定积分的应用

第一节 定积分在几何上的应用（1、2）

教学目的：掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积 教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元” 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 一、引入新课

回顾 曲边梯形求面积的问题

曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。

面积表示为定积分的步骤如下：

(1)把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，

第个小窄曲边梯形的面积为，则

(2)计算的近似值 .

(3)求和，得A的近似值

(4)求极限，得A的精确值

1

提示 若用取

表示任一小区间于是

上的窄曲边梯形的面积，则，并

二、新授课

1．元素法的一般步骤：

(1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；

(2)设想把区间于这小区间的部分量处的值

与

分成个小区间，取其中任一小区间并记为的近似值。如果

能近似地表示为称为量

的元素且记作

，求出相应

上的一个连续函数在，即

；

的乘积，就把

(3)以所求量的元素，即为所求量

为被积表达式，在区间的积分表达式。

上作定积分，得

这个方法通常叫做元素法。

应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。 2． 直角坐标系下的面积计算

(1) 平面图形由连续曲线yf1(x),yf2(x)及直线x=a,x=b所围成,并且在区间[a ,

2

b]上f1(x)如图6-1或如图6-2所示.

（图6--1 ） （ 图6—2）

应用 曲边梯形的面积

(2)平面图形由连续曲线

x=g1(y),xg2(y)及直线yc,yd所围成，并且在区间

[c,d]上有g1(y)g2(y)见(图6-3)

S[g1(y)g2(y)]dy.

cd（图6—3） 例1 计算由两条抛物线面积。

(1) 作图.

利用Mathematica,输入

Plot[{x0.5,x2},{x,0,1.2},AspectRatio1] 输出图形

和所围成的图形

解 两曲线的交点，

选为积分变量，

，

3

面积元素

，

例2 计算由曲线解 两曲线的交点

和所围成的图形的面积。

，

选为积分变量，

于是所求面积

说明：注意各积分区间上被积函数的形式。 问题：积分变量只能选吗？

例2 计算由曲线

的图形的面积。 解 两曲线的交点

和直线所围成

4

，

选为积分变量，

作图.利有Mathematica,输入

Plot[{(2x)0.5,(2x)0.5,x4},{x,0,8},AspectRatio1] 输出图形, 如图所示;



注意 对于同一问题,有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同,因此在实际计算时,应选取合适的积分变量,使计算简化.

例 4 计算曲线y3xx与曲线yx3所围平面图形的面积. 解 (1) 求交点的横坐标.

利用Methematica解方程3xxx3,输入

2323NSolve[3xx2x33],

输出 {{x1.61803},{x0.618034}}

(2) 作图.

作出曲线 y3xx与曲线 yx3 所围的平面图形，输出 Plot[{3+x-x2,x33},{x,2,1},PlotRange{1.7,1}]

23输出图形,如图6-6所示.

求面积.

321S1S201.618030.618034[x33(3xx2)]dx[3xx2(x33)]dx

-2-1.5-1-0.5-10.51图6--6 0输入Integrate[x33(3xx2),{x,1.61803,0}]

5

Integrate[3xx2(x33),{x,0,0.618034}]

输出1.00751 0.0758192

因此，所求面积

S=0-1.61803[x3(3xx)]dx320.6180340[3xx2(x33)]dx

1.007510.07581921.08333.

三、本节小结：

1． 微元法的实质是什么？ （ 微元法的实质仍是“和式”的极限。）

2．求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)。 四、课外作业： P116习题6—1

一、求下列各组平面图形的面积

1、与直线及。

2、与直线及

二、求抛物线积 。

及其在点和处的切线所围成的图形的面

三、求位于曲线积

下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面

6

第六章 定积分的应用（3、4）

第一节 定积分在几何上的应用（3、4）

教学目的：会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积

教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法， 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程 二、新授课

如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积

，])上

(其中和

具有连续导数，

对应曲线起点与终点的参数值)，在[，](或[连续。

例4 求椭圆解 椭圆的参数方程

的面积。

由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。

设由曲线面积。这里，

及射线在

、上连续，且

围成一曲边扇形，求其

。

面积元素

7

曲边扇形的面积

例5 求双纽线所围平面图形的面积。

解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积

，

例6 求心形线所围平面图形的面积。

例4 求两曲线 r=3cos及 r1cos所围成图形的公共部分的面积。 解 将极坐标方程改写成参数方程

x=(1+cos)cosx=3coscos  y=(1+cos)siny3cossin(1) 作图

利用Mathematica,输入

ParametricPlot[{3Cos[t]2,3Cos[Sin[t]},{t,0,2 Pi}]

ParametricPolt[{(1+Cos[t]) Cos[t],(1+Cos[t]) Sin[t]},{t,0,2Pi}]

1.5Show[%,%%,AspectRatioAutomatic] 输出图形,如图6-8所示. (2)求交点

10.5-0.5-1-1.52468输入 Solve[3 Cos[t]==1+Cos[t],t]

(图6—8)

8

输出 {{t-},{t33}}

(3)求面积.

