我的积累2

言语理解 ................................................................................................................................................. 3 选词填空 ............................................................................................................................................. 3 作答技巧.......................................................................................................................................... 3 近义词辨析 ...................................................................................................................................... 3 关联词辨析 ...................................................................................................................................... 4 成语辨析.......................................................................................................................................... 4 片段阅读 ............................................................................................................................................. 4 作答技巧.......................................................................................................................................... 4 主旨概括.......................................................................................................................................... 5 意图推断.......................................................................................................................................... 6 态度观点.......................................................................................................................................... 6 细节判断.......................................................................................................................................... 7 语句排序.......................................................................................................................................... 7 判断推理 ................................................................................................................................................. 7 图形推理 ............................................................................................................................................. 7 数量类问题解题思路 ....................................................................................................................... 8 样式类问题解题思路 ....................................................................................................................... 9 位置类问题解题思路 ..................................................................................................................... 10 空间构成类问题解题思路 .............................................................................................................. 10 平面构成类问题解题思路 .............................................................................................................. 11 线条组合类问题解题思路 .............................................................................................................. 11 演绎推理 ........................................................................................................................................... 11 形式推理类问题解题思路 .............................................................................................................. 12 加强论证类问题解题思路 .............................................................................................................. 15 削弱论证类问题解题思路 .............................................................................................................. 15 日常推理类问题解题思路 .............................................................................................................. 17 类比推理 ........................................................................................................................................... 18

语法分析类比问题解题思路 .......................................................................................................... 18 集合概念类比问题解题思路 .......................................................................................................... 19 逻辑映射类比问题解题思路 .......................................................................................................... 19 定义判断 ........................................................................................................................................... 20 单定义判断类问题解题思路 .......................................................................................................... 20 多定义判断类问题解题思路 .......................................................................................................... 21 数量关系 ............................................................................................................................................... 22 数字推理 ........................................................................................................................................... 22 基础数列........................................................................................................................................ 23 常见数列........................................................................................................................................ 23 因数分解........................................................................................................................................ 24 幂次数列........................................................................................................................................ 25 等差数列........................................................................................................................................ 27 等比数列........................................................................................................................................ 27 递推数列........................................................................................................................................ 28 多重数列........................................................................................................................................ 28 分数数列........................................................................................................................................ 29 特殊数列........................................................................................................................................ 29 图形数阵........................................................................................................................................ 30 数算 ........................................................................................................................................... 30 数字特性........................................................................................................................................ 30 等差数列与平均数 ......................................................................................................................... 33 行程问题........................................................................................................................................ 33 排列组合及概率问题 ..................................................................................................................... 36 牛吃草与电梯问题 ......................................................................................................................... 39 时钟问题： .................................................................................................................................... 41 容斥原理： .................................................................................................................................... 41 抽屉原理： .................................................................................................................................... 42 中国剩余定理：............................................................................................................................. 43

日期问题： .................................................................................................................................... 43 页码问题： .................................................................................................................................... 44 方阵问题： .................................................................................................................................... 45 极限问题： .................................................................................................................................... 45 得分种类问题：............................................................................................................................. 45 其他常用公式：............................................................................................................................. 46 资料分析 ............................................................................................................................................... 48 注意问题 ........................................................................................................................................... 48 常用技巧 ........................................................................................................................................... 48

言语理解

选词填空 作答技巧

固定搭配：有些词不能跟宾语；有些词只能做形容词；

前后呼应：文段前后提到的词，跟要填的词会有呼应（对比、并列、修饰词） 感情色彩：区分褒义词和贬义词

强调重点：两个近义词由于字的差别在强调的重点方面有所不同，这时可以把词拆开，分成单字看重点

关联词：看使用的关联词表达的整个语段意思的走向

近义词辨析

提炼文段信息，排除选项

可从感情色彩、语义轻重、语体风格及文体风格等方面着手 感情色彩：

根据语境提供的信息判断作者是积极的感情色彩还是消极的 文段中可能出现几种观点，包括作者的和其他人的，要注意区分 语义轻重：

近义词之间有程度深浅和性质轻重的差别 语体风格及文体风格： 分口语和书面语

关联词辨析

由于不能引导位置在后的原因分句

成语辨析

感情色彩：

区分贬义成语和褒义成语 词义轻重：

根据不同程度和性质判断用词

片段阅读 作答技巧

从选项中合并同类项，排同求异 标点符号：

注意破折号，问号，冒号 寻找主题句，主题句常出现在： 转折关联词之后：

文段转折之前的陈述往往跟作者的真实意图相左，可以略看

因果关联词之后：

因为„„所以„„，强调的就是“所以”之后的那一部分 因此„„，可见„„，看来„„，正因如此„„ 注意之所以„„是因为„„，强调的部分在后面 递进关联词之后：

而且„„，并且„„，也„„，还„„，甚至„„，更„„，尤其„„，重要的是„„，关键的是„„

假设关联词之后：

如果„„就„„，强调的就是“如果和就”之间的那一部分 条件关联词之后：

只有„„才„„，强调的就是“只有和才”之间的那一部分

只要„„就„„，除非„„，必须„„，应该„„，应当„„，需要„„，务必„„ 总结词之后：

总之„„，概括来说„„ 举例前后：

例子是为了证明观点用的 反证之前：

„„否则，强调的是否则之前的部分 特定词： 主体排除法：

正确选项的论述主体应该与文段一致

主旨概括

正确答案常常是一个解决问题的对策，或者一个核心的观点，应该注意了解时下热点问题 注意文段结构：

首尾句，总分、分总、总分总关系 并列关系：概括时要全面 注意特定词：此外„„

意图推断

意图推断意味着作者没有直接将要表达的意思说出来，即原文没有，要根据文句推断，发现言外之意

通常论述结构有两种：

态度观点

重点是理解作者的态度、倾向性

明确的观点：***认为„„，笔者认为„„ 隐含的观点：找关键句、关键词

注意分清其他人的观点和作者的观点：通常认为„„，传统认为„„，有人认为„„，这些词引出的观点通常跟作者的观点相反

细节判断

五类陷阱：

时态偷换：过去、现在、将来 数量偷换：大多、少量

话题偷换：确保选项与文段谈论的是同一件事情 概念偷换：

逻辑偷换：将因果关系、条件关系偷换为并列关系；因果倒置

语句排序

观点在举例之前

观察各选项，用第一句和最后一句排除选项

判断推理

图形推理

知识框架：

数量类问题解题思路

分五类： 点 线 角 面 素

先从整体考虑，识别这五种数量问题，若整体不行，从部分的角度确定数量

识别点： 直线之间的交点，直线与圆的交点，不同圆之间的交点，包括交点\\切点\\割点，注意线段与线段之间的交点 识别线： 线条数\\线头数 分别含有多少直线\\曲线 圆的直线数量为1 内侧和外侧图形边的个数 识别角： 通常是封闭区域 圆是零边零角

