江苏省七市2020～2021学年高三模拟考试卷数学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1－
1. 设集合A＝{x|log2(x－1)≤1}，B＝{x21x≥}，则A∩B＝( )
2A. (－∞，2] B. [1，2] C. (1，2] D. (1，3]
2
2. 已知复数z＝＋3i，则|z|＝( )
1＋iA. 5 B. 5C. 17D. 3＋2 3. 设a＝3，b＝log43，c＝4，则( )
44A. c>b>a B. a>c>b
C. c>a>b D. a>b>c
π→→
4. 已知点A(1，1)，B(7，5)，将向量AB绕点A逆时针旋转得到AC，则点C的坐标为( )
2A. (5，－5) B. (3，－7) C. (－5，5) D. (－3，7)
5. “角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是( )
A. 32 B. 16 C. 5 D. 4
x2y2
6. 已知双曲线E: 2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的
ab左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为( )
A. 3B. 5C. 7D. 7
7. 在数1和3之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成等差数列，将这n＋2个数的和
bn＋1
的前7和为( ) 记为bn，则数列log3
bn
1
1
A. 3 B. log378 C. 5 D. log38
8. 已知函数f(x)＝21n x－x2ex＋1.若存在x0>0，使f(x0)≥ax0，则a的最大值为( ) A. 0 B. －1 C. 1－e D. 1－e2
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
→→→
9. 在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a, AC＝b，则|AM|＝( ) 11
A. |a－b|B. |a＋b| 22
C.
1122
2（a2＋b2）－（a－b）2D. a＋b 22
1
10. 在(2x2－)6的展开式中，下列说法正确的是( )
x
A. 各项系数和为1 B. 第2项的二项式系数为15 C. 含x3项的系数为－160 D. 不存在常数项
11. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感来源于曲线C：|x|n＋|y|n＝1，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C关于原点成中心对称
B. 当n＝－2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2 C. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为π D. 当n>0时，曲线C所围成图形的面积小于4
π
12. 已知菱形ABCD的边长为2, ∠ABC＝，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，
3连接BD′.设二面角D′ACB的大小为θ，则下列说法正确的是( )
π
A. 若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝
3B. 四面体D′ABC的体积最大值为1
C. 四面体D′ABC的表面积最大值为2(3＋2) 2π21
D. 当θ＝时，四面体D′ABC的外接球的半径为
33三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
5
13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝6，cos B＝，则sin
13A＝__________．
14. 为了解某小区居民的家庭年收入x(万元)与年支出y(万元)的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y＝bx＋a．已知x＝20, y＝16，b＝0.76.若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为__________万元．
15. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则直1
线y＝x与函数y＝f(x)的图象的交点的个数为________．
5
5－1AD
16. 若矩形ABCD满足＝，则称这样的矩形为黄金矩形，现有如图①所示的黄金
AB2矩形卡片ABCD，已知AD＝2x，AB＝2y，E是CD的中点，EF⊥CD，FG⊥EF，且EF＝FG
＝x，沿EF，FG剪开，用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图②所示的几何模型．若连接这个几何模型的各个顶点，便得到一个正________面体；若y＝2，则该正多面体的表面积为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝35，且a1，a4－1，a7成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an，求数列{bn}的前2n项和T2n.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝3sin (2x＋φ)(－
π
<φ<0)同时满足下列3个条件中的2个.3个条件依次是：2
π5π3
①f(x)的图象关于点(，0)对称；② 当x＝时，f(x)取得最大值；③ 0是函数y＝f(x)＋的12122一个零点．
(1) 试写出满足题意的2个条件的序号，并说明理由； (2) 求函数g(x)＝f(x)＋6cos2x的值域．
19．(本小题满分12分)
面对新一轮科技和产业带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm).
(1) 现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)；
(2) 若新机床生产的零件直径X～N(120，4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 4，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7.
20. (本小题满分12分)
如图，A是以BD为直径的半圆O上一点，平面BCD⊥平面ABD，BC⊥BD. (1) 求证：AD⊥平面ABC；
(2) 若BD＝2BC＝2，AD＝2AB，求二面角ACDB的余弦值．
21. (本小题满分12分)
5
已知圆M：x2＋(y－)2＝4与抛物线E：x2＝my(m>0)相交于点A，B，C，D，且在四边形
2ABCD中，AB∥CD.
