2016年浙江卷高考文科数学真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学文

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（ðP）Q=（ ）

U A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}

【答案】C

考点：补集的运算.

2. 已知互相垂直的平面， 交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ） A.m∥l 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知l,l，考点：线面位置关系.

3. 函数y=sinx2的图象是（ ）

n,nl．故选

B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

C．

·1·

【答案】D 【解析】

试题分析：因为ysinx2为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，排除A、C选项；当x2，即x时，ymax1，排除B选项，故选D.

22考点：三角函数图象. xy30,4.

若平面区域2xy30,

夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两

x2y30条平行直线间的距离的最小值是（ ） A.355 B.2

C.322 D.5

【答案】B

·2·

考点：线性规划.

5. 已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若log4b>1 ，则（ ）

A.(a1)(b1)0 B. (a1)(ab)0 C.

(b1)(ba)0

D.

(b1)(ba)0

【答案】D 【解析】

试题分析：logablogaa1，

当a1时，ba1，a10,ba0，(a1)(ba)0；

当0a1时，0ba1，a10,ba0，(a1)(ba)0．故选·3·

D．

考点：对数函数的性质.

6. 已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

考点：充分必要条件.

7. 已知函数f(x)满足：f(x)x且f(x)2x,xR.（ ） A.若f(a)b，则ab B.若f(a)2b，则ab C.若f(a)b，则ab D.若f(a)2b，则ab 【答案】B 【解析】

·4·

试题分析：由已知可设

xa2(x0)2(a0)，则f(a)a，因为f(x)为f(x)x2(x0)2(a0)偶函数，所以只考虑a0的情况即可．若f(a)2b，则2a2b，所以ab．故选B．

考点：函数的奇偶性.

8. 如图，点列An,Bn分别在某锐角的两边上，且

AnAn1An1An2,AnAn2,nN*， BnBn1Bn1Bn2,BnBn2,nN*.

(P≠Q表示点P与Q不重合)

若dnAnBn，Sn为△AnBnBn1的面积，则（ ）

A.Sn是等差数列 B.Sn2是等差数列 C.dn是等差数列 D.dn2是等差数列

【答案】A

·5·

考点：新定义题、三角形面积公式.

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）

9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.

【答案】80 ；40． 【解析】

试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，

·6·

S表62224242422280，V2344240．

考点：三视图.

10. 已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)；5．

考点：圆的标准方程.

11. 已知2cos2xsin2xAsin(x)b(A0)，则A______． 【答案】【解析】

试题分析：2cos2xsin2x1cos2xsin2x考点：三角恒等变换.

12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．

【答案】－2；1． 【解析】

试题分析：f(x)f(a)x33x21a33a21x33x2a33a2，

·7·

2；1．

2sin(2x)1，所以A2,b1.

4

(xb)(xa)2x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，

2ab32所以a2ab0a2ba33a2，解得a2． b1考点：函数解析式. 13．设双曲线x–

2

y23=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线

上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______． 【答案】(27,8)．

考点：双曲线的几何性质.

14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．

·8·

【答案】

6 9

uuurruuurr'n所以coscosBD',nBDuuurrBD'n＝

6395cos，所以cos1时，cos取最

大值

6． 9·9·

考点：异面直线所成角.

15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______． 【答案】7 【解析】

考点：平面向量的数量积和模.

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B． （Ⅰ）证明：A=2B；

·10·

（Ⅱ）若

2cos B=3，求cos C的值．

27【答案】（1）证明详见解析；（2）cosC22. 【解析】

试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．

试题解析：（1）由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB， 故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB， 于是，sinBsin(AB)，

又A,B(0,)，故0AB，所以B(AB)或BAB， 因此，A（舍去）或A2B， 所以，A2B.

（2）由cosB，得sinB故cosA，sinA4192353，cos2B2cos2B1，

1959，

22. 27cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.

17. （本题满分15分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4，an1=2Sn+1，

nN*.

（I）求通项公式an；

（II）求数列{ann2}的前n项和.

·11·

2,n1【答案】（1）an3n1,nN*；（2）Tn3nn25n11. *,n2,nN2考点：等差、等比数列的基础知识.

18. （本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （I）求证：BF⊥平面ACFD；

（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

·12·

【答案】（1）证明详见解析；（2）

21. 7·13·

考点：空间点、线、面位置关系、线面角.

19. （本题满分15分）如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. （I）求p的值；

（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.

【答案】（1）p=2；（2）,02,.

·14·

考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 20. （本题满分15分）设函数f(x)=x3（I）f(x)1xx2； （II）

33f(x). 4211x，x[0,1].证明：

·15·

【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】

试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放

1x41缩法，得到，从而得到结论；第二问，由0x1得x3x，进1x1x行放缩，得到fx， 再结合第一问的结论，得到fx， 从而得到结论.

1x1x423, 试题解析：(Ⅰ)因为1xxx1x1x43234

考点：函数的单调性与最值、分段函数.

·16·

·17·