含有开放图形不考虑角，重点考虑边 内侧和外侧图形角的个数

识别面： 包括封闭区域和连通区域两类， 连通区域的问题经常看起来图形庞杂

相交的线段只算一个连通区域 面的含义有时还包括面积

识别素：包括元素种类\\数目的变化，常常由多个单独的小元素组成 都是由同种\\两种元素组成

总共有几类元素组成(组成元素种类依次增加\\减少)

一个顶俩： 几种元素之间的等价关系;同种元素之间的等价关系(内外\\左右\\上下) 相邻两个图形之间含有相同元素 所有图形含有相同元素 图形中含有同种元素的数量

图形中含有两种不同元素相互间的数量关系

汉字类问题： 笔画数

都含有相同的结构 封闭区间数 一笔画问题：

优先识别线再考虑一笔画

所有点均为偶点或者只有两个奇点的图形可以一笔画 (两个奇点从一点出发到另一点结束)

样式类问题解题思路

识别方法： 题目的组成元素相似 分三类： 遍历/计算(加减同异)/属性

识别遍历： 每行每列含有多个相同的样式，它们的出现次数有规律，常见于九宫格（九宫格要注意分行或者分列考虑）

每行中有超过三种样式的题目，可在原图基础上等效为四列

识别计算： 同行或者同列的图形存在各种关系， 叠加\\相减\\求同\\去同

注意阴影的方向

叠加之后的变化方向： 同样的变成同样的，还是相反 比如无箭头无箭头变成有箭头\\黑黑变白\\ 识别属性： 对称性\\曲直性\\封闭性 轴对称(几条对称轴)/中心对称

都是直线图形\\都是曲线图形\\直线曲线图形相间 都是封闭图形\\都是开放图形\\封闭开放图形相间 九宫格中一个曲一个直，一个开放一个封闭

非常重要的一点： 无思路时从选项着手，区分几个选项间的不同点，再分析题目 (都是直线只有一个曲线， 都是开放只有一个封闭， 都有N个封闭区间只有另一个不同) 样式类解体要点： 先看样式遍历\\再看加减同异

位置类问题解题思路

识别方法： 题目的组成元素相同 分三类： 平移/旋转/翻转

识别旋转： 看清整体和部分，旋转方向和角度

注意元素选择的同时，阴影是否一起转，旋转时阴影的方向

识别翻转： 翻转和旋转的区别就在于， 翻转之后图形的时针方向改变 识别平移： 注意元素移动的格数， 可能每次移动相同， 也可能成等差数列 图形里每次改变的数目成等差数列

若元素里有数字， 可观察跟每次移动的格数是否相关

空间构成类问题解题思路

注意一个面的鲜明特征/两个面的组成关系(相邻/相对) 在立体图形中注意寻找特殊面

相对关系：

相对关系的两个面在立体视图中能且只能看到其中之一 解题技巧： 确定两个相对面， 迅速排除错误选项

注意： 给出的平面图形是立体图形的外表面，需要向里折叠， 但是对于确定相对面不造成影响

相邻关系：

固定某一面，采用时针法，观察立体图形与平面图形中相邻三个面的顺序是否相同 解题要点： 一个面 寻找特征面

两个面 相对关系有一面， 相邻关系用排除

平面构成类问题解题思路

种类不同看个数 种类相同看时针

线条组合类问题解题思路

看选项， 用对比排除法

演绎推理

知识框架：

形式推理类问题解题思路

识别方法： 题干只给出前提，要求从这些前提条件出发得出必然结论 分三类： 翻译推理型/真假推理型/分析推理型

翻译推理型：题干给出一些概念，以及这些概念间的关系，要求推出结论 注意题目中的逻辑关联词 三个等价：

A → B等价于￢B → ￢A（逆否命题，解决翻译推理的关键，看到一个命题就找它的逆否命题）

￢（A且B）等价于 ￢A或￢B ￢（A或B）等价于 ￢A且￢B

注意：逆否命题否定A或者肯定B不能得出任何结论 三个关联翻译：

如果（只要，凡是）P，那么Q 即 P → Q（充分条件） 只有P，才Q 即 Q → P（必要条件）

或者（要么）P，或者Q 即￢P → Q ，￢Q → P

注意：或者P，或者￢Q 等价于 P且Q或者￢P且￢Q（即P、Q要么都要，要么都不要） 三个判断翻译：

所有S都是P（不是P都不是S） 即 S → P 没有S是P（没有S是P） 即 S →￢P 有的S是P 即 有的S → P 解题要点总结：

第一步：翻译，将题目用三个关联翻译和三个判断翻译转化好 第二步：推理，利用肯定信息优先原则，利用三个等价得出答案

真假推理型：题干给出一些前提，前提中有真有假，要求判断命题的真假 注意题干中给出的前提之间的关系，可能有矛盾关系\\包容关系\\反对关系 矛盾关系：找到矛盾的两个命题，迅速判断其他命题真假 命题P的矛盾命题（否命题）是￢P P → Q 的矛盾命题是P且￢Q

