初等变换与等价矩阵

一、考试内容与考试要求

考试内容

矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价． 考试要求

（1）掌握矩阵的初等变换及用途；

（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．

二、知识要点

引入 由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，

初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．

1．初等变换与初等矩阵

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：① 交换两个方程的上下位置．② 用一个非0的常数乘某个方程．③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上． 以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．

（1）初等变换

矩阵有以下三种初等行变换： ① 交换两行的位置；

② 用一个非0的常数乘某一行的各元素；

③ 把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．

类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换． 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）． 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．

rcrirj注 ：表示初等变换：：表示初等行变换；：表示初等列变换；

rjkri：将第i行

与第j行进行对换，将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等．

（2）矩阵的等价

矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第

1

十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．

定义：矩阵A经有限次初等变换得矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为AAB的充分必要条件是下列任一条件：

① 存在可逆矩阵P和Q，使PAQB； ② A与B有相同的秩．其中A、B为同型矩阵； ③ A与B有相同的等价标准形； ④ 存在初等矩阵P1,B．

Ps1,Ps,Q1,Q2,,Qt,，使PsPs1P1AQ1Q2QtB；

r矩阵A经有限次初等行变换得矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记为AB； 矩阵A经有限次初等列变换得矩阵B，则称矩阵A与B列等价，记为AB． 等价的性质 ① 反身性：A② 对称性：若A③ 传递性：若AcA B，则BA

B，BC，则AC

由上面可得矩阵A可逆的充分必要条件 ① AE；

② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积； ③ 存在可逆矩阵P,Q，使PAQE. （3） 初等矩阵

对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：

① 交换E的i,j行（或列）得到的初等矩阵，记为E(i,j)或Eij；

② E的i行（或列）乘以不为零的数k得到的初等矩阵，记为E(i(k))或Ei(k)； ③ E的第i行（或列）乘以数k加到第j行（或列）上得到的初等矩阵，记为

E(i,ji(k))或Eij(k)．

（4） 初等矩阵的性质 利用行列式的性质，很明显有

① Eij1 ② Ei(k)k（k0） ③ Eij(k)1 由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为： ④ Eij

11Eij ⑤ Ei1(k)Ei1()（k0） ⑥ Eij1(k)Eij(k)

k2

证明 ⑥

1Eij(k)Eij(k)=1=1k1111k1i行 j行11k(k)1i行=E j行1TTT⑦ EijEij ⑧ Ei(k)Ei(k)（k0） ⑨ Eij(k)Eji(k)

⑩ Eij*Eij ② Ei(k)kEi()（k0） ③ Eij*(k)Eij(k)

*1k证明 ⑩EijEijEij*1Eij，其它类似可证明．

1这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用EijEij有：

100100001001 010010每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对A进行一次初等变换行（列）变换，相当于

左（右）乘一个同类型的初等矩阵．

12．初等变换的用途

以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．

（1）求解线性方程组Axb或Axo的解，即： (A,b)（2）求矩阵的逆，即：

r行最简形

AcE (A,E)(E,A) 或 1

EAr1 3

（3）求矩阵方程AXB的解，当A可逆时，有： (A,B)(E,AB)(E,X)

（4）求矩阵的秩，即：

r1Er AcOrO O或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．

（5）求向量组A的最大线性无关组，即： A行最简形

从行最简形得出向量组A的最大线性无关组． （6）判断向量组的线性相关与线性无关性

由Axo的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：

r线性无关:Ax=o有唯一零解,,, n维向量组12 m线性相关:Ax=o有非零解或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性： 若R(1,2,关．

（7）判断向量是否可由向量组1,2, 记A=(1,2,,m)m，向量组线性相关；若R(1,2,,m)m，向量组线性相

,m线性表示，即：

,m)，需判断Ax是否有解，即R(A)R(A,)是否成立．

（8）判断向量组1,2, 记A=(1,2,等价．

,s与1,2,,t的等价，即：

时两个向量组

,s)，B(1,2,t)，则R(A)R(A,B)R(B)（9）若A行等价于B，即AB，则PAB，可求出P：

r(A,E)(B,P)

rAcB或 AB，则APB，可由求出P。

EPc（10）求矩阵A特征向量

获得矩阵A的特征值后，用初等变换求解齐次方程(EA)xo，得到特征向量．

三、基础训练

4

以下的例题是按上述的初等变换的用途按顺序举例的． 例1 求解线性方程组．

x1x23x3x413x1x23x34x44 x15x29x38x401131111311解 (A,b)3134r404671 1598004671110335r113124401371r2440137414 00000200000得 335x1xx23444x232x71，

