专题06 分式及应用的核心知识点精讲
1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．
2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．
3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．
【题型1：分式方程及其解法】 【典例1】（2023•凉山州）解方程：
＝
．
1．（2023•山西）解方程：
2．（2023•陕西）解方程：
3．（2022•眉山）解方程：
＝
． ． ．
4．（2022•西宁）解方程：
﹣
＝0．
【题型2：分式方程的应用】
【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？
2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，
且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：乙：
＝＝1.6×
+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．
，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示 ，乙所列方程中的x表示
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
4．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【题型3：与分式方程的解有关的问题】 【典例3】（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝
的解是非负数．则m的取值范围是（ A．m≤2
B．m≥2
C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1
D．m＜﹣1且m≠﹣2
2．（2023•淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
3．（2023•巴中）关于x的分式方程+
＝3有增根，则m＝ ．
1．（2023秋•乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 2．（2023秋•株洲期中）分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣9
B．x＝﹣6
C．x＝5
D．x＝﹣2
）
3．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程A．﹣1
B．0
C．1
无解，则n＝（ ）
D．
4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ） A．C．
B．D．
有增根，则a的值为（ ）
D．﹣5
5．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程A．4
B．5
C．6
6．（2024•辽宁模拟）解分式方程整式是（ ） A．x
B．x﹣1
时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个
C．x（x+1） D．x（x﹣1）
7．（2022秋•五常市期末）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
8．（2023秋•新田县期中）甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要 分钟可以注满全池． 9．（2023秋•岱岳区期中）解方程： （1）
10．（2023秋•平南县期中）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
11．（2023秋•南县期中）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元？
； （2）
．
12．（2023秋•兴宾区期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务． （1）求原计划每天制作多少件冰墩墩？
（2）该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了20%，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？
1．（2023秋•大渡口区校级期中）若关于x的方程
有正整数解，且关于x的不等式组
有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
2．（2023秋•祁阳县期中）a为何值时，关于x的方程
3．（2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时． （1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
4．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西决定修建“太忻大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
+
＝
无解？
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
5.（2023•兴庆区校级模拟）宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元．已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同． （1）求甲、乙两种枸杞每千克的进价．
（2）该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元．销售过程中发现甲种枸杞销量不好，商场决定：甲种枸杞销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至少销售多少千克？
6．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等． （1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
7．（2022春•大观区校级期末）已知，关于x的分式方程（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程
＝1无解；
＝1．
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程
8．（2022春•宁波期末）我们把形如x+为“十字分式方程”．
例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+应用上面的结论解答下列问题：
＝1的解为整数时，求b的值．
＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称
＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．
＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝ ，x2＝ ． （2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求（3）若关于x的十字分式方程x﹣的值．
的值．
＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求
1．（2023•海南）分式方程A．x＝6
2．（2023•大连）解方程A．1+3＝3x（1﹣x） C．x﹣1+3＝﹣3x
＝1的解是（ ）
C．x＝5
D．x＝﹣5
B．x＝﹣6
去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
B．1+3（x﹣1）＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
3．（2023•淄博）为贯彻落实**总关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．C．
﹣2＝
B．D．
5．（2023•日照）若关于x的方程A．m＞﹣ C．m＞﹣且m≠0
的解为正数，则m的取值范围是（ ） B．m＜ D．m＜且m≠
6．（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2
的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 7．（2023•广西）解分式方程：
8．（2023•连云港）解方程
9．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
＝
﹣3． ．