注意：判断P → Q 为假的唯一条件是 P且￢Q （若有P就有Q为假，那么一定有P且没有Q）

矛盾关系必有一真一假，而反对关系（两命题不能同时成立）不能同真，可以同假 包容关系：

若P真则Q也真 即 P → Q

若P → Q，则 一真前假，一假后真（只有一个真的，那么前面的是假的；只有一个假的，那么后面的是真的）

注意：包容关系等情况难判断的时候，可采取带入法，把选项带入找正确答案 反对关系：

两个反对关系的命题中，必有一个是真的（有人会„„，有人不会„„） 有的。。有的。。必有一真 所有。。所有。。必有一假 解题要点总结：

首先看矛盾，一真其余全假，一假其余全真

其次看反对，有的。。有的。。必有一真，所有。。所有。。必有一假 最后看包容，一真前假，一假后真

分析推理型：题干给出一些人或事物，利用已知条件，得出一一对应 注意：信息量最大优先原则

分五类： 组合问题/排列问题/不完全推理问题/计算问题/智巧问题 组合问题&排列问题：

利用信息量最大优先原则找到推理的起点 列表法 选项带入法 假设法

不完全推理问题： 排除法 计算问题：

防止概念偷换，看清数字对应的概念 智巧问题：

若过于复杂可以考虑及时放弃 解题要点总结： 肯定信息优先 信息最大优先 特殊信息优先

加强论证类问题解题思路

识别方法： 题干中有论点和论证，选项中的正确答案对于论证论点有帮助 分二类： 假设加强型/支持加强型

假设加强型：题干中的结论隐含一个前提，这个前提是推出结论的必要条件 搭设桥梁：已知前提 A → B，已知结论 A → C，添加假设B → C 要寻找核心孤立信息，看哪个选项包含两个有用信息

建立联系：已知前提 A，已知结论 B，添加联系A → B 或￢B → ￢A 肯定前提：已知前提 A → B，已知结论 B，添加假设A成立或可行 解题要点总结：

本质：寻找孤立信息，有效建立联系 方法：搭设桥梁，建立联系，肯定前提 验证：否定代入

支持加强型：具有“答案不需充分原则”，只要选项对于题干结论有支持作用即可 旁人不灵：已知命题A可以导致B，加强论断，除了A没有别的因素可以影响结论B 没我不行：已知命题A可以导致B，加强论断，没有A，B就不成立了 类比对比： 类比加强 对比加强 解题要点总结： 旁人不灵 没我不行 类比对比

削弱论证类问题解题思路

识别方法： 题干中有论点和论证，选项中的正确答案对于反驳论点有帮助或最有帮助 分二类： 演绎削弱型/归纳削弱型

演绎削弱型：题干给出一个演绎性的结论，要从前提、论证、结论三方面找缺陷，找一个最能反驳结论的

通常有三种方法：削弱论点，削弱论据（前提），削弱论证 否定假设：

已知命题 A → B，否定A可削弱结论（A不可行或无意义） 有因无果：

已知命题 A → B，A且￢B或者A、B无关系 可削弱结论 削弱结论：

搞清题干的结论，用它的否命题来削弱 削弱力度的比较：

削弱结论>有因无果>否定假设 解题要点总结： 削弱论据——否定假设 削弱论点——削弱结论 削弱论证——有因无果

归纳削弱型：题干给出一个归纳性的结论，要从建立的因果联系中找漏洞，找一个最能降低结论可靠性的 样本特殊：

已知命题 样本A归纳得到结论B 削弱： 样本A没有代表性 没我也行：

已知命题 A会造成B 削弱：没有A也有B 他因削弱： 已知命题 A → B

削弱：还有其他原因C也可推出B 因果倒置：

已知命题 A → B 削弱：实际上是B → A

解题要点总结：

削弱论据——样本特殊 没我也行 削弱论证——他因削弱 因果倒置

日常推理类问题解题思路

分三类： 结论型/解释型/类推型

结论型：题干中列举一些论据，问可以得到或不能得到什么结论 可以推出：

防止转换话题和偷换概念 无法推出：

夸大事实（以偏概全、不完全归纳）：注意敏感词汇“首要、主要、绝对、更、迅速、不断”等 无由猜测

偷换概念：数字的不同含义、数字陷阱 解题要点总结： 四个原则： 保持主题一致 排除无关概念 优先可能选项 慎选宏观论断

解释型：解释结论或现象，解释差异或缓解矛盾 解释结论：

明确要解释的关键概念，快速定位选项

解释矛盾：

找到矛盾的两个方面，最好的选项要包含两个方面

类推型：

找准平行结构，不用关注内容 重点找关联词

类比推理

知识框架：

语法分析类比问题解题思路

识别方法：类比推理中的两个或多个前后词词性不同，可以用语法分析的方法把它们连接起来，也就是通常说的造句

分三类： 主谓关系类/主宾关系类/谓宾关系类 主谓关系类：

两个概念A和B，B是A的谓语或者表语，都是主谓关系 主谓关系要分清主动和被动 主宾关系类：

两个概念A和B，B是A的宾语，A+谓语+B构成完整句子，A、B构成主宾关系

谓宾关系类：

两个概念A和B，构成动宾搭配，构成谓宾关系

注意：给出的几个词可能都是动词，它们具有相同的宾语

集合概念类比问题解题思路

识别方法：类比推理中的两个或多个词词性相同，可以分析它们几个概念之间的关系 分四类： 同一关系类/并列关系类/交叉关系类/包含关系类 同一关系类：指的是几个词完全等价

并列关系类：几个同级的词，都是属于一个大集合下面的子集合，它们之间的关系进一步可以分为矛盾关系和反对关系

交叉关系类：几个词之间存在交叉关系，有的A是B，有的B是A

包含关系类：几个词不是同一级，一个词完全包含另一个词，B是A的组成部分 注意：种属、组成要分清

逻辑映射类比问题解题思路

识别方法：类比推理中的两个或多个词词性相同，但不属于同一类别，则存在着逻辑关系 分三类： 必然和或然关系类/充分和必要关系类/对称和反对称关系类 必然和或然关系类：

必然关系：一个词成立，另一个词必然成立 或然关系：一个词成立，另一个词可能成立

注意：找出了合乎逻辑的几个选项之后，再进行仔细对比，哪一个在词性、类别等等方面和题干最为接近，还要注意几个词的前后关系顺序是否对应 充分和必要关系类：

几个词之间若存在必然关系，那么要根据传递方向的不同，分为充分关系和必要关系 对称和反对称关系类：

两个概念A和B，若A确定后B唯一，则为对称关系；若B不唯一，则为反对称关系

解题要点总结：

第一步 确定是否是同一类别

第二步 若是同一类别，思考集合概念的四种关系

第三步 若不是同一类别，首先看词性，进行语法分析（造句） 其次看逻辑，分三种逻辑关系

定义判断

知识框架：

单定义判断类问题解题思路

识别方法：题干中只有一个定义

解题方法：拿到一个概念，把概念拆开，找出关键词，包括：主体、行为、客体

行为包括：时间（在„„之前，在„„之后），地点（在„„，位于„„），原因（由于„„，原因是），目的（以„„为目的，为了„„），方式（以„„的方式，通过„„） 注意始终要看清是属于还是不属于 多要件“与”和“或”的关系： 和 关系 要件缺一不可 或 关系 要件有一就行

