齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】 r(A)= r ,ξnr线性无关;

(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ1,ξ2,,ξnr为AX = 0的基础解系.

knrξnr为AX = 0的通解 。其中k1,k2,…, kn-r为任意常数).

称Xk1ξ1k2ξ2齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则

(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A为mn矩阵）满足r(A)n，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)n.

（注：当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于

nr(A).

2、非齐次线性方程组AXB的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AXO所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有： （1） 当mn时，r(A)mn，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量

的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当mn时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A0； （3）当mn且r(A)n时，若系数矩阵的行列式A0，则齐次线性方程组只有零解； （4）当mn时，若r(A)n，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

若r(A)n，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A为mn矩阵）通解的三步骤

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C（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. （1）A(2) 求出CX =0的基础解系ξ1,ξ2,(3) 写出通解Xk1ξ1k2ξ2

行,ξnr;

knrξnr其中k1,k2,…, kn-r为任意常数.

2x13x1【例题1】 解线性方程组4x1x13x2x2x22x2x32x33x34x35x4x46x47x40,0,0,0.

解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵

31523121 A413612474712071014 430016726000743显然有r(A)4n，则方程组仅有零解，即x1x2x3x40.

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即mn）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即mn），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：

23153121A3270，知方程组仅有零解，即x1x2x3x40.

41361247注：此法仅对n较小时方便

x13x1【例题2】 解线性方程组5x1

x22x2x24x2x3x32x33x3x4x42x43x4x53x56x5x50,0,0,0.

解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵

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13A05121411231113263111111012260122601226r1(5)r4r1(3)r2r2r1r2r3r2(1)r4(1)r2100001151226 00000000可得r(A)2n，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

x1x3x22x3x42x45x5,6x5.（其中x3，x4，x5为自由未知量）

令x31，x40，x50，得x11,x22； 令x30，x41，x50，得x11,x22； 令x30，x40，x51，得x15,x26， 于是得到原方程组的一个基础解系为

11522611，20，30.

010001所以，原方程组的通解为 Xk11k22k33（k1，k2，k3R）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（Amn,r(A)r） 用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关

c11c12c22行(Ab)c1rc2rcrrc1nd1c2nd2crndr其中 cii0(i1,2,dr100,r), 所以知

(1)dr10时,原方程组无解.

(2)dr10,rn时,原方程组有唯一解. (3)dr10,r3 / 11

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其通解为X0k1ξ1k2ξ2其中：ξ1,ξ2,

knrξnr，k1,k2,,knr为任意常数。

,ξnr为AX = b导出组AX = 0的基础解系，0为AX = b的特解，

【定理1】 如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。

【定理2】如果0是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：

0C11C22Cnrnr

其中：0是非齐次线性方程组的一个特解，1,2,,nr是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确, A为mn矩阵.

(1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解. 答:错, 因r(A)=n, r(A)= n = r(A |b)? (2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解. 答:错, 因r(A)答:错,A为mn, r(A)=m T

T

T

r(AT)=3=m.

(5)若r(A)=r =m,则AX=b必有解. 答:对,r(A)=r =m= r(A|b) .

(6)若r(A)=r =n, 则AX=b必有唯一解. 答:错,A为mn,当mn时, 可以r(A |b) =n+1.

⑴ 唯一解：r(A)r(A)n 线性方程组有唯一解

x1【例题4】 解线性方程组2x14x1x2x2x22x32x34x31,4, 2.11112112r1(2)r20326

解：A(AB)2124r1(4)r3414203464 / 11

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10011)1001r(203060102 32r32r200100010r3(4)r1r3(1)3x11,



可见r(A)r(A)3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x22,

x0.3

⑵ 无解：r(A)r(A)线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现0dr10，则原方程组无解）

2x1【例题5】解线性方程组x1x1解：

x22x2x2x3x32x31,2, 4.111122121212r1r20333r2r30333A(AB)1212r12r233631124r1(1)r30000，可见r(A)3r(A)2，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：r(A)r(A)n线性方程组有无穷多解

x1【例题6】解线性方程组2x12x1x2x2x32x32x43x410x43,1, 4.3111231112r1(2)r201275

031解：A(AB)21r12r32021040241410r22r30r21r1r2(1)0152101275 0000可见r(A)r(A)24，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

x12x3x252x35x4,7x4. （其中x3,x4为自由未知量）

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25令x30,x40,得原方程组的一个特解.

00x1x3又原方程组的导出组的同解方程组为x22x35x4,7x4.（其中x3,x4为自由未知量）

令x31，x40，得x11,x22；令x30，x41，得x15,x27，

1527于是得到导出组的一个基础解系为 1，2。

1001所以，原方程组的通解为 Xk11k22（k1，k2R）.

2x1【例题7】 求线性方程组：x1x1x22x2x2x3x32x3x4x4x41,2, 的全部解. 3.r1r21122111112r1(2)r2r1(1)r3  11233解： A(AB)12 03311121301121123341210  01121 01121

0333300636r2r3r2(3)r3r2(2)r1r2(1)r3(1)31r32r3(3)2r31231001230100

2100112可见r(A)r(A)34，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为

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3x1x4,123xx4, （其中x4为自由未知量） 221x1x4.3210令x40，可得原方程组的一个特解.

