2018-2019学年江苏省南京一中八年级第二学期期中数学试卷 含解析

一、选择题（共6个小题）

1．下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命

B．调查全市中学生观看《流浪地球》的情况 C．调查南京市中小学生的课外阅读时间 D．对量子通信卫星的零部件质量情况的调查 3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 C．四条边都相等 4．把分式A．不变

B．对角线互相垂直且平分 D．对角线平分一组对角

中的x和y都扩大3倍，分式的值（ ）

B．扩大3倍

C．缩小3倍

D．扩大9倍

5．已知x﹣＝3，则4﹣x2+3x的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

6．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④∠APB的大小．其中随点P的移动不会变化的是（ ）

A．①② B．②④ C．①③ D．①④

二、填空题（共10小题） 7．对于分式

有意义，则x应满足的条件是 ．

8．某学校为了解七年级12000名学生体质健康情况，从中抽取了500学生进行测试，在这个问题中，样本容量是 ．

9．已知在一个样本中，40个数据分别在4个组内，第一、二、四组数据的频数分别为5，12，8，则第三组的频率为 ．

10．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是 ． ①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同 ②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为

③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定 ④连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于

11．袋子中装有1个红球、2个黄球和3个蓝球（它们除颜色外都相同），从袋中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ．

12．已知在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是 °． 13．顺次连接平行四边形各边中点的图形为 ．

14．如图，▱ABCD的周长为10cm，对角线AC＝3cm，则△ABC的周长为 ．

15．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则线段EF＝ ．

16．若关于x的分式方程

三、解答题（共9小题，共68分） 17．（1）计算

＝2a无解，则a的值为 ．

（2）解方程

18．先化简，再求值：（1﹣数作为x代入求值．

），从﹣3＜x＜3的范围内选一个合适的整

19．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．求证：BE＝DF．

20．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，试用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．于是，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．求这种衬衫原进价为每件多少元？ 21．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线． 求证： ． 证明：

22．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；

（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度； （3）请将条形统计图补充完整；

（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“思考”的初三学生约有多少人？

23．我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表． 图形的变化 平移

（1）

示例图形

与对应线段有关的结论

与对应点有关的

结论 AA′＝BB′ AA′∥BB′

轴对称

（2） （3）

旋转

AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互

补．

（4）

24．如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ． （1）求证：△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由； （3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

25．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：

；

（1）下列分式中，属于真分式的是 （填序号）； ①

②

③

④

（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝ ；若假分式的

值为正整数，则整数a的值为 ； （3）请你写出将假分式

化成整式与真分式的和的形式的完整过程．

参

一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）

1．下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 解：A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：C．

2．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命

B．调查全市中学生观看《流浪地球》的情况 C．调查南京市中小学生的课外阅读时间 D．对量子通信卫星的零部件质量情况的调查

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．

解：A、调查一批新型节能灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式； B、调查全市中学生观看《流浪地球》的情况，适宜采用抽样调查方式； C、调查南京市中小学生的课外阅读时间，适宜采用抽样调查方式； D、对量子通信卫星的零部件质量情况的调查，适宜采用普查方式； 故选：D．

3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 C．四条边都相等

B．对角线互相垂直且平分 D．对角线平分一组对角

【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；

菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分． 故正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 4．把分式A．不变

中的x和y都扩大3倍，分式的值（ ）

B．扩大3倍

C．缩小3倍

D．扩大9倍

【分析】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得

＝

故选：B．

5．已知x﹣＝3，则4﹣x2+3x的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

＝3×

，

【分析】解：两边同时乘以x即可求出答案． 解：由于x≠0， ∵x﹣＝3， ∴x2﹣1＝3x， ∴x2﹣3x＝1， ∴原式＝4﹣（x2﹣3x） ＝4﹣1 ＝3， 故选：C．

6．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④∠APB的大小．其中随点P的移动不会变化的是（ ）

A．①② B．②④ C．①③ D．①④

【分析】求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①③，根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断②④．

解：∵A、B为定点， ∴AB长为定值，

∵点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN＝AB为定值，∴①正确； ∵点A，B为定点，定直线l∥AB， ∴P到AB的距离为定值， ∴③正确；