先求第一象限的面积

 S1输入

3011(1cos)2d2(3cos)2d 232 Integrate[0.5(1+Cos[x])2,{x,0,Pi/3}]Integrate[0.5(3Cos[x])2,{x,Pi/3,Pi/2}]输出 1.9635

根据对称性,故所求面积 S=2S121.96353.927.

例 5 求由曲线r=2sin,r2cos2所围图形公共部分的面积.

解 将极坐标方程改写成参数方程为

x2sincosxcos2cos  

y2sinsinycos2sin(1) 作图.

利用Mathematica,输入

ParametricPlot[{2(1/2)Sin[t]Cos[t],2(1/2)Sin[t]Sin[t]},{t,0,2Pi}]Parametricplot[{Cos[2t](1/2)Cos[t],Cos[2t](1/2)Sin[t]},{t,Pi/4,Pi/4}]

Parametricplot[{Cos[2t](1/2)Cos[t],Cos[2t](1/2)Sin[t]},{t,3Pi/4,5Pi/4}]

Show[%,%%,%%%,AspectRatioAutomatic]

输出图形,如图6-9所示.

1.25(2) 求交点

1输入 Reduce[2(1/2)Sin[t]Cos[2t](1/2),t]

0.750.5输出

([1]Integers&&(t=2C[1]6

0.25t52C[1]) 6-1-0.5-0.250.519

(3)求面积.

(图6—9) 先求第一象限的面积

S1输入

60112(2sin)d4cos2d. 262Integrate[Sin[x]2,{x,0,Pi/6}]Integrate[0.5Cos[2x],{x,Pi/6,Pi/4}]

输出 0.078 786 7

根据对称性,故所求面积 S=20.078 786 7=0.157 573

三、本节小结：

参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积 四、课外作业：

一、求由下列各曲线所围成的图形的面积

1、。

2、摆线及轴。

3、

及的公共部分。

10

第六章 定积分的应用（5、6）

第一节 定积分在几何上的应用（5、6）

教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积

教学重点、难点：分析使用平行截面计算的立体图形，旋转体体积的计算。 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

平行截面体的概念 二、新授课

1． 已知平行截面的立体体积

如图6—10所示，设有一立体图形，其垂直于x轴的截面面积是已知连续函数S（x），且位于x = a，x = b 两点处垂直于x轴的两个平面之间，求此立体的体积。

用垂直于x轴的截面分割该立体，从位于x=a的平面开始，到位于

x=b的平面为止。在小区间

[x,x+dx]上，将此区间相应的小立体体积用底面积为

f(x)，高为dx的扁柱体的体积S(x)dx近似代替，即

体积微元于是所求立体的体积为

( 图6—10) V=aS(x)dx

b

例1 一平面经过半径为R的圆柱体的底面直径AB，并与底面交成角，求此平面截圆柱体所得楔形的体积。

解法一：

如图6---11所示，取直径AB所在的直线为x轴，底面中心为原点，这时垂直于x轴的各个截面都是直角三角形，；它的一个锐角为。这个直角三角形的底边长度为R2x2，高为R2x2tan，这样截面面积为

S(x)1(R2x2)tan,

2因此,所求体积为

( 图6—11) 121x3R22V=-R(Rx)tandxtan[Rx]R2R3tan

2332R解法二：

垂直于Y轴的各个堆面都是矩形，矩形的两边为2|X| 和ytan，

11

这样截面面积为 S(x)=2R2y2ytan.