103xx4,123x4,（其中x4为自由未知量） 又原方程组的导出组的同解方程组为x221xx4.32令x42（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得x13,x23,x31，

33于是得到导出组的一个基础解系为.

12所以，原方程组的通解为 Xk （kR）.

x13x23x32x4x532x6xx3x21234【例题8】求非齐次线性方程组的全部解。

x3x2xxx1234513x19x24x35x4x55解：

12A13332131613020321110945150332130512405124051247 / 11

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10003321305124 0000000000 因为r(A)r(A)25，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x2,x4,x5， 原方程组与方程组x13x23x32x4x53同解

5x3x42x540T34取自由未知量x2,x4,x5为0，得原方程组的一个特解： 0,0,,0,0

550再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组x13x23x32x4x50同解

5x3x42x501对自由未知量x2,x4,x5分别取0,001,000，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：171355001,2 10,21535100001则原方程组的全部解为：XC11C22C330 三、证明与判断

【例题9】已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，证明1,12,123也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。

证：由已知可得：齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的

性质可知1,12,123都是AX＝0的解；因此只要证明1,12,123线性无关即可。 设存在数k1,k2,k3使

k11k2(12)k3(123)0成立。

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整理得： (k1k2k3)1(k2k3)2k330 （1）

已知1,2,3是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，即得1,2,3线性无关，则由(1)得

k1k2k30k2k30，解得：k1k2k30 所以1,12,123线性无关。 k30即1,12,123也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系。 【例题10】已知ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，若

1ξ1tξ2,2ξ2tξ3,3ξ3tξ4, 4ξ4tξ1。

讨论t满足什么条件时,1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系

解：首先，1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的解，只须证1,2,3,4线性无关.

1t由已知有：(1,2,3,4)(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)001t因为：1,2,3,4线性无关0001t0001t01t0001tt0 0101t0001tt01t4， 01t10t0， 即0010所以当t  1时, 1,2,3,4是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系

【例题11】已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且r(A)=n-1,求线性方程组AX=0的通解. 解 ：由r(A)=n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量. 又ai1ai2ain0,i1,2,,n， 即ai11ai21ain10

Xk(1,1,,1)T,（k为任意常数）为所求通解.

【例题12】设X1,X2,…, Xt 是非齐次线性方程组 AX =b0 的解向量,

证明： 对于X0=k1 X1+k2 X2+…+kt Xt

当k1 +k2+…+kt =1时, X0是AX=b的解；当k1 +k2+…+kt =0时, X0是AX=0的解. 证 ：AX0=A(k1 X1+k2 X2+…+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+…+ktAXt=k1 b+k2 b+…+ktb=(k1+k2+…+kt)b 故：当k1+k2 +…+kt=1时, AX0 =b

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当k1 +k2+…+kt =0时, AX0=0

由此可见, 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!

【例题13】已知1,2为AX的两个不同解,ξ1,ξ2是AX=0的一个基础解系.k1,k2为任意

常数. 则AX的通解为（ ） 答案B

(A)k1ξ1k2(ξ1ξ2)122. (B)k1ξ1k2(ξ1ξ2)122.

(C)k1ξ1k2(12)122. (D)k1ξ1k2(12)122.

【例题14】设1,2,3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且矩阵A的秩为3，

11,2,3,4T,230,1,2,3T，求AX＝b的通解。

解：因为A的秩为3，则AX＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。

由线性方程组解的性质得：2321(21)(31)是AX＝0的解， 则解得AX＝0的一个非零解为：23212,由此可得AX＝b的通解为：1,T3,4,5。

TT2,3,4c2,3,4,5。

【例题15】设A是4阶方阵, (≠0)是4×1矩阵, r(A)2,1,2,3,4是AX=的解,

232401且满足 12,223,334

030831试求方程组AX=的通解.

112解：先求AX=的一个特解(12)

024再求AX=的一个基础解系

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021127ξ1(12)(223)，ξ22(12)(334)

1023315因为4R(A)2,ξ1,ξ2线性无关，所以ξ1,ξ2是AX=0的一个基础解系.

故方程组AX=的通解是

102227Xk1ξ1k2ξ2k1k2， k1,k2为任意常数.

0104315【例题16】设矩阵A＝aijmn,Bbijns。

证明：AB＝0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：把矩阵B按列分块：BB1,B2,,Bs，其中Bi是矩阵B的第i列向量(i1,2,s)，

零矩阵也按列分块OmsO1,O2,,Os 则ABAB1,AB2,,ABs 必要性：AB＝0可得： ABiOi,(i1,2,,s)，即Bi是齐次方程组AX=0的解。

充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，

即有 ABiOi,(i1,2,,s)

得：ABAB1,AB2,,ABsO1,O2,,Os，即证。

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