数字信号处理习题和答案解析

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1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV

绪论

==================第一章 时域离散时间信号与系统==================

1.

①写出图示序列的表达式

答：x(n)δ(n1)2δ(n)δ(n1)2δ(n2)1.5δ(n3) ②用(n) 表示y(n)={2,7,19,28,29,15}

2. ①求下列周期

(1)sin(8n)(2)sin(45n)(3)cos(15n)(4)sin(8n)sin(45n)

②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。

1（1）x(n)Acos3πj(n)7πn8 A是常数 （2）x(n)e8 专业.资料.整理

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解： （1） 因为ω=

32π14π, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。

7312π, 所以=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 8 （2） 因为ω=

③序列x(n)Acos(nw0 3.加法

)是周期序列的条件是2π/w0是有理数。

乘法

序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。

移位

翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。

②

尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。

n/20n33n0n2卷积和：①例、 设x(n)，h(n)，求x(n)*h(n)

其他其他0033答案：x(n)*h(n){0,,4,7,4，}

22②已知x(n)={1,2,4,3},h(n)={2,3,5}, 求y(n)=x(n)*h(n)

x(m)={1,2,4,3},h(m)={2,3,5}，则h(-m)={5,3,2}(Step1:翻转)

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解得y(n)={2,7,19,28,29,15}

③2、已知x1δ(n)3δ(n1)2δ(n2),x2u(n)u(n3)，求x(n)x1(n)*x2(n)

答案：x(n){1,4,6,5,2}

4. 如果输入信号为

，求下述系统的输出信号。

解：首先写出输入信号的取样值

(a) 该系统叫做恒等系统。

5. ①设某系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n)。若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。

解：由初始条件y(1)0及差分方程y(n)ax(n1)x(n)得

n0时,y(0)ay(1)δ(0)1n1时，y(1)ay(0)δ(1)an2时,y(2)ay(1)δ(2)a2

nn时,y(n)any(n)anu(n)若初始条件改为y(-1)=1，求y(n)

初始条件y(1)1，方程y(n)ax(n1)x(n)

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n0时,y(0)ay(1)δ(0)1an1时,y(1)ay(0)δ(1)(1a)an2时,y(2)ay(1)δ(2)(1a)a2

nn时,y(n)(1a)any(n)(1a)anu(n) x(n)δ(n),②设差分方程如下，求输出序列y(n)。y(n)ay(n1)x(n) ，解：y(n1)a1(y(n)δ(n))

y(n)0,n0

n1时,y(0)a1(y(1)δ(1))0n0时,y(1)a1(y(0)δ(0))a1n1时,y(2)a1(y(1)δ(1))a2 y(n)an,n0③设LTI系统由下面差分方程描述：y(n)11y(n1)x(n)x(n1)。 22设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。 解： 令x(n)=δ(n), 则h(n)11h(n1)δ(n)δ(n1) 22n=0时，h(0)11h(1)δ(0)δ(1)1 221111h(0)δ(1)δ(0)1 222211h(1) 222n=1时，h(1)n=2时，h(2)11h(2)n=3时，h(3)2 21所以，h(n)2

6.离散时间系统解：

。请用基本组件，以框图的形式表示该系统。

n1u(n1)δ(n)

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7.① ①判断下列系统是线性还是非线性系统。

解：（a）系统为线性系统。 （b）系统为线性系统。 （c）系统是非线性的。

（d）系统没有通过线性性检验。

• 系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(实际上，系统的输入输出表达式是线性的)，而

是因为有个常数B。因此，输出不仅取决于输入还取决于常数B。所以，当时B≠0，系统不是松驰的，如果B=0，则系统是松驰的，也满足线性检验。 （e）系统是非线性的。 ②证明

是线性系统。

证：

②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。

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证：

③①判断下述系统是因果的还是非因果的。

②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A. δ(n) B. h(n)=u(n)

C. h(n)=u(n)-u(n-1) D. h(n)=u(n)-u(n+1) ④

⑤以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。

（1）δ(n4)(2)0.3nu(n1)

答案 （1）非因果、稳定 （2）非因果、不稳定。

⑥判断题： 一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。（错） 8.① 考虑下面特殊的有限时宽序列解：