→→15(1) 若OA·OD＝，求实数m的值；
4
(2) 设AC与BD相交于点G，△GAD与△GBC组成蝶形的面积为S，求点G的坐标及S的最大值．
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝asin2x－3x.
ππ
(1)若x＝是f(x)的一个极值点，试讨论f(x)在区间(0，)上的单调性；
32(2) 设－2≤a≤2，证明：当x≠0时，xf(x)＜0.
数学参及评分标准
1. C 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. A 8. B 9. BC 10. AC 11. ABD 12. BCD 13.
8
14. 23.6 15. 7 16. 二十 1203－4015 13
17. 解：(1) 设数列{an}的公差为d(d＞0)，则S7＝7a4＝35，即a4＝5，(1分) 所以a1＝a4－3d＝5－3d，a7＝a4＋3d＝5＋3d.
因为a1，a4－1，a7成等比数列，所以(a4－1)2＝a1a7， 即42＝(5－3d)(5＋3d)，解得d＝－1(舍去)或d＝1，(3分) 所以an＝n＋1.(5分)
(2) 因为bn＋bn＋1＝an，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝a1＋a3＋…＋a2n－1(8分) ＝
n（2＋2n）2
＝n＋n.(10分) 2
18. 解：(1) 满足题意的2个条件的序号为①③.(1分) π
由条件①知，3sin (2×＋φ)＝0，
12
ππ
所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z).
126ππ
因为－＜φ＜0，所以φ＝－.(3分)
265π
由条件②知，3sin (2×＋φ)＝3，
125ππ
所以2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
122π
即φ＝2kπ－(k∈Z).
3
ππ
因为－＜φ＜0，所以φ＝－.(5分)
23
π7π1
由条件③知，sin φ＝－，即φ＝2kπ－或φ＝2kπ＋(k∈Z).
266ππ
因为－＜φ＜0，所以φ＝－. 26
综上，满足题意的2个条件的序号为①③.(7分) (2) 由(1)知，f(x)＝3sin (2x－
π
)， 6
πππ1＋cos 2x
所以g(x)＝3sin (2x－)＋6cos2x＝3(sin2x cos －cos 2x sin )＋6×
6662＝
π333
sin 2x＋cos 2x＋3＝3sin (2x＋)＋3. (10分) 226
π
因为－1≤sin (2x＋)≤1，所以0≤g(x)≤6，
6
所以函数g(x)的值域为[0，6].(12分)
19. 解：(1) 由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H(4，3，10).
43C0C13C713C71
P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝4＝，
C106C102
21C2C3313C73C7
P(ξ＝2)＝4＝，P(ξ＝3)＝4＝，(4分)
C1010C1030
所以ξ的概率分布为
ξ P 0 1 61 1 22 3 103 1 301131
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.(6分)
621030nM4×3
另法：因为ξ～H(4，3，10)，数学期望E(ξ)＝＝＝1.2.(7分)
N10(2) 记“至少有一个零件直径大于124 mm”为事件A，
因为X～N(120，4)，所以μ＝120，σ＝2，(8分)
1－P（|X－μ|≤2σ）1－0.954 5
所以P(X>124)＝≈＝0.022 75，
22
所以P(X≤124)≈1－0.022 75＝0.977 25，(10分)
所以P(A)＝1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6.
答：至少有一件零件直径大于124 mm的概率为0.205 6.(12分)
20. (1) 证明：因为平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD＝BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，
所以BC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.(2分) 因为A是以BD为直径的半圆O上一点，所以AB⊥AD.(4分) 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：在平面ABD上，过点O作Oy⊥BD， 在平面BCD上，过点O作Oz∥BC，
由(1)知，BC⊥平面ABD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
13
因为BD＝2BC＝2，AD＝2AB，则A(，，0)，B(1，0，0)，C(1，0，1)，D(－1，0，
223→→3
0)，所以CD＝(－2，0，－1)，DA＝(，，0).
