第 1 讲 机械振动与机械波
典题再现
1.(2020·山东等级考模拟)某一列沿 x 轴传播的简谐横波，在 t
T
＝ 时刻的波形图如图所示，P、Q 为介质中的两质点，质点 P 正 4
在向动能增大的方向运动．下列说法正确的是(
A.波沿 x 轴正方向传播
)
T
B.t＝ 时刻，Q 比 P 的速度大
4 3T
C.t＝ 时刻，Q 到达平衡位置
4 3T
T
解析：选 D.由质点 P 向动能增大的方向运动，则 t＝ 时 P 点向
4
平衡位置运动，即运动方向向下，可得该波沿 x 轴负方向传播，故
D.t＝ 时刻，P 向 y 轴正方向运动
4
T
A 错误；图示 t＝ 时刻 Q 点处在波谷，速度为 0，小于 P 点的速
4 3T
度，故 B 错误；t＝ 时刻，移动波形图可知此时 Q 点位于波峰，P 点在平衡位置下方，如
4
图中虚线部分，此时 P 点向 y 轴正方向振动，故 D 正确，C 错误.
考情分析
典题再现
T
2.(2019·高考全国卷Ⅰ)一简谐横波沿 x 轴正方向传播，在 t＝ 时刻，该波的波形图如图
2
(a)所示，P、Q 是介质中的两个质点．图(b)表示介质中某质点的振动图象．下列说法正确的 是(
)
A.质点 Q 的振动图象与图(b)相同
B.在 t＝0 时刻，质点 P 的速率比质点 Q 的大 C.在 t＝0 时刻，质点 P 的加速度的大小比质点 Q 的大 D.平衡位置在坐标原点的质点的振动图象如图(b)所示 E.在 t＝0 时刻，质点 P 与其平衡位置的距离比质点 Q 的大
T
解析：t＝ 时刻，题图(b)表示介质中的某质点从平衡位置向下振动，而题图(a)中质点 Q
2
T
在 t＝ 时刻从平衡位置向上振动，平衡位置在坐标原点的质点从平衡位置向下振动，所以质
2
点 Q 的振动图象与题图(b)不同，平衡位置在坐标原点的质点的振动图象如题图(b)所示，选 项 A 错误，D 正确；在 t＝0 时刻，质点 P 处在波谷位置，速率为零，与其平衡位置的距离 最大，加速度最大，而质点 Q 运动到平衡位置，速率最大，加速度为零，即在 t＝0 时刻， 质点 P 的速率比质点 Q 的小，质点 P 的加速度比质点 Q 的大，质点 P 与其平衡位置的距离 比质点 Q 的大，选项 B 错误，C、E 正确.
答案：CDE 考情分析
命题研究
从近年的高考全国卷试题可以看出，机械波的波长、波速和频率(周期)的关系是高考热 点．山东模考对本部分的考查与全国卷类似，只是题型是四选一，在备考过程中要重视对波 速和频率(周期)的关系的复习
1．必须理清的知识联系
振动与波动的综合应用 【高分快攻】
2．巧解波动图象与振动图象综合问题的基本方法
3．波的多解问题的分析思路
【典题例析】
(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长为 l 的细绳下方悬挂一小球 a，绳的另
3
一端固定在天花板上 O 点处，在 O 点正下方 l 的 O′处有一固定细铁钉．将小
4 球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为 2°)后由静止释放，并从释放 时开始计时．当小球 a 摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡．设小球相对 于其平衡位置的水平位移为 x，向右为正．下列图象中，能描述小球在开始一 个周期内的 x－t 关系的是(
)
[解析] 由单摆的周期公式 T＝2π
L
可知，小球在钉子右侧时，振动周期为在左侧时振 g
动周期的 2 倍，所以 B、D 项错误．由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离 最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水 平位移不同，当小球在右侧摆动时，最大水平位移较大，故 A 项正确，C 项错误．
[答案] A
【题组突破】
角度 1 图象问题
1．一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点 a、b、c，则(
)
A．此刻 a 的加速度最小 B．此刻 b 的速度最小
C．若波沿 x 轴正方向传播，此刻 b 向 y 轴正方向运动 D．若波沿 x 轴负方向传播，a 比 c 先回到平衡位置
解析：选 C.由波动图象可知，此时质点 a 位于波峰处，根据质点振动特点可知，质点 a 的加速度最大，故 A 错误，此时质点 b 位于平衡位置，所以速度为最大，故 B 错误，若波沿
x 轴正方向传播，由“上下坡法”可知，质点 b 向 y 轴正方向运动，故 C 正确，若波沿 x 轴 负方向传播，由“上下坡法”可知，a 质点沿 y 轴负方向运动，c 质点沿 y 轴正方向运动，所 以质点 c 比质点 a 先回到平衡位置，故 D 错误．
角度 2 多解性、周期性问题
2．(2019·菏泽段考)一列简谐横波的波形如图所示，实线表示 t1＝0 时刻的波形图，虚线 表示 t2＝0.01 s 时刻的波形图．
T
(1)若 t2－t1＜ ，求波的传播方向和周期 T；
2
(2)若 2T＞t2－t1＞T，波速可能为多大？
T 解析：(1)若 t2－t1＜ ，则波向右传播，
2
T
且 t2－t1＝ ，所以 T＝4(t2－t1)＝0.04 s.