多定义判断类问题解题思路

识别方法：题干中不只一个定义 注意看清问题问的是什么定义

注意：例证与定义间存在对应关系的数目，不必一一对应

解题要点总结：

第一步 区分问题，看清是符合还是不符合的

第二步 找关键词，先看主体后看属，再看目的与方式 第三步 区分要件间是 和 关系还是 或 关系

数量关系

数字推理

思维步骤：

基础数列

常数列： 6，6，6，6，6„„ 等差数列：2，5，8，11，14，17„„

等比数列：4，12，36，108，324，972，2916„„ 质数列：2，3，5，7，11，13，17，19„„ 83、、97是100以内三个最大的质数 合数列：4，6，8，9，10，12，14，15„„ 周期数列：4，5，6，4，5，6„„

常见数列

所谓常见数列，就是对这些数列要了若指掌

常见数列常常在多层等差数列的最后一层出现，要相当熟悉 阶乘数列：

1，1，2，6，24，120，720，5040„„ 0的阶乘为1

注意阶乘数列的变形：3，4，8，26，122，722„„ -1，0，4，22，118，718„„ 全错排列：

0，1，2，9，44，265„„

实际上全错排列也是（A+B）*2，3，4，5„„

全错排列：5个人每个人写一封信，然后放到抽屉里，随后每人拿一封，每个人都不拿自己写的那封的情况有几种？44种 倍数递增数列：

2，2，3，6，15，45„„ 12，6，6，9，18，45„„ 质数列和合数列的变形：

2，3，5，7，11，13，17，19„„ 4，6，8，9，10，12，14，15„„ 常出现质数列、合数列的N倍+M

判断是否是质合数列变形：质数列的相邻项差为1，2，2，4，2，4„„ 合数列的相邻项差为2，2，1，1，2，1„„ 简单幂数列：

2，6，30，60，130„„

N^N+-N 1^1+1 2^2-2 3^3+3 4^4-4 简单递推数列： 3，5，6，3„„ 9，15，18，9„„ （B-A）*3

0，1，4，18，80„„ 2A+4B

因数分解

对于多级数列，做差是基本的解决方法，往往很有效，但是有时候做差也不管用，可考虑因数分解

因数分解的应用情况：

数列中间有0，或者有正有负 -2，-1，0，1，2，3„„ . 数列端点是0 0，1，2，3，4„„

数列中明显存在7或11的因子 2，3，5，7，11，13，17，19„„ 2、3等其他数开头的自然数列 2，3，4，5，6，7„„ 3开头的奇数数列 3，5，7，9，11„„ 形似质数的数字分解：

4，20，54，112，（ ），324 324=18*18=36*9

大胆猜测：在没有思路的时候寻找题干中数字的共同之处，比如题干中数字都是7的倍数，选项中只有一个7的倍数，就猜这个

因数分解数列不但能分解为两个数列的积，也可能分解为两个数列的和

幂次数列

对于幂次数列来说，快速的根据数字特征发现幂次规律是关键 对于平方数、立方数、常见的多次方数要相当熟悉

数字联想：

普通数变换：

1=N^0 5=5^1 7=7^1 负幂次变换： 1/5=5^-1 1/7=7^-1 负底数变换：

-8=（-2）^3 =（-8）^2 幂次数列中的常见数字： 8=3^2-1=2^3

9=3^2=2^3+1

幂次数列要注意正负修正项 0，6，6，20，（ ），42 4，13，36，（ ），268

等差数列

拿到一个没有头绪的数列，做差起码是包治一半病的良药，有时候即使看起来不像能够做差成功的，可能依然有效，但是注意做差一定要减到最后，有时不减到最后就发现不了规律 现在试题中往往是多级数列，做差之后出现等差数列、等比数列、常见数列、幂次数列、递推数列等等

数列中间有括号的常常考虑等差，可以把选项带入题干中找出符合的 5，7，10，12，（ ），5

注意：做差不一定只有相邻两项，C-A 甚至 D-A 都要考虑 相邻两项甚至三项相加之后再做差或者直接有规律也比较常见 做和也不一定只有两项，可能是相邻三项或者C+A 有时要连续两次做和 1，1，6，5，20，27,（ ）

等比数列

等比数列相邻项之间往往有公约数，有时看起来是小数或者分数 4，2，2，3，6，（ ） 有时需要连续做商 1，2，4，4，1，（ ）

递推数列

递推数列主要有差、商、和、方、积、倍六种，包括有修正

当数列较长时，优先考虑三项递推 数列第一项为负数，可考虑平方再修正 -2，5，26，677，（ ） 整体趋势法：

多重数列

识别方法：数列一般较长，若有两个或两个以上括号那么可以断定是多重数列 分为两类：交叉数列\\分组数列

交叉数列：奇数项与偶数项分别呈现规律

奇数项或偶数项提取出来之后可能又是一个复杂的数列，要做差或做商来解决 数列非常长的时候可以考虑三项交叉

分组数列：数列中数字两两分组，然后进行组内的加减乘除运算 两相邻项一组，或者A和C一组

分数数列

识别方法：分数数列中主要考虑分子、分母之间的关系 如果数列中只有少量分数，可能是以下几种题型： 负幂次形式、做商数列、递推做商数列 分数数列考察的方式：

各项通分、约分之后是同一个数 各项之间构成等差或等比数列

每一项分子和分母的差/和构成一个数列

前一项分子和分母的差/和与后一项分子/分母之间的关系（有时需通分、约分） 各项分别进行选择性通分、约分之后，分子、分母分别构成一个数列 分子分母交替形成规律 1/4，3/2，9/8，9/16，5/2，( )

特殊数列

有一些数列不考虑数列中数与数间的关系，而要考虑单个数各个数字间的关系，或者一个数的各个数字与其他数的关系 一个数字是其他几位数字的和 363，242，2，165，143，（ ） 所有数的各个数字和都相等 187，259，448，583，754，（ ）

