中考数学练习试题及答案
22．（9分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN． （1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）证明△AB′M≌△AD′N（SAS），推出∠B′AM＝∠D′AN，即可解决问题．
（2）证明△AEB′≌△AGD′（AAS），推出EB′＝GD′，AE＝AG，再证明△AHE≌△AHG（SAS），推出EH＝GH，推出B′D′＝2，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形， ∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′， ∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°， ∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形， ∵MN∥B′D′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°， ∴△C′MN是等边三角形， ∴C′M＝C′N， ∴MB′＝ND′，
∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN，
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∵∠CAD＝∠BAD＝30°，
∠DAD′＝15°， ∴α＝15°．
（2）∵∠C′B′D′＝60°， ∴∠EB′G＝120°， ∵∠EAG＝60°，
∴∠EAG+∠EB′G＝180°， ∴四边形EAGB′四点共圆， ∴∠AEB′＝∠AGD′，
∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′， ∴△AEB′≌△AGD′（AAS）， ∴EB′＝GD′，AE＝AG， ∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG， ∴△AHE≌△AHG（SAS）， ∴EH＝GH，
∵△EHB′的周长为2，
∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2， ∴AB′＝AB＝2， ∴菱形ABCD的周长为8．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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