初中数学培优专题学习专题14 一次方程组

专题14 一次方程组

阅读与思考

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消元将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法． 解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等），需观察方程组的系数特点，从整体上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为a1xb1yc1的形式，方程组的解由

a2xb2yc2a1,b1,c1,a2,b2,c2的取值范围确定，当a1,b1,c1,a2,b2,c2的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本

思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．

例题与求解

【例1】 若m使方程组xy2的解x，y的和为6，则m＝______________．

x2ym (湖北黄冈市竞赛试题)

解题思路：用含m的式子分别表示x，y，利用x＋y＝6的关系式，求解m．

5x22y2z2 【例2】 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz0）．则代数式2的值等于 ( )

2x3y210z2 A．119 B． C．－15 D．－13 22(全国初中数学竞赛试题)

解题思路：把z当作常数，解关于x，y的方程组．

【例3】 解下列方程组．

xyz （1）456

2x3y4z3（“缙云杯”邀请赛试题）

（2）1995x1997y59

1997x1995y7987（北京市竞赛试题）

x1x2x2x3x3x4x1997x1998x1998x19991（3）

xxxx19991998199912（“华罗庚金杯”竞赛试题）

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解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整体叠加．

ax2y1a【例4】 已知关于x，y的方程组分别求出a 为何值，方程组的解为：

2x2(a1)y3 （1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论．

【例5】已知正数a，b，c，d，e，f满足

bcdefacdefabdefabcef14，9，16，， abcd4abcdf1abcde1．求(abe)(bdf)的值． ，f16e9（“CADIO”武汉市竞赛试题）

解题思路：利用叠乘法求出abcdef的值．

【例6】已知关于x，y的二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解．

（1）求出这个公共解．

（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a－3）x＋（2a－5）y＋6－＝0的解．

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

解题思路：分别令a取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解．

能力训练

A级

1． 若3x3m5n94y4m2n12是关于x，y的二元一次方程，则

m的值等于______. n（“希望杯”邀请赛试题）

2． 方程组23x17y63，的解为____________.

17x23y57（辽宁省中考试题）

3． 已知方程组ax5y154xby2①由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x＝－3，y＝－ ②初中数学培优专题学习

1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x＝5，y＝4．若按正确的a，b计算，则原方程组的解为___________.

（四川省联赛试题）

4． 已知关于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有无穷多个解，则a＝ ，b＝________.

（“希望杯”邀请赛试题）

5．已知(x3yxy4)2(2)20，则有( )． 232A. x＝2，y＝3 B. x＝－6，y＝3

C. x＝3，y＝6 D. x＝－3，y＝6

6．如果方程组 A.3x2y6的解也是方程4x＋y＋2a＝0的解，那么a的值是 ( )．

3x2y29191 B.  C. －2 D. 2

63 7．设非零实数a，b，c满足 A.a2b3c0abbcca，则2的值为( )． 22abc2a3b4c011 B.0 C. D. 1 22（2013年全国初中数学竞赛试题）

8．若方程组2a3b13a8.32(x2)3(y1)13的解为则方程组 的解为( )．

3a5b30.9b1.23(x2)5(y1)30.9x6.3x10.3 D． y2.2y0.2（山东省枣庄市中考试题）

A. x8.3x10.3 B.  C.

y2.2y1.2

9．已知关于x，y的方程组2x3y2k1的解x，y的值的和为6，求k的值．

3x2y4k3 （上海市竞赛试题）

10．解方程组． （1）361x463y102

463x361y102（云南省昆明市竞赛试题）

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211x16y3（2）

1112x22y1（浙江省竞赛试题）

xy7（3）

2x3y1

11．若x1~x5满足下列方程组

2x1x2x3x4x56x2xxxx1212345x1x22x3x4x524，求3x42x5的值． xxx2xx4834512x1x2x3x42x596（美国数学邀请赛试题）

B级

1．已知对任意有理数a，b，关于x，y的二元一次方程(ab)x(ab)yab有一组公共解， 则公共解为______.

（江苏省竞赛试题）

2．设2xy3z23，则3x－2y＋z＝ ．

x4y5z36（2013年全国初中数学竞赛试题）

3．若关于x，y的方程组6xmy18有自然数解，则整数m可能的值是 ．

3xy0（2013年浙江省湖州市竞赛试题）

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4． 已知方程组(a1)xy5，当a ，b 时，方程组有唯一一组解；当

xyba ，b 时，方程组无解；当a ，b 时，方程组有无数组解．

（“汉江杯”竞赛试题）

5．“△”表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，如果x△（1△3）＝2，则x＝ ( )．

A.1 B.

13 C. D．2 22（江苏省竞赛试题）

6．已知

x2y135，则的值为( )．

2yzxyzzxA.1 B.

331 C.  D． 242（重庆市竞赛试题）

ax2by23ax5by97．已知关于x，y的两个方程组和具有相同的解，那么a，b的值是

3xy112xy7( )．

A. a3 B. b2a2 C. b3a2a3 D． b3b28．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值

是( )．

A. －1 B. －5 C.0 D．1

（全国初中数赛试题）

9．解方程组

xy1（1）

x2y3（江苏省竞赛试题）

ab1bc2（2）cd3

de4ea6（上海市竞赛试题）

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10．已知

ab1bc1ca1abc，求的值． ，，ab15bc17ca16abbcca（山西省太原市数学竞赛试题）

11．已知x1，x2，x3，…，xn中每一个数值只能取－2，0，1中的一个，且满足求的值x1＋x2＋

x3＋…＋xn＝－17，x12＋x22＋x3＋…＋xn＝37．求x13＋x23＋…＋xn的值．

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

12．已知k是满足1910k2010的整数，并且使二元一次方程组这样的整数k有多少个？

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

2235x4y7有整数解，问：

4x5yk