34x44齐次方程组的基础解系 33T31(2,2,1,0)，2=(4,74,0,1)T 原方程组的一个特解为(51T4,4,0,0)，故原方程组的全部解为 c33T37T1(2,2,1,0)+c2(4,4,0,1)T+(54,14,0,0) （c1,c2R） 例1 求解下面的线性方程组，并用基础解系表示线性方程组的全部解．

x12x22x3x402x1x22x32x40 x1x24x33x40解 这仍然是为初等变换的用途1的举例．

121A22122r1221r1221036403 114303640000R(A)2；3x16x35x4x，得基础解系3x2,1,0)T，54T1(2,2=(,,0,1)2634x433．方程组的全部解为cT54T1(2,2,1,0)+c2(3,3,0,1)（c1,c2R）．

5

0200例2 设A1000022，求A1．

00011解 因为A80，A可逆，且

0000002001000101001100(A,E)r=1000010020010022001000100010011000141200010041201001000有 A12=001142 0014120a1000a200例2 设A（ai0，i1,2,,n)，求A1． 000an1an000r解 只要AE，即可判断A可逆．故

a11a21(A,E)=1 an1an1ran1rnrnr1n1n2a11r1r2a21 an11 6

101an11ra11a2 11an10001an1000A1a1=01a0 2100a0n1例3 求解矩阵方程AXAX，其中A220213．

010解 AXAX，AXXA，X(AE)1A

220(AE)=213100120010=203,

010AE0 001011120220(AE,A)r=203213120220110110101004323r120220011010r120220102004323300121r100226010203=(E,X) 001213 00 3 03 37

62203故 X2

213112220例4 设向量组1，2，3的秩为2，求t的值．

13t110121220解 A=13t110100011111130020t01111020020t0211022 02t000

222，R(A)2，t20，t2． 0t200TTT（1,1,1,1）（1,3,3,5）（1,1,2,3）例5 求向量组1，2，3， TT4（4,2,5,6）（-3,1,5,-7），5的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用

此最大无关组表示．

1111解 A=(1,2,3,4,5)=

2131r13321

3555673131

26226221441114302262011310226211010000131310000004r1101020210000rr121131 00000000 R(A)=2，1,2为一个最大线性无关组，3212，4132，5212．

8

111例6 设1=1，2=2，3=3．问t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（1）

13t（2）问t为何值时，向量组1,2,3线性无关？（3）当向量组1,2,3线性相关，将3表示成1,2的线性组合．

解 利用向量组的秩判断．设A(1,2,3)，则

111A12313tr11101202t1r11101

200t5（1）当t5时，向量组1,2,3线性相关． （2）当t5时，向量组1,2,3线性无关． （3）当1,2,3线性相关时，即t5，有

rA111012000r101012 000所以3122．

例7 设有三维向量

11101111, ,, 23

1112问取何值时，（1） 可由1,2,3线性表示, 且表达式惟一; （2） 可由1,2,3线性表示, 但表达式不惟一;（3） 不能由1,2,3线性表示.

解 设x11x22x33，将分量代入得到方程组

(1)x1x2x30x1(1)x2x3 xx(1)x2123记(A,)(1,2,3,)，对增广矩阵作初等行变换

9

11111(A,)(1,2,3,)=111112220 2 2011000211102300（1）若0且30，即0且3，则R(A)R(A,)3，方程组有惟一解，所以可由1,2,3惟一线性表示．

（2）若0，则R(A)R(A,)=1，方程组有无穷多解，即可由1,2,3线性表示，但表示法不惟一．

（3）若3，则R(A)2，R(A,)3，方程组无解，即不能由1,2,3线性表示．

01113例8 已知向量组（I）：1=1，2=1；（II）：1=0，2=2，3=2，

10111证明（I）组与（II）组等价．

解 记A(1,2)，B(1,2,3)，有

0111311022A,B10111rr1102201113 10111r1102201113011131102201113， 00000R(A)R(B)R(A,B)=2，故（I）组与（II）组等价．

011 例9 求矩阵A101的特征值和特征向量．

110解

111=332=(1)2(2)=0

EA=111 特征值为：12，231．

10

1x12x2x3当12时，用初等行变换求得，特征向量是k1，k0．

x2x3111当231时，用初等行变换求得x1x2x3，特征向量是k10k2110（k1,k2为常数且不同时为零）．

四、综合训练

例6.1 下列矩阵中，那些是行最简形？

010111011101（1）A10011 （2）A20111 （3）A30011 000000000000解 A1，A3非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0，故是行最简形．

1101A2不是，但A201110000r10100111为行最简形． 00001例6.2 设A、B为同阶可逆矩阵, 则

(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使PAPB (C) 存在可逆矩阵C, 使CACB (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使PAQB 解 (D)正确。

因为A可逆, 存在可逆P1,Q1使： P1AQ1E 因为B可逆, 存在可逆P2,Q2使： P2BQ2E 所以P2BQ2，于是有 1AQ1=P1P21P1AQ1Q2B

11令PP2P1, QQ1Q2，即PAQB.