当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴△PAB的周长发生变化，∴②错误； 当P点移动时，∠APB发生变化，∴④错误； 故选：C．

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7．对于分式

有意义，则x应满足的条件是 x≠3 ．

【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解不等式即可． 解：由题意得：x﹣3≠0， 解得x≠3， 故答案为：x≠3．

8．某学校为了解七年级12000名学生体质健康情况，从中抽取了500学生进行测试，在这个问题中，样本容量是 500 ．

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、

样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 解：从中抽取了500学生进行测试，在这个问题中，样本容量是500， 故答案为：500．

9．已知在一个样本中，40个数据分别在4个组内，第一、二、四组数据的频数分别为5，12，8，则第三组的频率为

．

【分析】根据频数的和等于样本数，可得第三组的频数，根据频率公式，可得答案． 解：第三组的频数为40﹣5﹣12﹣8＝15， 第三组的频率为故答案为：．

10．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是 ①③ ． ①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同 ②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为

③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定 ④连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．

解：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，故本选项正确； ②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数更接近；故本选项错误；

③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定；故故本选项正确；

④连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率可能是，故本选项错误．

故答案为：①③．

11．袋子中装有1个红球、2个黄球和3个蓝球（它们除颜色外都相同），从袋中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是

．

＝，

【分析】由题意可得，共有6种可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是黄球的有2

种情况，利用概率公式即可求得答案．

解：∵袋子中装有1个红球、2个黄球和3个蓝球（它们除颜色外都相同），从袋中任意摸出一个球有6种等可能结果， 其中摸出的球是黄球的结果有2种，

∴从袋中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是2÷6＝． 故答案为：．

12．已知在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是 110 °． 【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案． 解：∵平行四边形ABCD， ∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝140°， ∴∠A＝∠C＝70°， ∴∠B＝110°， 故答案为110．

13．顺次连接平行四边形各边中点的图形为 平行四边形 ．

【分析】可连接平行四边形的对角线，然后利用三角形中位线定理进行求解． 解：如图；四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是▱ABCD四边的中点． 连接AC、BD；

∵E、F是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线； ∴EF∥AC；

同理可证：GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG； ∴四边形EFGH是平行四边形．

故顺次连接平行四边形各边中点的图形为平行四边形． 故答案为：平行四边形．

14．如图，▱ABCD的周长为10cm，对角线AC＝3cm，则△ABC的周长为 8cm ．

【分析】由平行四边形的性质和周长得AB+BC＝5cm，而AC已知，则△ABC的周长就可求出．

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为10cm， ∴AB+BC＝5cm，

∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+3＝8（cm）． 故答案为：8cm．

15．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则线段EF＝

．

【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OB，证明EF是△AOB的中位线，即可得出结果．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，OB＝BD，AD＝BC＝12， ∴BD＝∴OB＝

，

＝

＝13，

∵点E、F分别是AB、AO的中点， ∴EF是△AOB的中位线， ∴EF＝OB＝故答案为：

．

；

16．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 1或 ．

【分析】直接解分式方程，再利用当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案． 解：去分母得： x﹣3a＝2a（x﹣3）， 整理得：（1﹣2a）x＝﹣3a，

当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝； 当1﹣2a≠0时，x＝则a＝1，

故关于x的分式方程故答案为：1或．

三、解答题（共9小题，共68分） 17．（1）计算（2）解方程

＝2a无解，则a的值为：1或． ＝3时，分式方程无解，

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：（1）原式＝＝＝＝＝

；

﹣

（2）去分母得：1＝3x﹣1+4， 解得：x＝﹣，

经检验x＝﹣是分式方程的解．

18．先化简，再求值：（1﹣数作为x代入求值．

），从﹣3＜x＜3的范围内选一个合适的整

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3＜x＜3中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 解：（1﹣

）

＝＝＝

，

∵x+3≠0，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x≠﹣3，x≠±2， ∵﹣3＜x＜3， ∴x可以为﹣1，0，1， 当x＝0时，原式＝

＝﹣．

19．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．求证：BE＝DF．

【分析】将结论涉及的线段BE和DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，即可得出结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC． ∴∠BAE＝∠DCF． 在△AEB和△CFD中，

