2013北京高考理科数学试题(修正版)(答案为官方正式答案)

一、 选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )

A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 开始 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

i0,S1 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A.1 B.

213610 C. D. 398721

5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得 图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)= A.ex1SS212S1 否 ii1 B. ex1 C. ex1 D. ex1

i≥2x2y26.若双曲线221的离心率为3，则其渐近线方程为

ab12A.y=±2x B.y=2x C.yx D.yx

22是 输出S 结束 7.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 A.

48162 B.2 C. D. 3332xy10,8.设关于x,y的不等式组xm0,表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，

ym0求得m的取值范围是 A.,4 B. 31, C.

32, D.

35,

3第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，

)到直线ρsinθ=2的距离等于 . 610.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= . 11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA=3，

PD：DB9：16，则PD= ；AB= . 2013北京高考理科试题 第 1 页 共 7 页

12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .

13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa＋μb (λ，μ∈R)，则

= . b a c 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .

D1 C1A1 D A PB1 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. (本小题共13分)

在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A.

(I)求cosA的值； (II)求c的值.

16.( 本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.

B E C 2013北京高考理科试题 第 2 页 共 7 页

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;

（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共14分)

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求

BD的值. BC1

18. (本小题共13分) 设L为曲线C：ylnx在点(1，0)处的切线. x(I)求L的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方.

19. (本小题共14分)

x2y21上的三个点，O是坐标原点. 已知A、B、C是椭圆W：4(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;

(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共13分)

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项

an1，an2,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn 。

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(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值； (II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列； (III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

2013北京高考理科数学试题

参 一、 选择题：

1代入不等式组，325不适合，排除选项A，把m代入不等式组，不适合，排除选项B，把m代入不

331、B；2、D；3、A；4、C；5、D；6、B；7、C；8、C（排除法：把m等式组，适合，排除选项D，故选C）；

二、填空题： 9、1；10、2，2n12；11、

925,4；12、96；13、4；14、 (建立B－ACB1空间直55,则得P(2,1,2),设P在CC1上的垂足为Q，则得

角坐标系，设EPED1([0,1])2522Q(0,2,2),所以|PQ|4(1))；

5三、解答题：

15、解：（I）因为a=3，b=26，∠B=2∠A. 所以在△ABC中，由正弦定理得

326.sinAsin2A所以

2sinAcosA266.故cosA.

sinA336，所以sinA31c2oAs3.又因为∠B=2∠A,所以3(II)由（I）知cosA122cosB2c2oAs1.所以sinB1cos2B.

33在△ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB所以c53. 9asinC5. sinA16、解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（ i=1,2，…，13）.

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根据题意, P(Ai)1,且AiAj(ij). 13（I）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8, 所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)2. 13(II)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且

4, 134P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= ,

135P(X=0)=1－P(X=1)－P(X=2)= ,

13P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=

所以X的分布列为：

XP012544 1313135441212. 13131313故X的期望EX0(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

17、解：

（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，

3y4z0nA1B0设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z)，则,即， 4x0nA1C10令z3，则x0，y4，所以n=(0,4,3).

同理可得，平面BB1C1的法向量为m=(3,4,0),所以cosn,mnm16. 由题知|n||m|2516. 25二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为

(III)设D(x,y,z)是直线BC1上一点，且BDBC1. 所以(x,y3,z)(4,3,4).解得

x4，y33，z4.

所以AD(4,33,4).

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9由AD·. A1B0，即9250.解得259[0,1]，所以在线段BC1上存在点D， 因为25使得AD⊥A1B. 此时，

BD9. BC125lnx1lnx，则f(x).所以f(1)1.所以L的方程为yx1. 2xx18、解: （I）设f(x)(II)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于

x21lnxg(x)0(x0,x1). g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x). 2x2当0x1时，x10，lnx0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；

当x1时，x10，lnx0，所以g(x)0，故g(x)单调递增. 所以，g(x)g(1)0（x0,x1）. 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方. （又解：g(x)0即x12lnx0变形为x2xlnx0，记h(x)x2xlnx，则x12x2x1(2x1)(x1)h(x)2x1，

xxx所以当0x1时，h(x)0，h(x)在（0,1）上单调递减；

当x1时，h(x)0，h(x)在（1，+∞）上单调递增。 所以h(x)h(1)0.）http://www.linglong3d.net/

x2y21的右顶点B的坐标为（2,0）.因为四边形OABC为菱形，19、解：（I）椭圆W：4所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A（1，m），代入椭圆方程得

1m21，即4m113. 所以菱形OABC的面积是|OB||AC|22|m|3.

222(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0,m0).

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x24y24由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240. ykxmx1x2y1y2x1x24kmmkm，. 22214k2214k4kmm所以AC的中点为M（，）.

14k214k21因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

4k1)1，所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形，与假设矛盾. 因为k(4k设A(x1,y1),C(x2,y2)，则

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形. 20、（I）d1d21,d3d43.

(II)(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an. 因此Anan，Bnan1,dnanan1d(n1,2,3,). (必要性)因为dnd0(n1,2,3,)，所以AnBndnBn. 又因为anAn，an1Bn,所以anan1. 于是Anan，Bnan1. 因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列.

(III)因为a12,d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1,anB11. 假设an(n2)中存在大于2的项.

设m为满足an2的最小正整数，则m2，并且对任意1km,ak2，. 又因为a12，所以Am12，且Amam2.

于是BmAmdm211，Bm1minam,Bm2. 故dm1Am1Bm1220,与dm11矛盾.

所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2. 因此对任意n1，an2a1，所以An2. 故BnAndn211.

因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.

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