。把序列分解成冲激序列加权和的形式。

②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。

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x(n)x(1)δ(n1)x(0)δ(n)x(1)δ(n1)x(2)δ(n2)x(3)δ(n3)2n③若x(n)0k1x(k)δ3(nk)

0n4用单位序列及其移位加权和表示 其他x(n)= (n)2(n1)4(n2)8(n3)16(n4)。

9. ① 一个LTI系统的单位冲激响应和输入信号分别为应。

求系统对输入的响

②一个松弛线性时不变系统y(n)。

解：用式中的卷积公式来求解

。求系统对于x(n)的响应

③一个线性时不变系统的冲激响应为

。请确定该系统的单位阶跃响应。

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解：

④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况， 分别求输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n （2） h(n)=2R4(n) , x(n)=δ(n)－δ(n－ 解： （1）{1，2，3，4，4，3，2，1} （2）{2，2，0，0，-2，-2}

⑤设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n),，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性

10. ①考虑一个LTI，该系统的冲激响应为解：首先，系统是因果的

，确定a的取值范围，使得系统稳定。

因此，系统稳定的条件是|a|<1。否则，系统是不稳定。

实际上，h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。

②考虑冲激响应为

解：显然系统是非因果的，

的线性时不变系统，若该系统稳定，则a和b的取值范围为多少?

所以，系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。

11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数

解：直接代入公式有

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12. 数字信号是指___时间幅度都离散的 _______的信号。

判断：数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。( 对 ) 判断：单位阶跃序列与矩形序列的关系是RN(n)u(nN)u(n)。 （ 错 ）

判断：因果系统一定是稳定系统。( 错 )

判断：如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。 （对） 判断：所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（ 对 ）

判断：差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。(错。差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行。) 判断：若连续信号属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs<2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、 截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。( 错 。角频率Ωs≥2Ωc ) 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ 当n<0时，h(n)=0 ）

=======================第二章 =======================

1. ①设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。

z变换与DTFT

解：X(e)jRN(n)enjnN1en0jn1ejNejN/2(ejN/2ejN/2)j(N1)/2sin(N/2) ejj/2j/2j/2sin(/2)1ee(ee)当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：

j2②序列x(n)δ(n2)的傅里叶变换为 e。

③设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。

解：（1）y(n)h(n)x(n)anu(n)[δ(n)δ(n2)] anu(n)2an2u(n2)

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（2）X(ejω)n[δ(n)2δ(n2)]ejωn12ej2ω

H(e)jωnau(n)enjωjωnanejωnn01 jω1ae12ej2ωY(e)H(e)X(e) jω1aejωjω④1、已知X(e)jω1,0,|ω|ω0。求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)

ω0|ω| π1解：x(n)2π

ω0ω0ejωndωsinω0n

πn2.

~7~2πjkn8

解：

3. ①

X(k)x(n)en01e1ejkππjk4eeπjk2πjk8(e(eπjk2πjk8eeπjk2πjk8j) e83πk)sin(πk/2)

sin(πk/8)

②

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4. ①x(n)=u(n), 求其Z变换。

解：

当|z|>1时 X(z)存在，因此收敛域为|z|>1 ②x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。（有限长序列）

解：

收敛域为： 0<|z|≤∞ ③求序列x(n)

（右边序列之因果序列） anu(n)的Z变换及收敛域。

nn 解：

X(z)nau(n)z(azn01n)

1az1(az1)2(az1)n这是无穷等比级数,公比是q在什么情况下收敛？|az本例，极点为z=a。

④求序列 x(n)bu(n1)z变换及收敛域（左边序列之反因果序列） 解：X(z)n1az1，

1z,za za1az1|1,即|z||a| 所以：X(z)nbu(n1)znnnbz1nn(b1z)n

n1b1zzX(z),zb 1zb1bz本例，极点为：z=b n⑤求序列 x(n)anbn0z变换及收敛域 n0X(z)解：

nbz1nnanznn0zzzbzaz(2zab),|a||z||b|(za)(zb)n

本例，极点为：z=a,z=b

⑥ y(n)au(n)的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣>∣a ___。

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y(n)anu(n1)的Z变换为 1/(1-az-1) ____ ，收敛域为___∣z∣<∣a ___。

