2017-2018学年北京市西城区九年级一模数学试卷(WORD版含答案)

数学试卷 2018.4

考生须1．本试卷共 8 页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）． A．5.81010

2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）．

B．5.81011

C．58109

D．0.581011

千里江山图京津冀协同发展内蒙古自治区成立七十周年河北雄安新区建立纪念A． B． C． D．

3．将b34b分解因式，所得结果正确的是（ ）． A．b(b24)

4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）． A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥

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B．b(b4)2 C．b(b2)2 D．b(b2)(b2)

主视图左视图俯视图

5．若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A．a5 C．ac0

6．如果一个正多边形的内角和等于720，那么该正多边形的一个外角等于（ ）． A．45

7．空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．

B．60

C．72

D．90

B．bd0 D．cd abc12d345-5-4-3-2-10AQI数据 AQI类别 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 301以上 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示． 天数161412109876201210321039831412优良轻度污染中度污染4重度污染严重污染

1211102014年2015年2016年2017年2018年时间1月1月1月1月1月根据以上信息，下列推断不合理的是（ ） A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年月 B．AQI数据在0~100之间的天数最少的是2014年月

C．这五年的月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别

8．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 投中次数 10 7 0.700 20 15 0.750 30 23 0.767 23 0.767 40 30 0.750 32 0.800 50 38 0.760 35 0.700 60 45 0.750 43 0.717 70 53 0.757 52 0.743 80 60 0.750 61 0.763 90 68 0.756 70 0.778 100 75 0.750 80 0.800 A 投中频率 投中次数 B 0.800 14 0.700 投中频率 2 / 18

下面有三个推断：

①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．

②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．

③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是（ ）． A．①

二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若代数式

B．②

C．①③

D．②③

x1的值为0，则实数x的值为__________． x110．化简：(a4)(a2)a(a1)__________．

11．如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若

DC__________．

S△DEC4，AC3，则S△ABC9AD

BEC12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G20次约用5h到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G20次的运行速度快

35km/h，约用4.5h到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴号”

的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为xkm/h，依题意，可列方程为__________．

13．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，BOC50，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，

CD，那么ACD__________．

DCB

AO

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14．在平面直角坐标系xOy中，如果当x0时，函数ykx1（k0）图象上的点都在直线y1上方，请写出一个符合条件的函数ykx1（k0）的表达式：__________．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，ABC90，点B在点A的右侧，点C在第一象限。将△ABC绕点A逆时针旋转75，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为__________．

yEC

DOABx16．阅读下面材料：

在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．

已知：直线和直线外的一点P．

求作：过点P且与直线垂直的直线PQ，垂足为点QP 某同学的作图步骤如下： 步骤 第一步 作法 以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点． 第二步 连接PA，作APB的平分线，APQ__________ PB，交直线于点Q． 直线PQ即为所求作． 请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PAPB，APQ__________， ∴PQl．（依据：__________）．

三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 117．计算：184sin3051推断 PAPB PQl 21．

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3(x2)≥x418．解不等式组x1，并求该不等式组的非负整数解．

12

19．如图，AD平分BAC，BDAD于点D，AB的中点为E，AEAC． （1）求证：DE∥AC．

（2）点F在线段AC上运动，当AFAE时，图中与△ADF全等的三角形是__________．

AEC

B

20．已知关于x的方程mx2(3m)x30（m为实数，m0）． （1）求证：此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．

D21．如图，在△ABD中，ABDADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O． （1）补全图形，求AOB的度数并说明理由;

3（2）若AB5，cosABD，求BD的长．

5BA

D

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22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yxm与x轴的交点为A(4,0)，与y轴的交点为B，线段AB的中点M在函数y（1）求m，k的值;

（2）将线段AB向左平移n个单位长度（n0）得到线段CD，A，MB的对应点分别为C，N，D． ①当点D落在函数y

k

（k0）的图象上 x

k

（x0）的图象上时，求n的值． x

②当MD≤MN时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

BM1A-1O-11

23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员．B．书香社区图书整理．C．学编中国结及义卖．D．家风讲解员．E．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：