后一个数字是前一个数字的倍数 22，24，36，28，（ ） 四个数字两两分组

4635，3728，3225，2621，2619，（ ） 前一个数与其两个数字和相加为下一个数 ，74，85，98，（）

图形数阵

圆圈题 九宫格

数算

数算类在考试中虽然一般只有十道，但是可出的范围非常广，要把握一些通用技巧和方法

数字特性

两个数的差为奇数，那么和也为奇数，两个数一奇一偶

两个数的差为偶数，那么和也为偶数，两个数都是奇数或者都是偶数 两个数的积是奇数，两个数都是奇数 两个数的积是偶数，两个数至少有一个偶数

一个数能被2(或5)整除，当且仅当其末一位数能被2(或5)整除 一个数能被4(或25)整除，当且仅当其末两位数能被4(或25)整除 一个数能被8(或125)整除，当且仅当其末三位数能被8(或125)整除 一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数被2(或5)除得的余数

一个数被4(或25)除得的余数，就是其末两位数被4(或25)除得的余数 一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数被8(或125)除得的余数 一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除 一个数被3除得的余数，就是其各位数字和被3除得的余数 一个数被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数 若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除

有8只盒子，每只盒子内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，钢笔的支数是铅笔支数的1/3，只有一只盒里放的是水彩笔，这盒水彩笔共有多少支？ 分析：设钢笔n支，圆珠笔2n，铅笔3n，总共6n，可被3整除，笔总数各位数字和

8+5+6+9+11+6+13+6除以3余1，，那么水彩笔也是除以3余1，只有49满足条件；如果除以3余1的盒子和选项都不止一个，那么只有把所有总数加起来，得出除以6余1，再找满足除以6余1的选项

比例法则：若a：b = m：n，且m、n互质，则a占m份，是m的倍数，b占n份，是n的倍数，（a+b）占（m+n）份，是（m+n）的倍数，（a-b）占（m-n）份，是（m-n）的倍数 尤其要注意（m-n），可以大大节省运算时间

69,90,125被某个整数N整除时余数相同,试求N的最大值?

分析：余数相同，相减之后就不起作用，N可被21，35整除，最大为7

技巧：通过比例和整除迅速排除无关选项，然后把剩下的选项带入题干可节省大量时间 甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的，乙、丙合修2天修好余下的，剩余的三人又修了5天才完成。共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（ ） 乙总共干了13天，结果应该是13的倍数

张先生步行上班，他用每分钟45米的速度走了3分钟。如果这样走下去，他就要迟到7分钟；后来他改用每分钟55米的速度前进，结果早到了5分钟。那么张先生的家和单位相距多少米？ A. 3000 B. 3105 C. 3550 D. 3995

每分钟45米的速度前进，说明距离应该是45的倍数，也就是9的倍数，选项中各位数字和能被9整除的只有3105 设特殊值法：

知道两个数的相对值，求一个式子的值，可以直接设数 x-y=1，问x^3-3xy-y^3的值，直接设X=1，y=0

甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 设每人花660块买糖果，甲买30kg，乙22，丙20，均价660*3/72

一条隧道，甲用20天的时间可以挖完，乙用10天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天„如此循环，挖完整个隧道需要多少天?

假设工程量100，甲每天干5，乙每天干10，甲乙轮流每两天15，12天之后剩下10，甲一天，乙再半天

有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加了10％，因此每册书的利润下降了20％，但是今年的销量比去年增加了70％。则今年销售该畅销书的总利润比去年增加了多少

设去年成本100，今年110，利润下降了20％，就是从5a变成了4a，容易想到售价是150，假设去年的销量10，今年销量17，去年总利润500，今年680，增加了36%

或设去年的利润10，今年就是8， 销量去年是10，今年就是17 ，（8*17-100）/100=36% 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾有( )个0

5跟一个偶数相乘就可以构成一个0，就要数有多少个5，注意25有2个5，125有3个，我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数，700/5=140，还要看有多少25的倍数 700/25=28，还要看有多少125的倍数，700/125=5 ，625的倍数700/625=1，其实就是看 700里有多少的5^1,5^2,5^3,5^4„„5^n，5^n必须小于700 ，所以答案就是 140＋28＋5＋1＝174 或者用直除，原理一样，700/5=140 140/5=28 28/5=5 5/5=1 答案就是这些商的总和即174

一本100多页的书，被人撕掉了4张．剩下的页码总和为8037。则该书最多有多少页? A．134 B．136 C．138 D．140

撕掉4张的页码和是偶数，加上8037，页码总和是奇数，排除BD 排除之后再带入，若是138，总页数和减去最大的4张也超过8037

设而不解法：

有时候未知数太多列出方程也无法解，这时可借助数字特性解决

工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个？ 设甲花x分钟生产螺丝，乙花y分钟生产螺丝，列方程3x+9（20-x）+2y+7（20-y）=134，化简6x+5y=186，x=31-5y/6， 当y是6的倍数时，x是整数，且x、y均在20以内，只有18满足，计算出生产的螺丝比螺丝帽多34个

等差数列与平均数

在等差数列中运用平均数和中位数原理，可以大大节省时间

一个等差数列共有2N-1项，所有奇数项的和为36，所有偶数项的和为30，那么N的值为（ ) 奇数项是N项，偶数项是N-1项，这样根据对称原则，奇数项跟偶数项的平均值相同，所以平均数是6，N为6

某车间从3月2日开始每天调入一人，已知每人每天生产1件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840件产品，该车间原有工人多少名？ 总共21天，第11天生产40，第一天30

某个月有五个星期六,已知这5个日期的和是80,则这个月的最后一个星期六是（ ）号 中位数16，第三个周六是16号，第五个30号

行程问题

比例法：

行程问题的快捷有效解法就是比例法，很多工程问题也可应用

一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？ 车速提高20％与原速度比为6：5，时间比为5：6，差为1小时，所以原来6小时，提速后5小时；速度提高25％与原速度比为5：4，时间比为4：5，差为40分，原来200分，360/(360-200)=S/120

甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离

速度和6分钟，速度差26分钟，速度和差比为26：6，速度比为16：10，距离S=50*26/10*6 猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却要跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？

犬兔速度比9*2/5*3=6:5,路程差10米，犬路程60米 两次相遇问题：

相向而行，每次相遇两人合走（2n-1）个S，两人走的路程比等于两人的速度比 两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2

例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后， 每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？

A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米

典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D

如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸 此处两船都停对公式不造成影响

漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺）

AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到

A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ 2*3*4/(4-3)

沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/（t1+t2 ） 车速/人速=(t1+t2)/ (t2-t1)

小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍？ 发车时间间隔2*6*10/(6+10) 车速/人速=（10+6）/（10-6）=4 平均速度公式： 2*V1*V2/（V1+V2）

若一段路有上坡有下坡，走一个来回，那么相当于走了一路上坡、一路下坡

A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时；再沿原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员车速是12千米/小时，则下坡时邮递员的车速是（）

平均速度120/8=15，利用公式，算出20 设未知数有技巧：

面对复杂的行程问题，比如多次往返问题，设好未知数可大大减少计算量

河道赛道场长120米，水流速度为2米/秒，甲船速度为6米/秒，乙船速度为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？ 设第二次迎面相遇时，距离起点X，则甲走了2S+x，乙走了2S-x，甲走了一个顺水S，15秒，一个逆水S，30秒，还有一个顺水X；乙走了一个顺水S，20秒，一个逆水S-x，方程就很清楚了x/8+25=(S-x)/2，x=56，总共时间52秒

这道题目如果一样一样算甲什么时候转弯换速度，乙什么时候转弯换速度，相当繁琐 走走停停问题：

关键是找到一个时间正好便于计算两者分别走的距离，可从选项中来考虑

绕湖的一周是22千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以4千米每小时的速度每走一小时后休息5分钟，乙以6千米每小时的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用（）分钟 A、132 B、136 C、148 D、150

相当于甲65分钟4km，乙60分钟6km，那么就找到130分钟这个时刻，看甲乙分别走多少； 甲走了8km，乙走了13km，差了1km，这时甲乙都在走，还需0.1小时，6分钟相遇 接送问题：

甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车恰好能坐一个班的学生，载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，要使两个班同时到达，甲乙两班的步行距离比为多少？

设甲班速度V甲，步行距离S甲，乙班速度V乙，步行距离S乙，汽车空车速度V空，满车速度V车，汽车行驶的空车距离S车

基点是两个班步行的时间相等，S甲/ V甲=( S甲+S车)/ V车+ S车/V空 S乙/ V乙=( S乙+S车)/ V车+ S车/V空

当 V车=V空时，简化为S甲：S车= V甲：（V车-V甲）/2 当 V车=V空，V甲=V乙时，S甲：S车：S乙= V：（V车-V）/2：V

排列组合及概率问题

排列组合的两个公式一定要记熟:

另外的常用公式：

逆向法：

满足条件的个数=总个数-不满足条件的个数

将四个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有？

全部方法个数2^4=16，1盒子没有球方法1种，2盒子没有球方法1种，2盒子只有一个球的方法4种，16-1-1-4=10 捆绑法：

一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，如果四个舞蹈节目一要排在一起，有多少种不同的演出顺序？

把四个舞蹈节目绑在一起，进行内部排列，再和6个演唱节目排列 P44*P77 插板法：

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素 （3） 分成的组别彼此相异

把10个苹果分成三堆，每堆至少1个，应有( )种分法

分成的三堆彼此间是没有区别的，所以不能应用插板法，穷举8种 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ c12 2=66 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28

有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？ o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板

10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉 这样一共就是 2^9= 512（应用了上面提到的常用公式第一个） N个相同的糖每天至少吃一个有2^（N-1）种吃法

一张节目表上原有3个节目，如果保持着3个节目的相对顺序不变，再添进去两个新节目，有多少种安排方法？

分步插板，先插一个节目，原来三个节目四个空，4种；再插一个节目，四个节目五个空，5种；总共20种 平均分堆：

分成的堆是没有区别的，若分成的堆有区别，-则不用再除

将11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，有多少种不同的分法？

一名医生给三名学生打疫苗，这种疫苗必须按顺序连打三针，请问这一共九针有多少种不同的顺序？

在9针中选出3个给第一人打，再选出3个给第二人打，剩下3个就是第三人的了，不必考虑三针中的顺序，因为三针顺序已定 C93*C63 围圈公式：

八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八个同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？

先平均分组，C84/2，再围圈，P44/4，两个圈，C84/2* P44/4* P44/4 多人传球公式：

例题： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一

次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）

(4-1)的5次方 / 4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数 全错排列：

五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 选出3个错了的瓶子，C53

全错排列： 0，1，2，9，44，265，3个都错的是2种 C53*2 概率问题： 核心公式：

乒乓球比赛的规则是五局三胜制，甲乙两球员的胜率分别是60%和40%，在一次比赛中，若甲先连胜了两局，则甲最后获胜的胜率（）

甲最后获胜的胜率=1-乙最后获胜的胜率，乙获胜的胜率40%*40%*40%=6.4%，甲93.6% 小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？

他取出的所有糖的方法是6种，有牛奶味的方法是5种，两个都是牛奶味的方法1种，条件是至少有一个牛奶味的，根据公式5，概率1/5

牛吃草与电梯问题

牛吃草公式：

牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？

有时候题干中不明确说明草是在生长的或者是在消亡的，但是对牛吃草问题来说，这是必须要考虑的，求出草每天的增加量或减少量至关重要

6天的所有牧草27*6，9天的所有牧草23*9，每天的牧草增加量（23*9-27*6）/（9-6）为15（头牛每天吃的），再求出原有的牧草量，（27-15）*6=（23-15）*9=72；21头牛吃，每天长15头牛的量，相当于原有的量6头牛吃，可吃12天

22头牛吃33亩牧场上的草，54天吃完，17头牛吃28亩牧场上的草，84天吃完。请问多少头牛吃同样牧场40亩的草（假定草每天的增长速度是一定），24天吃完？

根据公式，相当于22/33头牛吃1亩牧场的草，54天；17/28头牛吃1亩牧场的草，84天；x/40头牛吃1亩牧场的草，24天，再计算 电梯问题：

自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的部分有多少级？

台阶比27：18=3：2 男女速度比是2：1 时间比是1.5：2=3：4 合速度是时间比的反比4：3 2+2：1+2=4：3 电梯速度是2 台阶数是：27*2=54级

商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级数有( )

时间比是40：50=4：5 合速度比是5：4 男女速度比是2：3/2=4：3 4+1：3+1=5：4 电梯速度是0.5级/秒 电梯级数是：（2+0.5）*40=100级