5.①已知X(z)=(1－az－1)－

1，|z|>a, 求其逆Z变换x(n)。（留数法）

解：

n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a； n<0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a, z2=0（高阶）；

②PPT例11（留数法）

③PPT例12（部分分式展开法） 2④（考原题！！！！！！！！！！）已知X(z)z,z4， 求z反变换。

(4z)(z14)解:

limzX(z)1，即X(z)的收敛域包含处，

且x(n)是右边序列，故x(n)是因果序列。所以当n<0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。

F(z)X(z)zn1

zn1

(4z)(z14)如图所示，取收敛域的一个围线c，可知

当n≥0时, C内有两个一阶极点 z1/4,z4，

x(n)Res[zn1/(4z)(z14)]z41所以

Res[zn1/(4z)(z14)]x(n)z1 故4n4n2,415014n4n215,n0 专业.资料.整理

n0n0

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⑤已知X(z)z2(4z)(z1)4,1z4，求z反变换。 4解：F(z)X(z)zn1

zn11(4z)(z)4

如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论：

（1）n≥－1时，C内只有一个一阶极点z=1/4

x(n)Res[zn1/(4z)(z[zn1(z1)]14z411)/(4z)(z)]144z4

(1/4)n114n,n141/415或记作：x(n)14nu(n1) 15（2）当n<-1时，

C内有极点：z=1/4(一阶), z=0（高阶）；

而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点，且F(z)的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上，

x(n)Res[zn114n11/(4z)(z)]z44n2,n1

441/415或记作：x(n)14n2u(n2) 151n4,因此x(n)1514n2,15

n1n24n4n2u(n1)u(n2) 或记作：x(n)1515 专业.资料.整理

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6.①已知

－ ，分析其因果性和稳定性。

解 H(z)的极点为z=a, z=a1。

－（1） 收敛域为a1<|z|≤∞: 对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 （2） 收敛域为0≤|z|－

（3） 收敛域为a<|z|(za)(zb)域为__|a|≠1__和 b的取值域为____|b|≠1____。 ③时域离散线性时不变系统的系统函数为H(z)1,a,b为常数。若要求系统因果稳定，则a的

(za)(zb)取值域为__0≤|a|<1__和 b的取值域为___0≤|b|<1__。 ④8、如果系统函数用下式表示: H(z)1。则下列关于收敛域的说法正确的是（ D ） 11(10.5z)(10.9z)A．该系统无法通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定 B．收敛域为|z|<0.5 时，系统因果稳定 C．收敛域为0.5<|z|<0.9时，系统因果稳定 D．收敛域为|z|>0.9时，系统因果稳定

7.①已知系统的差分方程为：y(n)by(n1)x(n),0b1。指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。

解：系统的传输函数为： H(z)∴极点为z=b ，零点为z=0

1zzb1bz1|z|b

②已知H(z)=1－zN，试定性画出系统的幅频特性。

－

解

极点：H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。

零点：零点有N个，由分子多项式的根决定。

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③已知某数字滤波器的系统函数为：H(z)1 110.9z（1）画出零极点分布图

（2）利用几何确定法分析幅度特性，画出幅度特性图； （3）试判断滤波器的类型（低通、 高通、 带通、 带阻）。 解： （1）将系统函数写成下式: H(z)1z＝ 1z0.910.9z 系统的零点为z=0， 极点为z=0.9，零点在z平面的原点，零极点分布图为：

（2）不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处， 幅度特性图为：

（3）滤波器的通带中心在ω=0处，这是一个低通滤波器。

8.下列关系正确的为（ D ）

判断：时域离散信号傅里叶变换存在的充分条件是序列绝对可和。（ 对 ） 判断： 序列的傅里叶变换是频率ω非周期函数。（ 错 。 序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 ） 判断：序列z变换的收敛域内可以含有极点。( 错 )

