电磁学2.静电势能和电势
静电势能
在静电学⾥，静电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。
假设有点电荷 q1 ,距离为 R 的位置 P 点⼜有点电荷 q2.
很明显，如果我们要移动两个电荷到相对位置，我们需要做功克服电场⼒。所以电荷上已经做了功，这就是静电势能。就像挤压弹簧，松⼿后⼜会弹开。
⇀⇀
假设空间为空，第⼀次放置 q1 不需要做功。但是放置 q2 到 P 点就需要克服电场⼒ Fel做功。施加的⼒设为 Fkl。两个⼒⼤⼩相等，⽅向相反。两个点电荷的距离设为 r .
从⽆限远处把电荷移动到 P 点做的功就是静电势能U：
U=Wkl=∫
=∫
R
Fdr∞kl∞
FdrRel
⇀⇀⇀⇀
dr
q1q2=
4πϵ0∞r2
∫R
q1q2=4πϵ0R静电势能U是⼀个标量。单位是 焦。电场⼒是保守⼒，⼀点到另⼀点做的功与路径⽆关。可以是正值，也可以是负值，负值表⽰做负功。
电势
假设检验电荷从⽆穷远位置，经过任意路径，克服电场⼒，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷
量的⽐值。
其实就是：从⽆穷远处移动到 P 点，单位电荷所做的功。等式右边只剩下⽣场电荷的电荷量。
Q
VP=
4πϵ0R单位是 焦/库伦。但是没⼈这么叫，⼀般都⽤ 伏特（V）。很显然就是为了纪念这位⼤佬。两个叫法⼀个意思。
1
电势随着距离成 R 下降。假设空间中只有⼀个点电荷 Q ,如果是正电荷的，任何位置的电势都是正的，如果是负电荷的，任何位置的电势都是负的。只有在真正的⽆穷远处，电势才为0.
多点电荷在某点位置产⽣的电势，利⽤叠加定理可以很容易求解。
等电势⾯
假设球形空⼼⾦属壳，表⾯均匀布满电荷，任何⼀处电荷密度⼀样。⽐如范式起电机。
那么我们将⼀个电荷从⽆穷远处移动到⾦属壳表⾯时，是有做功的，但是移动到⾦属壳内部，由⾼斯定律，可知内部没有电场，所以没有电场⼒的作⽤，意味着不⽤做功。
所以，内部电势将保持恒定。⾦属壳内部任何位置的电势都是相等的。此时内部就是⼀个等势⾯。
等势⾯，简单理解就是，将点电荷从⽆穷远处移动到这个⾯上的线时，所做的功都是相等的。例如以下蓝⾊虚线等势⾯有什么⽤？
电场确定时，我们就可以预测电场中电荷的受⼒情况。但是有时候，电场是难以想象的复杂的，利⽤等势⾯会容易的多，因为⼀点到另⼀点动能的改变完全取决于电势的变化。
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所以我们只关⼼动能的改变的话，等势⾯会让计算⽅便的多，就像上⾯那幅图的第三个图，多点电荷产⽣的电场会异常复杂，⽽等势⾯显然简便很多。
在重⼒场中，铅笔总是想从⾼势能处向低势能处运动。相对地，正电荷总是试图从⾼电势移动到低电势，负电荷总是试图从低电势移动到⾼电势。
电势差
假设在电场中，A点电势为 VA，B点电势为 VB 。则两点电势差为
VA−VB=∫
=∫
∞EdlABEdlA
⇀⇀
−∫
∞
EdlB
⇀⇀
⇀⇀
将⼀个电荷 q 从⽆穷远移动到B，做功，再从B移动到A，显然要出更多的⼒，这部分⼒做功，如果我们此时撤去这部分⼒，电荷将从A返回
B，此时势能转换为电荷运动的动能。⼤⼩就是电荷量乘以电势差。
当只研究动能时，显然电势差⽅便很多。⽽且我们可以任意假设电势零点，来简化计算。（电路中假设的地）
电场与电势的关系
在点电荷产⽣的静电场中，距离 r 的 P 点的电场为
⇀qr⇀4πϵr2
0
E=
电势为
Q4πϵ0rV=
前⾯我们知道，电势是电场沿⼀条线的积分。反过来，电场可以写成电势的导数。对电势公式求导，可得
Qdv
2
dr=−4πϵ0r
电场是⽮量，电势是标量，我们可以两边同时乘以⽅向单位⽮量。
Qdv
⇀2⇀drr=−4πϵ0rr
所以电势的导数是电场的负数。可得公式：
dv
⇀⇀E=−drr
知道了电势，也就能找回电场。
加深理解
假设空间存在电场， P 点有唯⼀的电势 Vp。
现在在笛卡尔坐标系中，只沿x轴⾛微⼩距离，如果电势没有改变，那么电场在x轴上分量为0。如果实测有电势改变，则电场在x轴上分量⼤⼩为
||Δv
Ex=Δx（Δy,Δz=0）
||同理，可得其他两个⽅向分量⼤⼩
||||这样我们可以得到在笛卡尔坐标系中电势和电场的关系：
⇀E=−
Δv
Ey=Δy（Δx,Δz=0）
||||Δv
Ez=Δz（Δx,Δy=0）
单位是伏特每⽶。其实和⽜顿每库伦表达意思⼀样，只是形式不⼀样。
(||||||)∂v∂v∂v∂xxˆ+∂yyˆ+∂zzˆ.
它是电势在各个坐标⽅向上的偏导数。其实就是电场在各个⽅向上的⽮量分解。例⼦
假设在距离 x=0−10−2 内， 电势为 V=105x ,即随距离线性变化。那么我们可以计算出电场
⇀
E=−10−5x
ˆ那么在这个范围内，电场只随距离线性变化。