收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．

B，E，B，A，E，C，C，C，B，B， A，C，E，D，B，A，B，E，C，A， D，D，B，B，C，C，A，A，E，B， C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，

整理、描述数据：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．

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选择各志愿服务项目的人数统计表

志愿服务项目 划记 正 正正 正40 人数 8 A．纪念馆志愿讲解员 B．书香社区图书整理 C．学编中国结及义卖 12 6 40 D．家风讲解员 E．校内志愿服务 合计 选择各志愿服务项目的人数比例统计图

A．纪念馆志愿讲解员 E15%A20%DB% 分析数据、推断结论：

B．书香社区图书整理 C．学编中国结及义卖 C30%E．校内志愿服务 %D．家风讲解员 a：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填AE的字母代号）

b：请你任选AE中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两

个志愿服务项目．

24．如图，⊙O的半径为r，△ABC内接于⊙O，BAC15，ACB30，D为CB延长线上一点，AD与⊙O相切，切点为A．

（1）求点B到半径OC的距离（用含r的式子表示）． （2）作DHOC于点H，求ADH的度数及

CB的值． CDOA

DBC 7 / 18

25．如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在»AB上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点

Q．已知AB5cm，AC3cm．设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为ycm．

ACOPQB某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表： 0 2.5 3.5 5 x(cm) 4 4.0 4.7 5.0 4.8 4.1 3.7 y(cm) （说明：补全表格对的相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ2AP时，AP的长度约为__________cm．

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：ymx22mxm1(m0)与y轴交于点C，抛物线G的顶点为

D，直线：ymxm1(m0)．

（1）当m1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．

（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

y1O1x

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27．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段BD交于点M，作

CEAM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．

（1）如图，当045时， ①依题意补全图．

②用等式表示NCE与BAM之间的数量关系：__________．

（2）当4590时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明． （3）当090时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

AMBAB

D图1CD备用图C

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28．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设kAQBQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定CQ2AQ2BQ（或）． CQCQAQBQ，k已知在平面直角坐标系xOy中，Q(1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r． （1）如图，当r2时，

①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

②A2(12,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M， ①当r1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当k3时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线y3xb与⊙C有公共点，且公共点是⊙C的“3相关依附点”，直接写出

b的取值范围．

yyA1OQCA2xOQCx

图1

备用图 10 / 18

北京市西城区2018年九年级统一测试

数学试卷答案及评分标准 2018.4

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 D 6 B 7 D 8 B 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. x1 10. a8 11. 2

12. 4.5x5(x35) 13. 40

14. yx1（答案不唯一） 15.

2 16. BPQ，等腰三角形顶角的角平分线与底边上的高重合

三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）

117. 原式3254(21)325221222．

2

18.解①得，3x6≥x4，2x≥2，x≥1， 解②得，x12，x3， ∴原不等式解集为1≤x3， ∴原不等式的非负整数解为0，，2．

19.（1）证明：∵AD平分BAC， ∴12， ∵BDAD于点D， ∴ADB90， ∴△ABD为直角三角形． ∵AB的中点为E， ∴AEABAB，DE， 22∴DEAE，

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∴13， ∴23， ∴DE∥AC． （2）△ADE．

A12EC3B

20.（1）(3m)24m(3)m26m912mm26m9(m3)2≥0 ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）由求根公式，得x∴x11，x2

