随机变量的数学期望与方差

第9讲 随机变量的数学期望与方差

教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。

2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。

教学重点：

1．随机变量的数学期望

For personal use only in study and research; not for commercial use

2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义

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5．方差的性质

教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。

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教学过程：

第三章 随机变量的数字特征

§3.1 数学期望

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在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

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1．离散随机变量的数学期望

我们来看一个问题：

某车间对工人的生产情况进行考察。车工小每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？

若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为

0323017211231.27 100100100100这个数能作为X取值的平均值吗？

可以想象，若另外统计100天，车工小不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。

对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是x1,x2,， 相应的概率为 P1,P2,，则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现xk的频率会接近于PK，于是试验值的平均值应接近

xk1kpk

由此引入离散随机变量数学期望的定义。

定义1 设X是离散随机变量，它的概率函数是 p(xk)P(XxK)PK,k1, 2,  如果 |xk|pk收敛，定义X的数学期望为

k1E(X)xkpk

k1也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。

例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。

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解 设试开次数为X，则

p(Xk)1n，k1, 2, ,n

于是

E(X)kk1n11(1n)nn1 nn222. 连续随机变量的数学期望

为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为f(x)，把区间( , )分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区间(x , xdx]的概率，则有

p(xXxdx)=xdxxf(t)dxf(x)dx

由于区间(x , xdx]的长度非常小，随机变量X在(x , xdx]的全部取值都可近似为x，而取值的概率可近似为f(x)dx。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。

定义2 设X是连续随机变量，其密度函数为f(x)。如果

|x|f(x)dx

收敛，定义连续随机变量X的数学期望为

E(X)xf(x)dx

也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。

由连续随机变量数学期望的定义不难计算： 若X~U(a,b)，即X服从(a ,b)上的均匀分布,则

E(X)ab 2若X服从参数为的泊松分布，则

E(X)

若X服从N(,2), 则

E(X)

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3.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。

一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出来。一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把E[g(X)]计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？答案是肯定的，其基本公式如下：

设X是一个随机变量，Yg(X)，则

g(xk)pk,X离散E(Y)E[g(X)]k1

g(x)f(x)dx,X连续当X是离散时, X的概率函数为P(xk)P(XxK)PK, k1, 2, ； 当X是连续时，X的密度函数为f(x)。

该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。

4.数学期望的性质

（1）设C是常数，则E(C)=C 。 （2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。 （3）E(X1X2)  E(X1)E(X2)。 推广到n个随机变量有

E[Xi]E(Xi)。

i1i1nn（4）设X、Y相互，则有 E(XY)=E(X)E(Y)。

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推广到n个随机变量有 E[Xi]E(Xi)

i1i1nn5.数学期望性质的应用

例2 求二项分布的数学期望。

解 若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

若设

1如第i次试验成功 i=1,2，…，n Xi0如第i次试验失败则XX1X2Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq 所以E(Xi)0q1pp，则

E(X)E[Xi]E(Xi)np

i1i1nn可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。 例3 设随机变量X服从柯西分布,概率密度为 f(x)(x1,x 21)求数学期望E(X)。

解 依数学期望的计算公式有 E(X)因为广义积分x21x2x1dx

x1dx不收敛，所以数学期望E(X)不存在。

§3.2 方差

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。

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1. 方差的定义

定义3 设随机变量X的数学期望E(X)存在，若E[(XE(X))2]存在，则称

E[(XE(X))2] (3.1)

为随机变量X的方差，记作D(X)，即D(X)E[(XE(X))2]。

方差的算术平方根D(X)称为随机变量X的标准差，记作(X)，即

(X)D(X)

由于(X)与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差D(X)=0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义1知，方差是随机变量X的函数g(X)[XE(X)]2的数学期望，故

2[xkE(X)]pk, 当X离散时D(X)k1

[xkE(X)]2f(x)dx, 当X连续时当X离散时, X的概率函数为P(xk)P(XxK)PK, k1, 2, ； 当X连续时，X的密度函数为f(x)。 计算方差的一个简单公式：

D(X)E(X2)[E(X)]2 证

D(X)E[(XE(X))2]E[X22XE(X)[E(x)]2] E(X2)[E(X)]2请用此公式计算常见分布的方差。

例4 设随机变量X服从几何分布，概率函数为

Pkp(1p)k1, k=1,2,…,n

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其中0解 记q =1-p E(X)kpqk122k1p(q)'p(qk)'p(kk1k1q1)' 1qpE(X)kpqk1k1p[k(k1)qk1k1kq]qp(qk)+E(X)

k1k1k1q1212q1qp()qp

1qp(1q)3pp2pD(X)E(X2)[E(X)]22p11p 222ppp2. 方差的性质

（1）设C是常数,则D(C)=0。

（2）若C是常数,则D(CX)C2D(X)。 （3）若X与Y ，则

D(XY)D(X)D(Y)。 证 由数学期望的性质及求方差的公式得

D(XY)E[(XY)2][E(XY)]2E[X2Y22XY][E(x)E(Y)]2

E(X2)E(Y2)2E(X)E(Y)[E(X)]2[E(Y)]2E(X)E(Y)E(X2)[E(X)]2D(X)D(Y)2

E(Y2)[E(Y)]2可推广为：若X1,X2，…，Xn相互，则

D[Xi]D(Xi)

i1i1nnD[CiXi]Ci2D(Xi)

i1i1nn（4） D(X)=0 P(X= C)=1， 这里C =E(X)。 请同学们思考当X与Y不相互时，D(XY)?

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下面我们用例题说明方差性质的应用。 例5 二项分布的方差。

解 设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。 若设

1如第i次试验成功 i=1,2，…，n Xi0如第i次试验失败则XXi是n次试验中“成功”的次数，E(Xi)0q1pp，故

i1n D(Xi)E(Xi)[E(Xi)]2pp2p(1p)， i1,2,由于X1,X2,,Xn相互，于是D(X)D(Xi)= np(1- p)。

i1n2,n 例6 设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)2(X)都存在，(X)0,则 标准化的随机变量

X*证明 E(X*)0,D(X*)1。 证 由数学期望和方差的性质知

XE(X)

(X)E[XE(X)]0(X)

D[XE(X)]D(X)E(X)D(X*)D[X]21(X)2(X)(X)_E(X) E(X*)E[X(X)].. ..

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仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

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