因此，所求体积为

V0R322222R2Ryytandytan(Ry)|0R3tan

3322 例2 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形。将它

绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积。

解 直线

，

方程为，取积分变量为，

在上任取小区间，以为底的窄

边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为

，

圆锥体的体积。

2。（1）旋转体的概念：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立

体。这直线叫做旋转轴。

（2）旋转体的体积

一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯

形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

12

取积分变量为，。在上任取小区间，取以为底的窄边

梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为

类似地，如果旋转体是由连续曲线形绕

轴旋转一周而成的立体，体积为

、直线、

及轴所围成的曲边梯

例3 求由曲线

及

所围成的图形绕直线

旋转构成旋转体的体积。

解 取积分变量为。

体积元素为

13

三。小结

平行截面体体积和旋转体体积的计算 四。课外作业 P116 习题6—1

4．平面图形由ysinx(0x)和y0围成，试求该图形 （1）绕x轴旋转所成旋转体的体积； （2）绕y轴旋转所成旋转体的体积。

2

5．平面图形由y2xx和y0围成，试求该图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积。

14

第六章 定积分的应用（7、8）

第一节 定积分在几何上的应用（7、8）

教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积

教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法， 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

x2y2例1分析求解椭圆221绕x轴旋转所成旋转体的体积。指出微元

ab二、新授课

例2 求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、

轴旋转构成旋转体的体积。 解 绕轴旋转的旋转体体积

绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图与分别绕轴旋转构成旋转体的体

积之差。

15

例3 求圆x2(yb)2a2(0ab)绕x轴旋转所形成的立体体积.解: 如图6--13所示，该

立体是由y1ba2x2,xa,xa围成的平面图形绕x轴旋转所生成的立体，去

除由y2ba2x2,xa,xa围成的平面图形绕x轴旋转所生成的立体而构成的。因此，该立体体积为

V=a(baax)dx(ba222aa2x2)2dx

aa4ba2x2dx

图6--13 2利用Mathematica,输入

PiIntegrate4bax20.5,x,a,a

输出 19.739 2ab 因此,该立体体积为19.739 2ab

2222 补充 如果旋转体是由连续曲线绕

轴旋转一周而成的立体，体积为

、直线、及轴所围成的曲边梯形。利用这个公式，可知上例中

三、小结：

1． 旋转体的体积

2。 平行截面面积为已知的立体的体积。 四、作业

16

1．思考题：求曲线形绕

，，所围成的图

轴旋转构成旋转体的体积。

思考题解答：

立体体积2。P117第六题

6．圆xyR的参数方程为

222

xRcos, 02， yRsin,试用定积分证明圆周长为2R。

17

第六章 定积分的应用（9、10）

第一节 定积分在几何上的应用（9、10）

教学目的：会用微元法求平面曲线的弧长

教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的曲线弧长的求法， 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、

引入新课：设

、

是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点

并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长

的极限存在，则称此极限为曲线弧

的弧长。 二、新授课

1．直角坐标情形

设函数 y=f(x)具有一阶连续导数，计算曲线y=f(x)上相应于x 从a到b 的一段弧长。取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx]，与该区间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点(x,f(x))处的切线上相应的一小段长度来近似代替，从而得到弧长元素dS=(dx)(dy)1y'dx,于是所求弧长

S=222ba1+y2dx

例 1 求正弦曲线y=sinx在点(0,0)到点(,0)之间的一段弧长.

解：所求弧长 S=01+y'dx201cos2xdx.

利用Mathematica,输入

NIntegrate[(1+Cos[x]2)(1/2),{x,0,Pi}]

输出 3.820 2

因此,正弦曲线每一拱的弧长为3.8202

18

2．参数方程情形

设曲线的参数方程为

x(t) (t). y(t)计算这段曲线的弧长。

取参数t为积分变量，糨的变化区间为[,]，弧长微元

dS(dx)2(dy)2=['(t)dt]2['(t)dt]2 ='2(t)'2(t) dt

于是所求弧长为 S='2(t)'2(t)dt.

例 2 求长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长.x=4cost解 椭圆的参数方程:  0t2 y3sint因此,椭圆的周长 S=20(4sint)2(3cost)2dt .

利用Mathematica,输入 NIntegrate[((4 Sin[t])2+(3 Cos[t]2(1/2),{t,0,2 Pi}]输出 18.719 7因此,长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长为18.719 7.3 极坐标方程情形 设曲线的极坐标方程为:r=r(),,计算这段曲线的弧长.

将极坐标方程改为参数方程:x=r()cos  yr()sin故 dx=(r()cosr()sin)ddy(r'()sinr()cos)d

于是,弧长微元

2 dS=(dx)(dy)2r2()r'2()d

因此，所求弧长为

Sr2()r'2()d

例3 求心形线 r = a( 1+cos )的全长 (a0)

解 作心形线的图形,输入

ParanetrucPlot[{2 (1+Cos[t]) Cos[t],2(1+Cos[t]) Sin[t]},{t,0,2 Pi}]

19

输出心形线r=2(1+cos)的图形,如图615所示.