4
(2)若 2T＞t2－t1＞T，则有两种可能：
x1 10
①若波向右传播，则 v＝ ＝ m/s＝1 000 m/s.
21t－t 0.01
8＋6 2
②若波向左传播，则 v＝ x＝ m/s＝1 400 m/s.
21t－t 0.01 答案：(1)波向右传播 0.04 s
(2)波向右传播，1 000 m/s 波向左传播，1 400 m/s
1．判断波的传播方向和质点振动方向的方法 (1)特殊点法； (2)微平移法(波形移动法)． 2．周期、波长、波速的计算
(1)周期：可根据质点的振动情况计算，若 t 时间内，质点完成了 n 次(n 可能不是整数)全
t λ
振动，则 T＝ ；还可根据公式 T＝ 计算．
n v
l
(2)波长：可根据波形图确定，若 l 的距离上有 n 个(n 可能不是整数)波长，则 λ＝；也
n
可根据公式 λ＝vT 计算．
x λ
(3)波速：可根据波形传播的时间、距离计算 v＝ ；也可根据公式 v＝ 计算．
t T
3．利用波传播的周期性、双向性解题
(1)波的图象的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目的解 答出现多解的可能．
(2)波传播方向的双向性：在题目未给出波的传播方向时，要考虑到波可沿 x 轴正向或负 向传播的两种可能性．
实验：用单摆测量重力加速度的大小
【典题例析】
在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于 5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆 球应是经过最
(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所
用的时间，求出周期．图甲中停表示数为一单摆全振动 50 次所用的时间，则单摆振动周期 为
．
(2)用最小刻度为 1 mm 的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示．O 为悬挂点，从图乙中 可知单摆的摆长为
m.
. (4)考虑到单
(3)若用 L 表示摆长，T 表示周期，那么重力加速度的表达式为 g＝ 摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相
反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球 的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的
[解析] (1)摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时；图甲中停表的示数为 1.5 min＋12.5 s＝102.5 s，则周期
102.5
s＝2.05 s.
50
(2)从悬点到球心的距离即为摆长，可得 T＝ L＝0.997 0 m.
．
L
(3)由单摆周期公式 T＝2π 可得
g
4π2L g＝ .
T2
(4)由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力 加速度减小，因而振动周期变大，选项 A 正确．
4π2L [答案]
(1)低 2.05 s (2)0.997 0(0.997 0～0.998 0 均可) (3) (4)A
2 T
某小组在做“用单摆测定重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的
轻质细线改为刚性重杆．通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期 T＝2π
Ic＋mr2
，式中 Ic 为由该摆决定的常量，m 为摆的质量，g 为重力加速度，r 为转轴到重心 C mgr
的距离．如图甲，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴 O 上，使杆做简谐运动，测量并记录 r 和相应的运动周期 T；然后将不同位置的孔穿在轴上重 复实验，实验数据见表，并测得摆的质量 m＝0.50 kg.
