高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》经典测试题附解析

【最新】单元《函数与导数》专题分析

一、选择题

1．已知函数 f

x

x2

x ，且 a

f ln

3

，b

2

f log 2 ， c f 21 ，则

3

1

a，b，c 的大小关系为（

A． a c b 【答案】 A 【分析】 【剖析】

2

）

B． b c a

C． c a b

D． b a c

由函数 f x

x x ，可得 f x

f x ，获得函数 f x 为偶函数，图象对于 f

x 在 [0,

) 上为单一递加函数，则函数

y 轴

对称，又由由二次函数的性质可得，函数

f x 在 (

【详解】

,0) 上为单一递减函数，再依据对数函数的性质，联合图象，即可求解．

由题意，函数 所以函数 f 又当 x

f x

x2

x ，知足 f x

( x)2

x

x2

x

f x ，

x 为定义域上的偶函数，图象对于

y 轴对称，

0 时， f x

x2 x ，由二次函数的性质可得，函数

,0) 上为单一递减函数，

1

f x 在 [0,

) 上为单一递

增函数，则函数 又由 ln 3 ln

f x 在 (

e

2

1 log 2 3 log 2 2 2 f (ln )

，

1

1，2

1

1

依据对称性，可得

31 ， 2

f (2 1 )

f (log 2 3 ) ，即 a c

b ，应选 A．

2

【点睛】

此题主要考察了函数的奇偶性和单一性的应用，此中解答中获得函数的单一性与奇偶性，以及娴熟应用对数函数的性质是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．

2．已知全集 U R ，函数 y 列结论正确的选项是 A．MI N N C．M UN U 【答案】 A 【分析】

ln 1 x 的定义域为 M ，会合 N

x|x2 x 0? ，则下

B． M I eU N D． MeU N

【剖析】

求函数定义域得会合 【详解】

M ， N 后，再判断．

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由题意 M 应选 A． 【点睛】

{ x | x 1} ， N

{ x | 0 x 1} ，∴ M I N N ．

此题考察会合的运算，解题重点是确立会合中的元素．确立会合的元素时要注意代表元形式，会合是函数的定义域，仍是函数的值域，是不等式的解集仍是曲线上的点集，都由代表元决定．

3．已知 f ( x)

1 x3 5 ax2 6ax b 的两个极值点分别为 x1 , x2 x1 x2 ，

且 x

3 2

2

3 2

x1 ，

则函数 f (x1 ) A． 1

f ( x2 ) （ ）

B．

1

6

C． 1 D．与 b 相关

【答案】 B

【分析】

【剖析】

求出函数的导数，利用韦达定理获得

a, x1 , x2 知足的方程组，解方程组能够获得

a, x1, x2 ，

从而可求

f x1 f x2 ．

【详解】

f ' x

又 x2

x2 5ax 6a ，故 x1 x2 5a ， x1 x2 6a ，且 25a2 24a

0 ，

3 x1 ，所以 x1 2a, x2 3a ，故 6a 2

3 ， f x

6a2 ，解得 a 0 （舎）或许 a 1 ．

此时 x1 2, x2

1 x3 5 x2 6x b ，

3 2

故 f x1

f x2

1

3

8 27

5

49 623

2

1 6

应选 B． 【点睛】 假如 f

x 在 x0 处及邻近可导且 x0 的左右双侧导数的符号发生变化，则

x0

0．极大值点、极小值点的判断方法以下：

f ' x

x x0 必为函数的

极值点且 f

（1）在 x0 的左边邻近，有 的极大值点；

0 ，在 x0 的右边邻近，有 f ' x

0 ，则 x x0 为函数

（2）在 x0 的左边邻近，有 的极小值点．

f ' x

0 ，在 x0 的右边邻近 f ' x

0 ，有，则 x x0 为函数

4．已知直线 y A． ln 2

kx 2 与曲线 y

B． 1

x ln x 相切，则实数 k 的值为（

C． 1 ln2

）

D． 1 ln2

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【答案】 D

【分析】

由 y

xlnx 得 y' ln x

1 ，设切点为 x0, y0 ，则

k

ln x0

y0

1 ，

kx0

2

，

y0

1 ，

x0 ln x0

kx0 2 x0 ln x0 ，

k ln x0

2 x0

，对照 k ln x0

x0 2 ， k

ln 2 1 ，故

选 D.