T 例6.3(数一,04,4分)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为 11

010 (B)

100 (A) 1010101000 (C) 11010100 (D) 0110101001 01解 (D)正确．因为进行初等列变换，相当于右乘一个同类型的初等矩阵，故有题设，有

010A100=B，B001100011C 001010100011 于是 A100011=A100C 001001001故选 (D)．

a11例6.4 设Aa21a31a12a22a32a13a21a23, Ba11aaa333121a22a12a32a22a13, a33a23a23010P00, 设有P2P1A = B, 则P2 =（ ）． 11001100(A) 010 (B) 101100010 (C) 101101010 (D) 001101010 001解 (B)正确。由于左乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等行变换， P1A表

示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－

1001)加到第三行. 所以P2 = 010，故选(B).

101例6.5（数一，97，5分）设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行交换后得到的矩阵记为B．(1) 证明B可逆；(2) 求AB．

解 (1) 由于将A的第i行和第j行交换后得到矩阵B，故BEijA，于是有

1BEijAA0，故B可逆．

(2) AB=A(EijA)=AAEij=Eij11111Eij．

例6.6（数一，05，4分）设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则 （A）交换A*的1，2列得到B* （B）交换A*的1，2行得到B* （C）交换A*的1，2列得到B* （D）交换A*的1，2行得到B*

12

解 （C）正确。由于交换A的1，2行得B，故存在初等矩阵E12，有E12AB，则

B*(E12A)*A*E12*A*E12E121A*E12

**即AE12B，交换A*的1，2列得到B*，故选（C）．

例6.7 （数三，04，4分）设n阶矩阵A与B等价，则必有

(A) 当Aa(a0)时，Ba (B) 当Aa(a0)时，Ba (C) 当A0时，B0 (D) 当A0时，B0

解 (D)正确。因为矩阵A与B等价，即A经初等矩阵得B，A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩．当A0，R(A)R(B)n，B0，所以(D)正确．

经初等变换其行列式的值不一定相等或保持变号，故(A) 、(B)不正确． 当A0，R(A)=n，而B0，R(A)n，(C)不正确．

例6.8 设A, B都是n阶方阵, 试证明:

AEEB|ABE|.

解 用初等变换AE将化为分块上或下三角矩阵．

EBEAB B因为 EAAE00EEBEB0EEAAEE即 

E00EEB0EAB 这一步借助了左乘一个初等矩阵相当于进行初等行变换，只是这里矩阵是分块矩阵． 所以

0E2EEAAE00EEAEEBBE0E0BBEAB

有 (1)n1EAB1|ABE|

所以

AEEB|ABE|

1AB1CA1B1A例6.9设A，B为n阶可逆方阵，求证 =1111CBCBABCA解 令P

A，想法把P写成两个分块三角矩阵的乘积． CBC13

A将P的第1列的（-1）倍加到第2列（右乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等列变换），即

AEEAOACBCOECBB

A CB1AAOEE CBBOEC11AOEEA1AEEACBCOECBB=OE11B(CB)AO B1A1B1(CB)A1B1= 111BB(CB)A由于 AB(CB)A111[EB1(CB)]A1

(EB1CE)A1B1CA1

)A(BCE)ABCA A B(CB111111AB1CA1B1A所以  =1111CBCBABCA注 这道题是第五讲的例5.5．在这用初等矩阵的性质进行求解显的不简单，但学生应对这种方法有所了解．

例6.10 设A是mn矩阵，mn，其秩R(A)m，则（ ）正确． （1）存在m阶可逆阵P，使PA(Em,O) （2）存在m阶不可逆阵Q，使QA(Em,O)

（3）齐次线性方程组Axo只有零解

（4）非齐次线性方程组Axb一定有无穷多解

解（4）正确. 证明：非齐次方程Axb的系数增广矩阵的秩满足 mR(A)R(A,b)m,

于是，R(A)R(A,b)mn未知元个数，从而方程Axb必有无穷多解.

不正确的情形用反例说明：

（1）不正确. 因P是可逆矩阵，PA(E2,O)表示对A进行有限次初等行变换化为

1100(E2,O)，举反例：取A，显然，对A作任何的初等行变换均不能变成为(E2,O). 011

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（2）不正确.反例：取A使QA(E2,O)，即

ab010，设若存在一个2阶矩阵Q, 100cdba0100 010

dc0比较上式两矩阵的对应元素，得Q2阶矩阵Q，使QA(E2,O).

01,Q0，故对于上述矩阵A，不存在不可逆的100100x （3）不正确.反例：取A则显然,1是它的非零解. 0111

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