时钟问题：

时钟问题本质上也是追及问题

分针每分钟走1格，时针每分钟走1/12格，两者的速度和13/12格每分，速度差11/12格每分 时针分针两次重合之间距离差是60格，成直线距离差是60格，垂直是30格

两次重合间的时间30格/(11/12格/分)，360/11分重合一次，一昼夜24*60分，重合次数24*60/(360/11)为22次，成直线22次，垂直44次

小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束后又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位置，问这个会议大约开了1小时多少分？

时针与分针互换相当于时针分针加起来走了n个60格，已知一小时多，应该是2个60格，开了120/（13/12）为1440/13分，接近111分钟，即1小时51分 当时钟问题涉及“快钟”“慢钟”问题时，本质上是比例问题

一个快钟每小时比标准时间快3分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢2分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示11点整时，慢钟显示9点半。则此时的标准时间是？

关键要抓住时间差，快钟慢钟与标准时间差的比为3：2，（11-x）：（x-9.5）=3：2 x=10.1 8月28日零点时，某钟表比标准时间慢4.5分钟，9月4日上午7点时，该钟表比标准时间快3分钟，那么这只钟表指时正确的时刻是多少？

8月28日零点时到9月4日上午7点总共175小时，假设经过t小时指时正确，t：（175-t）=4.5：3

容斥原理：

集合公式 A∪B∪C＝A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，

能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有几人？

解这种题目比较好的方法是画图，注意由中间向外标记

某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？

特别要注意考虑三个条件都不满足的数量

设总人数S，只参加一种考试的x，应用上文公式，63++47=x+2*46+3*24 S=x+46+24+15，x=35，S= 120.

60个人上身着白上衣或黑上衣，下身着蓝裤子或黑裤子。其中有12个人穿白上衣蓝裤子，有34个人穿黑裤子，有29个人穿黑上衣，求身着黑裤子黑上衣多少人？

34个人穿黑裤子，那么26个蓝裤子，12个人穿白上衣蓝裤子，那么14个黑上衣蓝裤子，有29个人穿黑上衣，那么15个黑上衣黑裤子

抽屉原理：

抽屉原理核心原则：最不利原则

黑色布袋中装有红黄蓝三种颜色的袜子各三只，如果闭上眼睛从布袋中拿这些袜子，为保证拿到两双袜子（每双颜色要相同），至少要拿多少只？

最不利情况：拿到一种颜色的3只，另两种颜色各一只，这时再拿进任一只袜子就肯定保证有两双了，3+1+1+1=6

某区要从10位候选人中投票选举，现规定每位选举人必须从这10位中任选两位投票，问至少要有多少位选举人参加投票，才能保证有不少于10位选举人投了相同两位候选人的票？

10人中选两人，有C10 2种选法，45种，最不利情况，每种组合都有9个人投，再加上一个人就至少有10个人投了一种组合的票，45*9+1=406

中国剩余定理：

剩余定理的快速算法：余同取余，和同加和，差同减差

在1000以内，除以3余2，除以5余3，除以7余2的数有多少个？

除以3余2，除以7余2那么就是除以21余2，这就是余同取余；除以21余2，设为21a+2，除以5余3，设为5b+3；21a+2=5b+3，21a=5b+1，a取1，b取4时最小，21和5互质，那么这个数可以表示为105c+23，c可取0，1，2，3„„，在1000以内有10个 一个数除以5余3，除以6于4，除以7于1，这样的三位数有几个？

5a+3=6b+4，5a=6b+1，a=5，b=4时即可满足，表示成30d+28；30d+28=7c+1 变化28d+2d+21+6=7c， 2d+6=7c（28d+21肯定可以被7整除），d=4，c=2时即可满足，最后可表示成210m+148，m可取0，1，2，3，4，在1000以内有5个

日期问题：

N年之后星期几等同于问N天之后星期几，过一个闰年多加1

假设2011年6月17日是星期三，那么2031年6月17日是星期几？

2011到2031经过20年，中间5个闰年，星期3+（20+5）=3+（21+4）=7 是星期日 假如今天是2010年8月25日，260天后是2011年几月几号？

算大小月从八月开始数起，8月剩6天，9.10.11.12.1.2.3.4 这八个月总共30+31+30+31+31+28+31 30共242天，剩12天，就是5月12号了

甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？

每隔5天去一次是6天去一次，乙12天，丙18天，丁30天，最小公倍数180，5月还有13天，6.7.8.9.10 这个5个月共30+31+31+30+31=153天，进了11月还有14天，就是11月14号

页码问题：

所有个位数页码共用数字9个，十位数页码用180个，三位数页码用2700个 三位数页码公式： 页码=数字/3+36

一本书一共有400页，请问这些页码当中一共包含了多少个数字“3”（比如“313”包含了2个3，“333页”包含了3个3）？

3在个位数，百位数可取0.1.2.3，十位数可取0.1.2„„9，在个位数出现的次数总数4*10=40 3在十位数，百位数可取0.1.2.3，个位数可取0.1.2„„9，在十位数出现的次数总数4*10=40 3在百位数，个位数可取0.1.2„„9，十位数可取0.1.2„„9，在百位数出现的次数总数10*10=100，总共出现180次

一本书一共有400页，请问有多少页码当中包含了数字“3”？

排除掉不含数字3的即可，1到400包含3的等同从000到399中包含数字3的页码，考虑不包含3的情况，百位数可取0.1.2三种，十位数可取0.1.2.4.5.6.7.8.9共9种，个位数可取0.1.2.4.5.6.7.8.9共9种，共243个，那么包含3的400-243=157

方阵问题：

实心方阵的总个数是完全平方数

空心方阵的总个数等于两个完全平方数的差 方阵每边长为a，那么最外圈一层的数量是4a-4 方阵相邻两圈的边数差是2

方阵或长方阵相邻两圈的个数差都是8 实心方阵的总个数=（最外层个数/4+1）的平方

根据中位数原理，总人数是中间一层的整数倍，实心方阵空心方阵都一样

极限问题：

某班共有50名学生，参加数学和外语两科考试，已知数学成绩及格的有40人，外语成绩及格的有25人，据此可知数学及格而外语不及格者至少（）

数学及格的40，不及格的10，外语及格的25，不及格的25；外语不及格的已经有25个了，要让数学及格而外语不及格的尽量少，那么就让数学不及格外语也不及格的尽量多，最多也就10个，所以数学及格而外语不及格的最少也有15个

某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分?

