市级公开课：三角函数的最值问题

【教学设计思想】 （一） 学情分析

求解三角函数的最值问题是近几年高考常常出现的问题，是三角函数解答题的主要题型。解决这类问题不仅需要应用三角函数的定义域、值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变形，还常常涉及到函数、不等式、方程、解析几何等众多知识。这类问题概念性较强，具有一定的综合性和灵活性。前面学生已经掌握了三角函数的图象变换和有关性质,结合所授班级为理科平衡班,学生程度中等,差生面不大,计算能力差是班级学生特点。因此，正确理解和深入探究三角函数的最值问题对于发展学生的思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的自身素质，大有裨益。 （二） 教学思路

本节课的教学，大致按照“回顾旧知——问题导入——合作学习，问题探究——问题化归——适时反馈归纳，推陈出新——强化应用”环节进行组织．通过对具体的问题案例分析与讨论，引导学生共同探究三角函数最值问题，利用正弦函数和余弦函数的有界性；通过变换，化归为代数的函数最值问题，可用换元法、配方法等。培养学生解题的综合能力，合作探究精神。 【教学目标】

（一）知识与能力: 1、懂的化为一个角的三角函数形式，如yAsin(x)k等，利 用三角函数的有界性求解三角函数的有关最值。

2、用数形结合以及化归的思想、换元法等求三角函数的最值。 3、培养学生类比、归纳、总结、语言表达能力。

（二）过程与方法：提出问题并引导学生共同合作探究。 （三）情感态度价值观: 通过学生参与，培养学生严谨的科学态度、分析和解决问题的能力、数形结合思想以及互助合作精神，激励学生积极探索，勇于创新。 教学重点: 三角函数的有关最值问题

教学难点: 三角函数的有关最值问题的方法 课时安排：1课时

【教学模式】问题-合作-探究

【教学过程】

在前段时间的复习中我们研究了三角函数的一些基本知识，如：三角函数的图像和性质、同角三角函数的关系、两角和差的三角函数、倍角公式、积化和差、和差化积公式等。这节课我们一起来探究三角函数的最值问题，解决这类问题，不仅要用到三角中的各种知识，而且涉及到求最值的诸多方法，三角函数的最值问题是平时考试甚至是高考命题的热点。那么这节课我们来进一步学习有关三角函数的最值问题，下面先一起来回顾有关的知识点。 （一）复习回顾旧知： 1）|sinx|≤1; |cosx|≤1;

2）asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ),（a,b≠0,其中tanφ=3）sinxcosx12sinxcosx

2b）; a(二)提出问题，共同探究

问题1 如何求函数ysinxcos(x6)的最大值和最小值？

解：ysinxcosxcos当x2k6sinxsin33sinxcosx3sin(x) 62263，ymax3，当x2k2，ymin3(kZ)． 3b） a归纳： y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。 应用公式：asinx+bcosx=a2b2sin(x+φ),（a,b≠0,其中tanφ=

拓展引申：已知sinx2cosy2,如何求2sinxcosy的最大值和最小值?

解:由条件得sinx21cosy12sinxcosy43cosy2由1，有21cosysinx113cosy221又cosy1,cosy132令tcosy,则由2,3有12sinxcosy43t,其中t,1.21令ft43tt12

1易知ft在,1上是减函数,f1ft255即1ft.12sinxcosy2252sinxcosy的最大值是,最小值是1.21f,2

感悟归纳：这个问题实质也是化归为一次函数类型，用代数方法来解决，要注意三角函数的有界性

问题2如何求函数ycos2x2sinx1x7,的最大值? 66[思路]利用平方关系把余弦化为正弦，再用配方法

2[解析]y1sinx2sinx1sinx11

2令sinxt则yt11t21,1 21y在t，1上单调递减2 13当t时，ymax24归纳：这是属于二次类型,形如y=asin2x+bsinx+c型函数用换元配方法，利用二次函数的性质

来求解。

在学生初步得到方法后,教师可提出下面问题,加深学生对方法的认识与掌握

引申拓展 如何求函数ysinxcosx2sinxcosx0x的最大值和最小值？ 引导学生探究：利用(sinxcosx)12sinxcosx，可转换成一元二次函数，再应用配方法。

251[解析]设sinxcosxt,则2sinxcosx1-t,yt1tt.

422220x,t2sinx1,2.4

15当t时，ymax;当t1时,ymin1.24注:若表达式中出现sinx＋cosx，sinxcosx函数，属ysinxcosxbsinxcosx型函数；应考虑到其内在关系,沟通sinx+cosx=1和(sinx+cosx)=1+2sinxcosx之间的关系，利用换元来求函数最值.

点评：问题2及引申实质是化归成二次函数模型求解。 (三)课堂练习 若函数f(x)2

2

2

1cos2x4sin(x)2xxasincos()的最大值为2，试确定常数a的值.

22 (四)小结：

（视课堂学生完成情况，与学生共同小结，重在培养学生归纳总结能力，）

（1）对于一次类型可利用正弦函数和余弦函数（包括asinxbcosx）的有界性求三角函数的最值。

（2）对于二次类型,形如yasinxbcosxc型函数通过换元转化为具有约束条件的二次函数求最值问题。

（3）对于ysinxcosxbsinxcosx型函数也可通过换元转化二次类型。 思考题 如何求函数y2cosx3的最大值和最小值？

sinx22（五）书面作业：“优化设计”配套练习

1、设关于x的函数y2cosx2acosx(2a1)的最小值为f(a).

（1）试用a写出f(a)的表达式；

（2）试确定f(a)1的a值，并对此时的a求出y的最大值。 D 2S R C 2、如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中

AST是一半径为AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地。 一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，

求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

（六）板书设计

课题：三角函数的最值问题 复习回顾 引申拓展 书面作业 问题1 引申拓展 练习 问题2 小结 P A ╮θ M T Q B （七）教后反思