2 1 1234 -1 -2

因为r()=-asin,故所求弧长为

S20[a(1cos)]2(asin)2d

a2022cosd

利用Mathematica,输入

Integrate[(2+2 Cos[x])0.5,{x,0,2Pi}]输出 故所求弧长为 8a. 三、小结

用微元法求孤线长

四、作业：P117

7．求星形线xacos3t,yasin3t(0t2) 的全长。3 9．求曲线yx2在0x4一段的弧长。 11．求曲线x14y212lny在1ye 一段的弧长。

20

8 (图6--15) 第六章 定积分的应用（11、12）

第二节 定积分在物理上的应用（1、2）

教学目的：会用定积分的微元法求一些简单的实际问题 教学重点、难点：用微元法将问题归结为定积分的问题 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟

教学年级：07级机械工程系 教学过程

一、引入新课

利用微元法解决定积分在物理上的一些应用。 二、新授课

一、 变速直线运动的路程

从物理学知道，若质点以常速v沿直线运动了时间t，则所经过的路程为 s=vt

如果质点以速度v=v(t)作变速直线运动，上面的公式显然不适用，但当v=v(t)连续时，可以在时刻t附近将速度近似看作是不变的，因而在时间[t,t+dt]过程中，路程的微元为

ds=v(t)dt

因此，从时刻t=T1 到时刻 t=T2 这段时间内质点所经过的路程为 s=T2T1v(t)dt.

例1 求具有速度v=1+2t2的质点从t1到t5所经过的路程.

525260 解: S=(1+2t2)dt[tt3]1133二、变力沿直线所作的功

从物理学知道，若物体在不变的力F的作用下沿直线移动了距离s，则此过程式中力F所作的功为

W = Fs

如果力是变力F(x)，上面的公式显然不适用。但当F(x)连续时，可以在点x附近将力F(x)近似看作是不变的，因而在位移[x,x+dx]过程中，功的微元为 dW=F(x)dx

由此可知，在变力F(x)作用下物体沿x轴由点a到点b过程中，力F所作的功为

21

W=baF(x)dx.

下面我们通过例子来说明变力作功的求功.

例2 已知弹簧拉长0.02m要用9.8 N的力,求把弹簧拉长0.1m所作的功

解： 我们知道，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F 与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即

F=kx 上式中K为比例系数。

如图6---16所示，根据题目意，当 x=0.02时，F=9.8，故由 F=kx，得k=490。这样得到的变力函数为F=490x.下面用策元法求此变力所作的功，。

取x为积分变量,积分区间为[0,0.1].在[0,0.1]上任取一小区间[x,x+dx},与它对应的

变力F所作的功近似于把变力F看作常力所作的功，从而得到功微元为

dw=490xdx 于是所求的功为

(图6—16) W0.10x20.1490 x dx490 []02.45

21． 交流电的平均功率

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，那么y=f(x)在区间[a,b]上的平均值为

1bf(x)dx. ybaa例3 计算纯电阻电路中正弦交流电i=Imsint在一个周期内功率的平均值。 解： 设电阻为R，那么这电路中，R两端的电压为

u=Ri=RImsint

2而功率 P=ui=Ri2=RI2 msint 由于交流电i=Imsin  t的周期为T2,因此在一个周期[0,2]上,P的平均值为

P122

002RImsin2tdt

22

利用Mathematica,输入

2,{t,0,2 Pi/a}] Integrate[Sin[a t]输出 因此

a

P21020RI2msin22RImIu2tdtRImmm222其中umImR,即纯电阻电路中,正弦交流电的平均功率等于电流,电压的峰值的乘积的一半. 例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击

入多少？

解 设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为

设次击入的总深度为厘米，次锤击所作的总功为

依题意知，每次锤击所作的功相等。

次击入的总深度为第次击入的深度为

三、小结

利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题.(注意熟悉相关的物理知识) 四、作业P121

4．由胡克定律知道，弹簧的伸长与拉力成正比。已知一弹簧伸长1 cm时拉力为1 N，求把弹簧拉长10 cm所做的功。

5．设有一质量为M，长为l 的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距为a的质点，质点质量为m，求细棒对该质点的引力。( 距离为r、质量分别为m1和m2的两个质点之间的引力为Fk

23

m1m2，其中k为引力常数) 。 2r