，

∴△AEB≌△CFD（SAS）． ∴BE＝DF．

20．某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，试用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．于是，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．求这种衬衫原进价为每件多少元？

【分析】设这种衬衫原进价为每件x元，则第二次的进价为（x+4）元，根据数量关系列出分式方程，然后求解即可得出答案．

解：这种衬衫原进价为每件x元，则第二次的进价为（x+4）元，根据题意得：

×2＝

解得：x＝40，

经检验：x＝40是原方程的解， 答：这种衬衫原进价为每件40元．

21．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是中线． 求证： BO＝AC ． 证明：

，

【分析】根据矩形的判定定理证明四边形ABCD是矩形，根据矩形的对角线相等证明结论．

解：求证：BO＝AC， 故答案为：BO＝AC．

证明：如图，延长BO到D，使得OD＝OB．

∵BO是中线， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝2OB， 即BO＝AC．

22．初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了 560 名学生；

（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 54 度； （3）请将条形统计图补充完整；

（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“思考”的初三学生约有多少人？

【分析】（1）根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是40%，即可求得抽查的总人数；

（2）利用360乘以对应的百分比即可求解；

（3）利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出条形统计图；（4）利用6000乘以对应的比例即可．

解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），故答案是：560；

（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360× ＝54°，故答案是：54；

（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．

；

（4）在试卷评讲课中，“思考”的初三学生约有：6000×＝1800（人）．

23．我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表． 图形的变化 平移

（1） AB＝A′B′，AB∥A′B′

示例图形

与对应线段有关的结论

与对应点有关的

结论 AA′＝BB′ AA′∥BB′

轴对称

（2） AB＝A′B′；对应线段AB和A′ （3） l垂直平 B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l

上．

分AA′

旋转

AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所 （4） OA＝

在的直线相交所成的角与旋转角相等或互OA′，∠AOA′补．

【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据轴对称的性质即可得到结论； （3）同（2）；

（4）由旋转的性质即可得到结论．

解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB＝A′B′，AB∥A′B′；

＝∠BOB′

（2）轴对称的性质：AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．

（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为：l垂直平分AA′． （4）OA＝OA′，∠AOA′＝∠BOB′．

故答案为：（1）AB＝A′B′，AB∥A′B′；（2）AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，l垂直平分AA′；OA＝OA′，交点在对称轴l上．；（3）（4）∠AOA′＝∠BOB′．

24．如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ． （1）求证：△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由； （3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BECD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【分析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到AD＝AC，利用HL即可证得结论；（2）利用（1）的结论，结合条件可证得△AOP≌△ADP，进一步可求得∠PAQ＝45°，再结合全等可求得PQ＝OP+CQ；

（3）利用矩形的性质可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标． 【解答】（1）证明：

∵正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF， ∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，

在Rt△ADQ和Rt△ACQ中

∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）； （2）解：

∵△ACQ≌△ADQ，

∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ， 在Rt△AOP和Rt△ADP中

∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL）， ∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD， ∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝45°，

PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；

（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，

∠DAC+

∠DAO＝

（∠DAC+∠DAO）＝

∠OAC＝

若四边形BECD为矩形，则BQ＝EQ＝CQ＝DQ， ∵BC＝8， ∴BQ＝CQ＝4，

设P点坐标为（x，0），则PO＝x， ∵OP＝PD，CQ＝DQ， ∴PD＝x，DQ＝4，

在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x， ∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，

∴P点坐标为（，0）．

25．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：

；

（1）下列分式中，属于真分式的是 ④ （填序号）； ①

②

③

④

（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝ 2+ ；若假分式

的值为正整数，则整数a的值为 1或3或﹣2 ； （3）请你写出将假分式

化成整式与真分式的和的形式的完整过程．

【分析】（1）根据真分式的定义判断；

（2）仿照题目给出的方法化为整式与真分式的和，根据有理数的除法法则求出a； （3）根据平方差公式把分子变形，根据分式的混合运算法则计算即可． 解：（1）∴

的分子整式的次数小于分母整式的次数，

是真分式，

故答案为：④；

（2）假分式

＝＝2+，

的值为正整数，则整数a为1或3或﹣2，

；1或3或﹣2；

＝

＝2a+2+

．

故答案为：2+（3）

＝