5．曲线 y A．1

e 2x 1在点 (0, 2) 处的切线与直线

B．

y 0 和 y

C．

x 所围成图形的面积 ( )

1 3

2 3

D．

1 2

【答案】 B 【分析】

【剖析】

利用导数的几何意义，求得曲线在点

(0, 2) 处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用

三角形的面积公式，即可求解，获得答案．

【详解】 由题意，曲线 所以曲线 y

y e 2 x 1，则 y 2e 2 x ，所以 y |x 0

y 2

2e 2 x |x 0 2 ， 2( x 0) ，即 2x y 2

e 2 x

1在点 (0, 2) 处的切线方程为 1 ，令 y

0 ，

令 y 0 ，解得 x

x ，解得 x y

2 3

，

所以切线与直线 y

0和 y

x 所围成图形的面积为

1 1 2 2 3 1 ，应选 B． 3

【点睛】

此题主要考察了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的地点关系的应用，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．

6．已知函数 f

x

1 ex

1

x

0 与 g x e ln

x

x 1

x

ae 的图象上存在对于

y 轴对

ex 1

称的点，则实数 a 的取值范围是（ A．,1

）

C．

1

B．

1 , e

,1

1

D． 1

1 , e

e

【答案】 D 【分析】

e

【剖析】 先求得 f

x 对于 y 轴对称的函数

h x ,则 h x

g x ,整理可得

1

ln x 1

ex

1 e

a

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1

x

1

ln

在 0,

上有解 ,设

e

x

x 1

e ,可转变问题为 y

x 与

y

a 的图象在

0,

上有交点 ,再利用导函数求得

x 的范围 ,从而求解 .

【详解】

由 f

x 对于 y 轴对称的函数为 h x

f x

1 e x 1

ex 1

1 x

0 ,

e x 1

令 h x

g x ,得 ex 1

1 ex ln x 1 aex x 0 ,

则方程 ex 1 1 ex ln x 1

aex 在 0, 上有解 ,

即方程

1

ln x 1 1

a 在 0,

上有解 ,

ex e

设

1

ln

x

x

11

,

ex

e 即可转变为 y

x 与 y

a 的图象在 0,

上有交点 ,

Q x

1 1 ex

x

1 ,

ex x 1 ex x

1

令

( )=ex 1

x

0,

x

m x

x

，则 m (x)=e 1 0 在

上恒建立，所以 m(x)=e

x 1在

0,

上为增函数，∴

m x

m 0

0 ，

即Q

x

0在 0,

上恒建立，

x 在 0, 上为增函数 ,

当 x

0

1 1

时 则

,

x

0

e

所以 a

1 1 ,

e

应选 :D

【点睛】

此题考察利用导函数判断函数单一性 ,考察利用导函数办理函数的零点问题 ,考察转变思想7．函数 f x

ln 4 3x

x2 的单一递减区间是（

）

3 B．

3， 3 ，

A．,

C． 1,

3 D．

4

2

2

2

2

【答案】 D 【分析】

【剖析】

先求函数定义域，再由复合函数单一性得结论．

【详解】

.