r/m T/s 0.45 2.11 0.40 2.14 0.35 2.20 0.30 2.30 0.25 2.43 ． 0.20 2. (1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示 (2)Ic 的国际单位为 位)．
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度 g 的测量值 “不变”)．
， 由拟合直线得到 Ic 的值为 (保 留到小数点后两
(选填“偏大”“偏小”或
4π2Ic 4π2 Ic＋mr2 解析：(1)由 T＝2π ，可得 T2r＝ ＋ r2，所以图中纵轴表示 T2r.
mgr mg g
(2)Ic 单 位 与 mr2 单 位 一 致 ， 因 为 mr2 的 国 际 单 位 为 kg· m2， 所 以 Ic 的 国 际 单 位 为 kg·m2；
4π2Ic 4π2 2
＋ r和题图中的截距和斜率，解得 Ic 的值约为 0.17. mg g
4π2
(3)重力加速度 g 的测量值是通过求斜率 得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量
g 结合 T2r＝ 值偏大，重力加速度 g 的测量值不变．
答案：(1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变
(建议用时：35 分钟)
一、单项选择题
1．(2019·高考全国卷Ⅲ，改编)水槽中，与水面接触的两根相同细杆固定在同一个振动 片上．振动片做简谐振动时，两根细杆周期性触动水面形成两个波源．两波源发出的波在水 面上相遇，在重叠区域发生干涉并形成了干涉图样．关于两列波重叠区域内水面上振动的质 点，下列说法不正确的是( )
A．同一质点处，两列波的相位差不随时间变化 B．不同质点振动的频率都相同 C．不同质点振动的相位都相同 D．不同质点振动的周期都与振动片的周期相同
解析：选 C.同一质点到两波源的距离确定，故波程差恒定，即相位差保持不变，A 正 确；沿波的传播方向上，波不停地向外传播，故各质点的相位不都相同，C 项错误；两波源 振动频率相同，其他各质点均做受迫振动，故频率均与振源频率相同，周期均与振动片的周 期相同，B、D 项正确．
2．(2018·高考北京卷)如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q 两质点平衡位置相距 0.15 m．当 P 运动到上方最大位移处时，Q 刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可 能是( )
A．0.60 m C．0.20 m
B．0.30 m D．0.15 m
λ 解析：选 B.由题意，P、Q 两点之间的距离为 ＋nλ＝0.15 m，n＝0，1，2，…，故 n＝
2
0 时，λ＝0.30 m，n＝1 时，λ＝0.10 m，选项 B 正确，其余选项错误．
3．(2019·高考天津卷，改编)一列简谐横波沿 x 轴传播，已知 x 轴上 x1＝1 m 和 x2＝7 m 处质点的振动图象分别如图 1、图 2 所示，则此列波的传播速率可能是( )
A．7 m/s C．1.5 m/s
B．2 m/s D．1 m/s
解析：选 B.由两质点的振动图象可知，t＝0 时刻，x1＝1 m 处的质点处在平衡位置向下
运动，x2＝7 m 处的质点位于波峰处，该波的传播周期为 T＝4 s．若该简谐横波沿 x 轴正方向 1 24 传播，则两质点间的距离为(n＋ )λ＝6 m(n＝0、1、2、…)，则 λ＝ m，由波速的公式
4 4n＋1
6 λ
得 v＝ ＝ m/s(n＝0、1、2、…)，n＝0 时，v＝6 m/s；n＝1 时，v＝1.2 m/s；n＝2 时，
T 4n＋1 2 3
m/s.若该简谐横波沿 x 轴负方向传播，则两质点间的距离为(n＋ )λ＝6 m(n＝0、1、 v＝ 4 3
24 λ 6
m/s(n＝1、2、…)，n＝0 时，v＝2
2、…)，则 λ＝ m，由波速的公式得 v＝ ＝
4n＋3T 4n＋3
6
m/s；n＝1 时，v＝ m/s，B 正确，A、C、D 错误．
7
4．(2018·高考全国卷Ⅲ，改编)一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，在 t＝0 和 t＝0.20 s 时 的波形分别如图中实线和虚线所示．已知该波的周期 T＞0.20 s．下列说法正确的是(