已知平均成绩，问一个人最低多少，那么比他多的要尽量多很多，比他少的要尽量少的量少，不及格的那人分数要尽量高；那么设成绩排名第十的人考了x，那么一到九名的人分数尽量高，就取100到92，不及格的人分数取最高，59，排名十一到十九的人依次少一分，得出100+99+„„92+x+（x-1）+（x-2）+„„+（x-9）+59=88*20，化简91*9+10x+59=88*20 x=88.2，因为是整数，所以最低

得分种类问题：

1：甲乙进行象棋比赛，获胜得a分，平局得b分，输的不得分，进行n局比赛，问甲一共有几种得分情况?(ab互质，a>b)

共有【1+2+---+ （n+1）】-【1+2+--+（n-a+1）】种得分

2：n道题，错一个扣a分，对一个得b分，不答0分，请问有多少种得分？（其中ab互质） 共有【1+2+---+ （n+1）】-【1+2+--------+（n-a-b+1）】种得分 后面的括号里是减去重复得分的数目

1：如果 n-a+1 为零或者负数，则没有重复，计算 【1+2+---+ （n+1）】 就好 2：如果 n-a-b+1为零或者负数，则没有重复，计算 【1+2+---+ （n+1）】 就好 ab互质 指ab公约数只有1，不能约分 a=6，b=2化为3和1，其他类似

其他常用公式：

握手数量：

N个人握手，握手次数C（N-1）2 N*（N-1）/2 N个队伍单循环比赛，比赛次数也是N*（N-1）/2

N个队伍淘汰赛，决出冠军，比赛次数也是N-1（每一场淘汰一个队伍，共淘汰N-1个队伍） 若再决出季军，加一场 圆分割平面公式： 最多分成平面数N^2－N+2 过河公式：

过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次 年龄问题：

每过N年，每个人都长N岁 两个人的年龄差肯定是固定不变的 装卸工公式：

如果有m辆车和n（n大于等于m）个工厂，所需最少装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的m个工厂所需的装卸工人数之和 剪绳子公式：

一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段 拆数求积问题：

将一个正整数(≥2)拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们应该这样来拆数：全部拆成若干个3和少量2(1个2或者2个2)之和即可 非闭合货物集中问题：

在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个节点，每个节点之间通过“路”来连通，每个节点上有一定的货物。

当需要用优化的方法把货物集中到一个节点上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向： 判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一侧。 空瓶换酒公式：

N个换1瓶，总共M个可以换：M÷（N-1）

“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？ 设需要买A瓶啤酒 A+A÷(7-1)=347 裴波那契数列：

裴波那契数列：（1，）1，2，3，5，8，13，21，34，„„ 裴波那契数列递推公式：F(n+2) = F(n+1) + F(n)

十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？ F（10）= 称箱子问题：

食堂买来5只羊，每次取出两只合称重量，得到10种不同重量(单位：千克)47、50、51、52、53、54、55、57、58、59。最重一只是多少千克？

设从轻到重5只羊分别为a1，a2，a3，a4，a5，那么47= a1+a2，50= a1+a3，59= a4+a5，58= a3+a5， 但是注意51不一定是a2+a3也可能是a1+a4，同理57不一定是a3+a4也可能是a2+a5； 每次取出两只合称重量，得到10种不同重量说明每只羊称了四遍，把这10个重量加起来就是4（a1+a2 +a3+a4+a5）=536，a1+a2 +a3+a4+a5=134，a1+a2+ a4+a5=106，a3=28，a5=30

资料分析

注意问题

增量、增长率、增速、增幅的概念 增长率=增速=增幅

计算一定时期的平均增长率，一般不包括第一年的增长率，比如2005-2009年的平均增长率，就不包括2005比前一年的增长率

问题中的时间与题干中的时间不吻合：不是同一年；不是同一段时间（一年、上下半年、一个季度、一个月、一天）；不是同一单位（亿、万，公顷、亩） 双轴的单位不一样（亿、千万） 饼图中给出的数字是百分比还是绝对数

看清题干要求：选正确还是错误的；问的增长量还是增长率； 给出一个集合中的几个量：需考虑未给出的量中可能有负增长 趋势图中：增长量曲线若为直线，增长量不变，则增长率减小

组合表述原则：所有选项都包含的和都不包含的就不需考虑；判断一次排除一个选项；先从简单的选项入手

绝对误差与相对误差： 将8%估算为9%，绝对误差为1%，相对误差12.5% 加减运算，考虑绝对误差；乘除运算，考虑相对误差 估算之前看清选项差距，差距大可大胆估算，否则要谨慎 误差抵消：相加相乘时一个变大一个变小

比较增长率大小关系时可以用增长值/初值，也可以用增长值/末值

常用技巧

直除法：

通过直接相除的方法得到商的首位，选项首位各不相同时可直接选择

利用直除法计算增多少或者减多少时，不是先算增加量或者减少量，而是直接直除，结果减1 放缩法：

计算时要求精度不高可用

化同法：

将两个分数的分子或分母化为相同或相近的数 插值法：

在比较两个数时，寻找中间值进行参照比较 常见小数及分数：

截位法：

运算时将数字后几位去掉，但是要清楚去掉的部分占原数的多少，在运算时要注意误差抵消 35884/4783 近似：分母加上217可凑整，217占4783的1/20弱，那么分子也要加上相应的比例，加1700变成37584/5=7516左右，实际35884/4783=7.502，误差1/500，0.2% 两个数相乘，那么这两个数的相对误差率之和，近似为总体的相对误差率 两个数相除，那么这两个数的相对误差率之差，近似为总体的相对误差率

凑整法：

差分法：

可以利用运用差分法比较两个乘积大小 公式法：

增长率逆推近似公式：

X要在5以内，否则不能应用这个公式 十字交叉法：

特别注意通过十字交叉算出来的是前一年的两种比重 年均增长率：

比真实数值略大一点，各年增长率越接近，误差越小

混合增长率：

比真实数值略小一点，年均增长率越小，误差越小 翻番近似公式：

复合变化率公式：

乘积的增长率：各自增长率的和，加上各自增长率的乘积

比值的增长率：各自增长率的差，除以“1加分母的增长率”

两年混合增长率：

等速增长： a/b=b/c b^2=ac