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由 4 3x x2

0 得 1 x 4 ，即函数定 域是 ( 1,4) ，

u

4 3x x2

( x 3 )2 25 在 (

2 4

1,] 上 增，在 [ , 4) 上 减，

2 2

33

而 y

ln u 是增函数，

∴ f ( x) 的减区 是 [

3

,4) ． 2

故 ： D． 【点睛】

本 考 数型复合函数的 性，解 先求出函数的定 域，函数的 区 在定 域内考 ．

8．已知函数

f（ x）（ x∈ R ） 足 f（x） =f（2-x ），若函数

m

y=|x 2-2x-3| 与 y=f（ x） 像的

交点 （ x1,y1），（ x2,y2）， ⋯，（ xm,ym），

i

xi =

1

A．0 【答案】 B 【分析】

B． m

C． 2m

D． 4m

剖析：因 y 也对于 x

f (x), y x2

2x 3 的 像都对于 x

2

1 称，所以它 像的交点

1 称，当 m 偶数 ，其和

m

m ；当 m 奇数 ，其和

2

2

m 1

1 m ，所以 B. 2

【考点】 函数 像的 称性 【名 点睛】假如函数 函数的 象有 称

f (x) ， x

x D ， 足 x

；假如函数 f (x) ，

D ，恒有 x

f (a

a b

2

x)

f (b x) ，那么

D ， 足 x D ，恒有 (

f (a x)f (b

x) ，那么函数

f ( x) 的 象有 称中心

a b

2

,0) .

9．函数 f x

log 2 x , x 0,

x

函数 g x

3 f x 8 f x

2

4 的零点个数是（

D． 6

）

2 , x

A． 5 【答案】 A

0,

B． 4

C． 3

【分析】 【剖析】

通 g (x) 式子的剖析，把求零点个数 化成求方程的根， 合 象，数形 合获得根的

个数，即可获得零点个数．

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【详解】 函数 g x 即方程 f x

3 f 2 x

2 3

和

8 f f x

x 4 3 f x 2 f x 2 的零点 2 的根，

函数 f x

log2 x , x 2 , x

x0,

的图象以下图：

0

2

由图可得方程

2共有 5个x

f x

和 f

根，

3

即函数 g x 应选： A. 【点睛】

3 f 2 x

8 f x

4有 5个零点 ,

此题考察函数的零点与方程的根的个数的关系，注意联合图象，利用数形联合求得结果时作图很重点，要标准．

10． 在平面直角坐标系中，若 P，Q 知足条件：（ 1） P,Q 都在函数 f（ x）的图象上；（ 2）

P,Q 两点对于直线 y=x 对称，则称点对 {P,Q}是函数 f(x)的一对 “可互换点对 ”（.{P,Q}与 {Q,P}看

作同一 “可互换点 ”试.问函数 f ( x) {

x2 3x 2( x

log2 x(x

0) 0)

的“可互换点对有（ ）

A．0 对 【答案】 C 【分析】 试题剖析：设

B．1 对

C．2 对

D．3 对

p（ x， y）是知足条件的 “可互换点 ”,则对应的对于直线 y=x 的对称点 Q 是

（y，x），所以 x2

3x

2 = 2x ,因为函数 y= x2 3x 2 和 y= 2x 的图象由两个交点，所以

知足条件的 “可互换点对 ”有两个，应选 C. 考点：函数的性质

11． 已知函数 f

x 的导函数为 f

x 且知足 f x

2 x f 1 ln x ，则 f

1

e

（ ）

A

．

1

e

2

B

． e 2

C

．1

D

．

e

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【答案】 B

【分析】

【剖析】

对函数求导获得导函数，代入

x 1 可求得 f

1

1，从而获得 f x ，代入 x

1 e

求得

结果 . 【详解】 1

由题意得：

f

x 2 f

1

x

令 x 1 得： f

1 2 f 1 1，解得： f

1

1

f x

2

1 f1

x

ee 2

此题正确选项： B 【点睛】

此题考察导数值的求解，重点是能够经过赋值的方式求得

f 1 ，易错点是忽视

f 常数，致使求导错误 .