D(3m)(m3)，

2m3（m0）． m∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m的值为1或3．

21.（1）补全的图形如图所示．AOB90． 证明：由题意可知BCAB，DCAB， ∵在△ABD中，ABDADB， ∴ABAD，

∴BCDCADAB， ∴四边形ABCD为菱形， ∴ACBD， ∴AOB90．

（2）∵四边形ABCD为菱形， ∴OBOD．

3在Rt△ABO中，AOB90，AB5，cosABD，

5∴OBABcosABD3，

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∴BD2OB6．

BAOC

D

22.（1）如图．

∵直线yxm与x轴的交点为A(4,0)，∴m4．

∵直线yxm与y轴的交点为B， ∴点B的坐标为B(0,4)． ∵线段AB的中点为M， ∴可得点M的坐标为M(2,2)． ∵点M在函数yk

x

（k0）的图象上， ∴k4．

（2）①由题意得点D的坐标为D(n,4)， ∵点D落在函数yk

x

（k0）的图象上，∴4n4， 解得n1．

②n的取值范围是n≥2．

DBNM1

CA-1O1-1

23. B项有10人，D项有4人．

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选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占25%，D占10%． 分析数据、推断结论：

a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C．

b：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．

． A：50020%100（人）． B：50025%125（人）． C：50030%150（人）． D：50010%50（人）． E：50015%75（人）

24.（1）如图4，作BEOC于点E． ∵在⊙O的内接△ABC中，BAC15， ∴BOC2BAC30．

在Rt△BOE中，OEB90，BOE30，OBr， ∴BEOBr， 22r． 2∴点B到半径OC的距离为（2）如图4，连接OA．

由BEOC，DHOC，可得BE∥DH． ∵AD于⊙O相切，切点为A， ∴ADOA， ∴OAD90． ∵DHOC于点H， ∴OHD90．

∵在△OBC中，OBOC，BOC30， ∴OCB180BOC75．

2∵ACB30，

∴OCAOCBACB45． ∵OAOC，

∴OACOCE45， ∴AOC1802OCA90， ∴四边形AOHD为矩形，ADH90， ∴DHAOr．

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∵BE∴BEr， 2DH． 2∵BE∥DH， ∴△CBE∽△CDH， ∴

CBBE1． CDDH2OAHEDB图4 25.（1） x(cm) y(cm)

C0 4.0 1 4.7 1.8 5.0 2.5 4.8 3 4.5 3.5 4.1 4 3.7 5 3.0 （2）如图5 y65432101234567图5（3）2.42．

26.（1）当m1时，抛物线G的函数表达式为yx22x，直线的函数表达式为yx，直线被抛物线G截得的线段长为2，画出的两个函数的图象如图所示：

x 15 / 18

yy=x2+2xy=x

O(C)Dx（2）∵抛物线G：ymx22mxm1(m0)与y轴交于点C， ∴点C的坐标为C(0,m1)，

∵ymx22mxm1m(x1)21， ∴抛物线G的顶点D的坐标为(1,1)， 对于直线：ymxm1(m0)， 当x0时，ym1，

当x1时，ym(1)m11， ∴无论m取何值，点C，D都在直线上． （3）m的取值范围是m≤-3或m≥3．

27. （1）①补全的图形如图所示：

AMBEN

D②NCE2BAM．

C1（2）MCEBAM90，连接CM，

2 16 / 18

A

BMDQCEN

DAMDCM，

DAQECQ，

∴NCEMCE2DAQ，

1∴DCMNCE，

2∵BAMBCM，

BCMDCM90，

1∴NCEBAM90． 2（3）∵CEA90， ∴点E在以AC为直径的圆上，

F1O22E

∴EFmaxFOr12．

28. （1）①2．②是．

（2）①如图，当r1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），

连接CM，则QMCM，

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yMOQC2

x∵Q(1,0)，C(1,0)，r1， ∴CQ2，CM1，

∴MQ3，

2MQ3， 此时kCQ②如图，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QNQM，点N，M在x轴下方时同理），

作CDQM于点D，则MDND，

yMDNQOC2x

∴MQNQ(MNNQ)NQ2ND2NQ2DQ， ∵CQ2，

MQNQ2DQDQ， ∴kCQCQ∴当k3时，DQ3， 此时CDCQ2DQ21，

假设⊙C经过点Q，此时r2， ∵点Q早⊙C外，

∴r的取值范围是1≤r2． （3）3b33．

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