若H（Z）的收敛域包括∞点，则 h（n）一定是__因果_序列。

线性时不变系统h(n)是因果系统的充要条件是________ h(n)=0,n<0 或收敛域在某圆的外面____________。 线性时不变系统h(n)是稳定系统的充要条件是_________ h(n)绝对可和或收敛域包括单位圆___________。 序列的傅里叶变换等于序列在( 单位圆 )上的Z变换。

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====================第三章 (DFT)===================

1. ①已知x(n)离散傅里叶变换

R4(n)，分别求8和16点DFT

2πkn8（1）N8时解：

X(k)x(n)Wn0N1nkNR4(n)en07jen03πknj28

1eπ4kj28πkj281eeπkj38sin(πk/2)sin(πk/8)j2πkn1630k7

（2）N16时X(k)1ex(n)Wn0π4kj216πkj216N1nkNR(n)e4n015en0πknj216

1eeπkj316sin(πk/4)sin(πk/16)0k15

频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。 ②

③假设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别用下式表示h(n)R8(n),（1）计算该系统的输出信号y(n)

（2）如果对x(n)和h(n)分别进行12点DFT，得到X(k)和H(k),令Y1(k)H(k)X(k) y1(n)IDFT[Y1(k)]

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x(n)R4(n)

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求y1(n) 解：（1）y(n)={1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1} （2）y1(n)={ 1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1,0}

2. ①计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。

解：h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为

h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为

②

③已知长度为N=10的两个有限长序列：

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（1）做图表示x1(n)、 x2(n) （2）求y1(n)=x1(n) * x2(n)

（3）求y2(n)=x1(n) 圈* x2(n) ， 循环卷积区间长度L=10。

3. 利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。

解：构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到：

4. 对6点有限长序列{5，1，3，0，5，2}进行向左2点圆周移位后得到序列__{3，0， 5，2，5，1} __。

5.已知y(n)=x(n)*h(n)， x(n)和h(n) 的长度分别为M和N。 x(n)和h(n)的L点循环卷积（L>M，L>N）用w(n)表示，w(n)=y(n)的条件是___L≥M+N-1___________。（循环卷积等于线性卷积的条件）

离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意思。( 对 )

====================第四章 (FFT)===================

快速傅里叶变换

1. 画出16点基2DIT-FFT和基2DIF-FFT的运算流图，并计算其复乘和复加的计算量。

2.一个蝶形运算，需要_____一___次复数乘法和___两_____次复数加法运算。

对于N点（N=2M）的按时间抽取的基2FFT算法，共需要作 MN/2 次复数乘和_ MN___次复数加。 下列关于FFT说法错误的是（ B ）。

A. DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的运算量一样。

B. DIT-FFT算法输入序列为自然顺序，而输出为倒序排列。 C. DIF-FFT算法与DIT-FFT算法的蝶形运算略有不同，DIF-FFT蝶形先加(减)后相乘，而DIT-FFT蝶形先乘后加(减) 。 D. FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT来减少DFT的运算次数。

循环卷积与数字卷积的关系（只记结论）

===================第五章 数字滤波器的基本结构===================

1.

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2.①

②

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③

④已知一个IIR滤波器的系统函数为H(z) 则此滤波器的直接型结构表示为_。

112z13z2

⑤假设滤波器的单位脉冲响应为h(n)au(n)n求出滤波器的系统函数，并画出它的直接型结构。 0a1。

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解：H(z)ZT[h(n)]1，1az1za

⑥已知系统的单位脉冲响应为：

h(n)δ(n)2δ(n1)0.3δ(n2)2.5δ(n3)0.5δ(n5)

试写出系统的系统函数，并画出它的直接型结构。 解： 将进行Z变换，得到它的系统函数 H(z)12z1235 0.3z2.5z0.5z

3.

4. ①若数字滤波器的结构如图所示：则它的差分方程为 y(n)=2y(n－1)－0.8y(n－2)+x(n)+3x(n－1) ， 系

13z1统函数为H(z)。

12z10.8z2

② 图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。 解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(z)H3(z

(2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z (3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) H2(z)+H3(z (4) h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z)

=h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n)，

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5.IIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。( 错 ) 通常IIR滤波器具有递归型结构。( 对 )

FIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。( 对 )

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