22
→
CD＝－2x－z＝0，m·
设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则 3→3
DA＝x＋y＝0，m·22取x＝1，则y＝－3，z＝－2，所以m＝(1，－3，－2).(9分)
因为y轴⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量n＝(0，1，0).(10分) 设二面角ACDB的平面角为θ，θ为锐角，
|1×（－3）|6m·n
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝||＝＝，
|m||n|12＋（－3）2＋（－2）24所以二面角ACDB的余弦值为
6.(12分) 4
21. 解：(1) 依据圆与抛物线的对称性，四边形ABCD是以y轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设AB5x2＋（y－2）2＝4，9联立消去x，得y2＋(m－5)y＋＝0 (*).
4
x2＝my（m>0），
Δ＝（m－5）2－9>0，
y＋y＝5－m>0，
方程(*)有互异两正根，所以
9yy＝4>0，
1
212
解得01515→→15由OA·OD＝，得x1x2＋y1y2＝，即my1y2＋y1y2＝.(3分)
4449
由y1y2＝，得m＝1.(5分)
4
(2) 依据对称性，点G在y轴上，可设G(0，a).
y1－ay1－y2y1－ay1－y2y1－y2
由kAG＝kAC，得＝，所以＝＝，
x1x1＋x2m·y1m·（y1＋y2）m33
则a＝y1y2＝，即G(0，).(8分)
22
方法一：S＝S梯ABCD－(S△GAB＋S△GCD)＝(x1＋x2)(y2－y1)－[x1(a－y1)＋x2(y2－a)] ＝x1y2－x2y1＋a(x2－x1)＝m·y1y2(y2－y1)＋am(y2－y1)
＝m(y2－y1)(y1y2＋a)＝3m·y1＋y2－2y1y2＝3m（2－m）(10分) m＋（2－m）
≤3·＝3.
2
当且仅当m＝2－m，即m＝1时，S最大值为3.(12分) S33
方法二：＝S△ABD－S△ABG＝x1(y2－)＝my1(y2－)
222
333
＝m(y1y2·y2－y1)＝m(y2－y1)＝m·y1＋y2－2y1y2(10分)
222＝
333
m（5－m－3）＝－（m－1）2＋1≤，所以S≤3. 222
当且仅当m＝1时，S最大值为3.(12分)
22. 解：(1) f′(x)＝2asin x cos x－3＝asin 2x－3， 由f′(
π3
)＝a－3＝0，知a＝2，(2分) 32
所以f′(x)＝2sin 2x－3. πππ令f′(x)>0，x∈(0，)，得263ππππ
令f′(x)<0，x∈(0，)，得02632πππππ
所以f(x)在(，)上单调递增，在(0，)和(，)上单调递减．(4分)
63632(2) (i) 当0≤a≤2时，f(x)≤2sin2x－3x，设h(x)＝2sin2x－3x. ππ33
①当02323又h(0)＝0，所以h(x)<0，从而f(x)<0. π3②当x≥时，f(x)≤h(x)≤2－π<0.
22由①②知，当x>0时，f(x)<0 (a)；(6分)
当x<0时，f(x)≥－3x>0 (b).由(a)(b)得，x≠0时，xf(x)<0.(8分)
(ii) 当－2≤a<0时，
方法一：当x<0时，f(x)≥－2sin2x－3x，设g(x)＝－2sin2x－3x，g′(x)＝－2(sin2x＋πππ①当－263π33同理有g(x)极小＝g(－)＝－＋π>0，
323
ππ
又g(－)>g(－)>0，g(0)＝0，所以g(x)>0，从而f(x)>0.(10分)
23π3
②当x≤－时，f(x)≥－2＋π>0.
22
由①②得，当x<0时，f(x)>0 (c)；当x>0时，显然f(x)<0 (d).
由(c)(d)得，x≠0时，xf(x)<0.由(i)(ii)结论获证．(12分)
方法二：则0<－a≤2，则g(x)＝－asin2x－3x，满足x≠0时，xg(x)<0. 又y＝xf(x)与y＝xg(x)的图象关于y轴对称，所以x≠0时，xf(x)<0. 由(i)(ii)结论获证．(12分)
3). 2
