高一数学基本不等式及其应用(教师版)

学科教师辅导讲义

讲义编号_ 学员编号： 年 级：高一 课时数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师: 课 题 授课日期及时段 基本不等式及其应用 教学目的 掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单的问题。 教学内容 【知识梳理】 1.基本不等式 (1)a+b≥2ab（a，b∈R）， a2b2 该不等式可推广为a+b≥2|ab|；或变形为|ab|≤； 22222(2)当a，b≥0时，a+b≥2ab ab ab≤. 22.算术平均数：2ab （a,b为正数） 2 几何平均数：ab abab的几何解释： 2 A D a C b B D’ 3.不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具 体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。利用基本不等式求最值要注意三点：

一正，二定，三相等。 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。 【典型例题分析】 例1、已知实数a,b判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） （5）aabbaab ；（2）a2b22ab；（3）a2b2ab；（4）2 2abab12a2b2）(ab)2 2； （6） 2 （7）（baa 正确：（2）（3）（6）（7） 例2.已知abo,求证 证：略 变式练习：1.已知abo,求 答案：(,2] 2.已知函数yx 答案：[2,) 3.求函数y2x 答案：当且仅当x4 2ba2，并指出等号成立的条件。 abba的取值范围。 ab1当x>0时，求y的取值范围。 x1的最小值，并指出当x为多少时取得最小值。 x21时，y有最小值为22 2

4.已知yx1(x1)求当x为何值时，y取的最小值。 x1 答案：当且仅当x=2时y有最小值为2 5.求函数yx3的取值范围。 x2 答案：(,232]U[232,) 例3、求函数y2x23,(x0)的最大值，下列解法是否正确？为什么？ x311122x2332x2334 xxxxx解一： y2x2∴ymin334 33123232解二：y2x22x26x当2x即x时 xx2x23 ymin26 122331226324 2例4、已知x,yR,且2xy1，求xy的最大值。 【解析】利用基本不等式求最值，关键抓住两个要点：（1）求积的最大值其和必须为定值，求和的最小值其积必须为定值；（2）等号必须成立，当然正实数是前提。 【答案】5 变式练习： （1）已知x,yR，且xy1，求xy的最大值； （2）已知x,yR，xy2，求3xy1的最小值。 【解析】（1）把xy看做x,x,y三个因子相乘，但考虑到条件xy1，故把xy拆成4是均拆；（2）3xy1拆成222211xxgy，这里关键2233xxy1。 22

【答案】（1）43 （2）3361 2722x2例5、当x3时，求y的最小值。 x3【解析】将表达式变形使其各项的积是一常数，然后应用基本不等式。 【答案】24 【点拨】本题用到了配凑法，主要目的是为了使“积为常数”，本题解法具有普遍性。 例6、（1）若a,bR，ab1。求4ab的最小值； （2）若a,bR，ab1，求2ab的最小值； （3）若a,bR，4ab1，求ab的最大值； （4）若a,bR，2ab1，求ab的最大值。 【答案】（1）4 （2）22 （3）变式练习： 1、若0x5，求代数式x5x的最大值。 【答案】222211 （4） 8425 41的最小值。 x12、若x1，求代数式2x【答案】222 x2x43、若x1，求代数式的最小值。 x1【答案】3 4、若0x1，分别求下列代数式的最大值：（1）x1x （2）x1x 2244 （2） 2727【课堂小练】 【答案】（1）1.当a,b满足条件__________时，a1b2222a1b2成立，当且仅当_________时等号成立。 2.若实数x,y满足xy1，则xy的取值范围是_____________. 3.已知a0,b0，求证ab2ab，并指出等号成立的条件。 二、能力提升 3332

4.若实数a,b满足ab44a4b2ab，则1022ab的最大值是________________. 225.若a1,b1,ab，则ab,2ab,2ab,ab中值最小的是 ( ) 22(A)ab (B)2ab (C)2ab (D)ab 答案：1.a1 b2；a1b2； 2.2,2； 3等号成立的条件是ab； 4.10； 5.B 32 【课堂总结】 1、两个基本不等式？（注意成立的条件） 2、基本不等式有哪些应用？（1）比较来两个式子的大小（2）求函数的最值 3、在利用基本不等式求最值的时候应该注意哪些问题？ 4、基本是还有那些推广？ （1）任意的a,b,cR,有abc3abc，当且仅当a=b=c时等号成立。 证明：略 （2）任意的a,b,cR,有333abc3abc，当且仅当a=b=c时等号成立 3 【课后练习】 221、 若0a1,0b1,且a0,分别求2ab,2ab,ab,ab中的最大和最小项 答案：最大项为ab，最小项为2ab x21的最值 2、 若xR,求代数式2x 答案：x=1时有最小值为1 223、 若a,bR,且2ab2，求代数式a1b2的最大值  答案：32 4 4、已知x>0,y>0,x+y=1,求证(1)(1

1x1)9 y

证：略 5、已知a,b0，求证：ab114 ab【答案】ababab11222g4 babaab122。 ab6、已知a,bR，求证：ab【证明】略 7、a,b,cRU0，求证：abbcac2222222abc 略 8、x,yR，2x+y=1,则11的最小值是 322 xy9、 已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为 ； 10、若n0,则n(A) 2 1 1632的最小值为 ( C ) n2(B) 4 (C) 6 (D) 8 a2b2c21abc当且仅当abc时取等号。 11、设a,b,c都是正数，证明不等式bcacab2【解析】根据对称性，可从左边一项入手，根据基本不等式适当配凑。 a2a2bcbcbca【证明】 bcbc444b2b2acacac()b acac444

c2c2ababab()c abab444a2b2c21abc 三式相加可得bcacab2a2b2c2bcacab当且仅当=，=，=同时成立，即abc，上式取等号。 bcacab444【点拨】本题关键在于根据基本不等式的结构特点进行适当配凑，配凑法也是高中数学的基本方法之一。