12． 已知函数 f x 1

是偶函数，当

x 1,时，函数 f x 单一递减，设

a

f

1 ， b f 3 ， c

f 0 ，则 a、 b、 c 的大小关系为（）

．

b a c2

． c b d

． b c a

．

a b cA B

C

D

【答案】 A 【分析】 【剖析】

依据 f

x 1 图象对于 y 轴对称可知 f

x 对于 x 1 对称，从而获得 f x 在

单一递加且 f 3

f

1 ；再依据自变量的大小关系获得函数值的大小关系

.

【详解】

Q f x 1

为偶函数

f x 1 图象对于 y

轴对称

f

x 图象对于 x 1 对称

Q x 1, 时， f x

单一递减

∴x ,1 时， f x 单一递加

又 f 3

f 1 且 1

1 0f

1 f1

f 0 ，即 b a c

2

2

此题正确选项： A

【点睛】

此题考察利用函数奇偶性、对称性和单一性比较函数值的大小关系问题，重点是能够经过

1 为

,1 上

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奇偶性和对称性获得函数的单一性，经过自变量的大小关系求得结果

.

13．

x a,b ,f x m 恒建立，等价于 x a,b ,[f x ] min m

14． 已知函数 f A． f C． f

x 是定义在 R 上的偶函数，且在

log3 13 log 3 13

0,

3

上单一递加，则（ ）

3 f f

f f

20.6

3

B． f D． f

f

20.6

f log 3 13

20.6 20.6

f 3

f log 3 13

【答案】 C 【分析】 【剖析】

利用指数函数和对数函数单一性可获得 得大小关系 . 【详解】

20.6

log 3 13 3 ，联合单一性和偶函数的性质可

Q f x 为 R 上的偶函数， f 3 f 3 ， f log3 13

在 0,

f log3 13 ，

上单一递加，

Q 20.6

2 log 3 9 log3 13 log 3 27 3 且 f x

f 20.6

应选： C. 【点睛】

f

log 3 13 f 3

， f

20.6

f

log 3 13

f

3 .

此题考察函数值大小关系的比较，重点是能够利用奇偶性将自变量转变到同一单一区间 内，由自变量的大小关系，利用函数单一性即可获得函数值的大小关系

.

15． 设函数

f x

x ex ，则（

1 e

）

B．

A． f

x 有极大值

f x 有极小值 f x 有极小值

1

e

C． f x 有极大值

e

D．

e

【答案】 B 【分析】 【剖析】

利用导数求出函数 【详解】

y

f x 的极值点，剖析导数符号的变化，即可得出结论.

Q f x

当 x

x ex ，定义域为 R ，

1时， f x

f xx

1时， f x

1 ex ，令 f x 0 ，可得 x 1. 0 .

1

0 ；当 x x ex 在 x

所以，函数

f x

1 处获得极小值 f

1 ， e

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应选： B.

【点睛】

此题考察利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应剖析出导数符号的变化，考察计 算能力，属于中等题 .

2 0

16． 已知函数 f 若数列

垂

x x

2

mx 图象在点 A 1, f 1

处的切线 l 与直线 ）

x

3y 直，

1 f n

的前 n 项和为 Sn ，则 S2018 的值为（

A．

2015

B．

2016 2017

C．

2017

D．

2018

2016

【分析】 【剖析】

2018

2019

【答案】 D

求出原函数的导函数，获得

y f x 在 x 1 时的导数值，进一步求得

S2018 的值．

m ，可得函数分析

式，而后利用裂项相消法可计算出 【详解】 由 f x 因为函数 f

x2

1

mx ，得 f x 2x m ， f 1 m 2 ，

f

x x2 mx图象在点 A 1, f 1 处的切线 l 与直线 x 3y

x2 x ，则 m 2 3 ，解得 ， f x

m 1

1

2 0 垂直，

1 f n

1

1 1

n

2

n n n 1

1 2

n n 1 1

L

.

所以， S2018 1

1

1 2018

1 2019

1

1 2019

2018 2019

.

2 3

应选： D. 【点睛】

此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前 项和，是中档题．

n

cos2 x dx

． 4

017

cos x sin x

（ ）

A．2( 2 1) 【答案】 C 【分析】

B．21

C．21

D．22

【剖析】

利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分 【详解】

.

