Zone J. 2010;9:697–708.

[22]Peszynska M, Yi SY. Numerical methods for unsaturated flow with dynamic capillary pressure in heterogeneous porous media. Int J Num Anal Model. 2008;5:126–149.

[23]Brooks RH, Corey AT. Hydraulic Properties of Porous Media. Hy-drology Papers. Colorado State University, 19.

[24]Adamson AW, Gast AP. Physical Chemistry of Surfaces, 6th ed. Wiley-Interscience, 1997:784. ISBN 0-471-14873-3.

[25]Das DB, Mirzaei M, Widdows N. Non-uniqueness in capillary pressure saturation relative permeability relationships for two-phase flow in porous media: implications of intensity and random distribution of micro-heterogeneity. Chem Eng Sci. 2006, 61: 6786–6803.

Dynamic effects in capillary pressure relationships for two-phase flow in porous media：Experiments and numerical analyses.pdf

21