)
A．波速为 0.80 m/s B．波长为 0.08 m
C．x＝0.08 m 的质点在 t＝0.70 s 时位于波谷 D．x＝0.08 m 的质点在 t＝0.12 s 时位于波谷
解析：选 C.根据波形图可知，波长 λ＝16 cm＝0.16 m，选项 B 错误；根据 t＝0 时刻和 t
λ
＝0.20 s 时刻的波形图和该波的周期 T>0.20 s 可知，该波的周期 T＝0.40 s，波速 v＝ ＝0.40
T
m/s，选项 A 错误；简谐波沿 x 轴正方向传播，x＝0.08 m 的质点在 t＝0 时刻沿 y 轴正方向振 动，在 t＝0.70 s 时位于波谷，在 t＝0.12 s 时位于 y>0 的某位置(不是位于波谷)，选项 C 正 确，D 错误．
5．(2019·烟台模拟)如图甲所示，O、P 为介质中的两点，O 为波源，OP 间距为 6 m．t ＝0 时刻 O 点由平衡位置开始向上振动，向右产生沿直线传播的简谐横波，图乙表示 t＝0 时 刻开始 P 点振动的图象．则以下说法不正确的是( )
A．该波的波长为 12 m B．该波的波速为 2 m/s C．该波的周期为 4 s
D．从开始振动到 t＝10 s，质点 P 经过的路程为 1.6 m
解析：选 B.由图乙所示的 P 点振动的图象可知波动周期为 T＝4 s，选项 C 正确；波动从
λ O 传播到 P 点需要时间为 2 s(半个周期)，OP＝ ，该波的波长 λ＝12 m，该波的波速为 v＝
2
λ
＝3 m/s，选项 A 正确，B 错误；从开始振动到 t＝10 s，质点 P 振动了 8 s，两个周期，经 T
过的路程为 s＝2×4A＝2×4×0.2 m＝1.6 m，选项 D 正确．
6．(2019·黄山一模)如图甲为一列简谐横波在 t＝0 时刻的波形图，P 是平衡位置在 x＝ 1.0 m 处的质点，Q 是平衡位置在 x＝4.0 m 处的质点，图乙为质点 Q 的振动图象，则下列说 法正确的是(
)
A．这列波的波长是 8 m，周期是 0.2 s，振幅是 10 m B．在 t＝0 时，质点 Q 向 y 轴负方向运动
C．从 t＝0.1 s 到 t＝0.25 s，该波沿 x 轴正方向传播了 6 m D．从 t＝0.1 s 到 t＝0.25 s，质点 P 通过的路程为 30 cm
解析：选 C.由图象可知，这列波的波长是 8 m，周期是 0.2 s，振幅是 10 cm，选项 A 错 误；由 Q 点的振动图象可知，在 t＝0 时，质点 Q 向 y 轴正方向运动，可知波向 x 轴正方向 m/s＝40 m/s，从 t＝0.1 s 到 t＝0.25 s，该波沿 x 轴正 传播，选项 B 错误；波速 v＝ ＝
T 0.2
3
方向传播了 x＝vt＝40×0.15 m＝6 m，选项 C 正确；从 t＝0.1 s 到 t＝0.25 s 经历了 0.15 s＝ 4 T，但是因 P 点开始不是从平衡位置或者最高点最低点开始振动，则质点 P 通过的路程不等 于 3A＝30 cm，选项 D 错误．
二、非选择题
7．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的 DIS 系统较准确地探究了“单摆的周期 T 与摆长 l 的关系”，他们通过校园网交换实验数据， 并由计算机绘制了 T2－l 图象，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是 (选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了 a、b 两个摆球的
* 8
la
振动图象(如图乙所示)，由图可知，两单摆摆长之比方向是
．
＝
lb．在 t＝1 s 时，b 球振动的
4π2 4π2 l 2解析：由单摆的周期公式 T＝2π 得：T＝ l，即图象的斜率 k＝ ，重力加速度 g g g 越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果
la 4 l 对应的图线是 B；从题图乙可以得出 Tb＝1.5Ta，由 T＝2π 知，两单摆摆长之比 ＝ ；从
g lb 9
题图乙可以看出，t＝1 s 时 b 球正在向负最大位移处运动，所以 b 球的振动方向沿 y 轴负方 向．
答案：B
4 9
沿 y 轴负方向