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因为cos2 x cos2 x sin2 x

cos x

sin x

，

cos x sin x

cos x sin x

4

cos2x4

∴

(sin x cosx) 4

2 1，应选 C．

0

cosx sin xdx (cos x sin x)dx

0

0

【点睛】

此题考察三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇

.

18 ． 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 ， f ( x) x

3

3x ，则

3

1

a

f (2 2 ) , b

f (log3 27)

， c f (

2) 的大小关系为（

）

A． a b c B． a c b

C． b a c D． b c a

【答案】 C

【分析】

【剖析】

利用导数判断

f ( x) x3 3x 在 [0,

) 上单一递加，再依据自变量的大小获得函数值的大

小.

【详解】

Q 函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，

bf (log

1

3 27 )

f ( 3)

f (3) ，

3

Q 0

2

22

2 2

3 ，

当 x

0 ， f ' ( x) 3x2 3

0 恒建立，

∴ f (x)[0,

x3 3x 在

) 上单一递加，

3

f (log

1

2

，即 b a c .

3 27

) f (2 ) f ( 2)

应选： C.

【点睛】

此题考察利用函数的性质比较数的大小，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察逻

辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单一区间中

.

19． 函数 f ( x) loga 5 ax , a 0, a 1 在 1,3

上是减函数，则 a 的取值范围是A． 5,

B． 1

,1

C． 1,

5

D． 1,

5

3

5

3 3

【答案】 D 【分析】

( )

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【剖析】 依据 a

0 可知 y 5 ax 在定 域内 减，若使得函数

a 1

log a 5 ax , a 0, a 1 在 1,3 上是减函数， 需 ，解不等式即可 . 5 3a 0

【 解】

Q a 0

y 5 ax 在定 域内 减

若使得函数 f ( x) log a 5 需

ax , a 0, a 1 在 1,3 上是减函数

a 5 3a

1

0

，解得 1 a

5 3

故 ： D 【点睛】

本 考 数函数的 性，属于中档

.

20． 科赫曲 是一种外形像雪花的几何曲 ，一段科赫曲 能够通 以下操作步 结构得

到，任画一条 段，而后把它均分红三平分，以中 一段 向外作正三角形，并把中 一段去掉， ，本来的一条 段就 成了

4 条小 段组成的折 ，称

16 条更小的 段组成的折 ，称

“一次结构 ”；用

“二次构

同 的方法把每条小 段重复上述步 ，获得

造”， ⋯，这样 行 “n 次结构 ”，就能够获得一条科赫曲 的 度达到初始 段的

.若要在结构 程中使获得的折

）.（取

1000 倍， 起码需要通 结构的次数是（

lg3 0.4771， lg 2 0.3010 ）

A．16 【答案】 D 【分析】 【剖析】

B． 17

C． 24

n

D． 25

n

由折 度 化 律可知

“n 次结构 ”后的折 度

4 3

.

a，由此获得

4 3

1000 ，利

用运算法 可知

n

3

2 lg 2 lg 3

，由此 算获得 果

【 解】

初始 段 度

a ， “一次结构 ”后的折 度

4

3

a ， “二次结构 ”后的折 度

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2

a

，以此类推， n 次结构 后的折线长度为

n

4 3

“

”

4 a 3

n

，

若获得的折线长度为初始线段长度的

lg

即 n

4

n

n lg

4

1000 倍，则 4 a 1000a ，即

3

4

n

1000 ，

3

n lg 4 lg3

n 2lg 2 lg3

lg1000 3

，

3

3 3

24.02 ， 起码需要 25 次结构 .

2

应选： D.

0.3010 0.4771

【点睛】

此题考察数列新定义运算的问题，波及到对数运算法例的应用，重点是能够经过结构原则 获得每次结构后所得折线长度成等比数列的特色

.