电磁场习题课

1. 求下列情况下的位移电流密度的大小： （1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度

Hex0.15cos9.36108t3.12yA/m；

（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度

Bey0.8cos3.77102t1.26106xT；

（3）一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度

Eex0.9cos3.77102t2.81106zMV/m

设油的相对介电常数r5；

（4）工频f50Hz下的金属导体中，Jexsin377t117.1z设金属导体的70,0,5.810S/m。

解 （1）由HDt得 exeyezJdDtHxyzeHxzyHx00

ezy0.15cos9.36108t3.12yez0.468sin9.36108t3.12yA/m2故

J2d0.468A/m

（2）由

HDt,B0H得 exeyezJD1dt11B00xyzeByz0x0By0

e1zx0.8cos3.77102t1.26106x0ez0.802sin3.77102t1.26106xA/m2故

Jd0.802A/m2

（3） Dr0E50ex0.9106cos3.77102t2.81106z

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MA/m2，

ex58.8510120.9106cos3.77102t2.81106z

JdDex15103sin3.77102t2.81106zA/m2 t故

Jd15103A/m2

（4） E1e106sin377t117.1z 7x5.810ex1.72102sin377t117.1zV/m

JDEex8.8510121.72102sin377t117.1zJdDex15.261014377cos377t117.1ztex57.531012cos377t117.1zA/m2

故

Jd57.531012A/m2

二、麦克斯韦方程组的直接应用

z=20cm的导1. 由置于3mm和10mm的导体圆柱面和z=0、

体平面围成的圆柱形空间内充满41011F/m,2.5106H/m,0的媒质。若设定媒质中的磁场强度为He麦克斯韦方程求：（1）；（2）E。

解 （1）将题设的H代入方程HE，得 tH12HeezHecos10zcostzz

E210esin10zcostet2cos10zcostA/m，利用

对时间t积分，得

E120sin10zcostdt20sin10zsint

将EeE代入方程EH，得 tE20Eeesin10zsintzze2002cos10zsinteHt

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对时间t积分，得

H20022cos10zsintdt20022cos10zcost

将上式与题设的H2cos10zcost对比，得

1002100221018 6112.510410故

109rad/s

（2）将109rad/s,=41011F/m代入EEe20sin10zsint中，得

209sin10zsin10t11941010103esin10zsin109tV/m2

三、边界条件的应用

1. 媒质1的电参数为140、120、10；媒质2的电参数为220、230、20。两种媒质分界面上的法向单位矢量为enex0.ey0.6ez0.48，由媒质2指向媒质1。若已知媒质1内邻近分界面上的点P处Bexey2ez3sin300tT，求P点处下列量的大小：1B1n；2B1t；3B2n；4B2t。

解:（1）B1在分界面法线方向的分量为

B1nB1enexey2ez3ex0.ey0.6ez0.480.1.21.442T22222（2） B1tB1B1n12323.16T

（3）利用磁场边界条件，得

B1nB2n2T（4）利用磁场边界条H1tH2t件，得

B2t

32B1t03.164.74T120

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四、静电场与恒定电场

1. 如图所示，一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为1和2，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。

解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1tE2t，故有 E1E2E。由于D11E1、D22E2，所以D1D2。由高斯定理，得到

D1S1D2S2q 即 2r21E2r22Eq 所以 E导体球的电位

q1(a)Edrdr 22()r12aaq 2(12)aq2r2(12)

1 a q 2 o 故导体球的电容

Cq2(12)a (a)题 3.33图

（2） 总的静电能量为

1q2Weq(a)

24(12)a

2. 同心球形电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充介电常数与电导率分别为1 、1和2、2的两种有损耗介质，如例图所示。若内外导体之间外加电压U0。求：（1）介质中的电场和

电流分布；（2）电容器的漏电阻；（3）电容器的损耗功率。

2,2 a U0 b  1,1

解 （1）设由内导体流向外导体的径向电流为I，则由JdSI，

S可得

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J12r2J22r2I

在两种介质的分界面上，电场与分界面平行。根据边界条件E1tE2t，可知E1E2E。由于J11E1，J22E2，所以

2r2(12)EI 即 EbI (arb)

2(12)r2又 U0Edra(ba)I1 dr22(12)ab2(12)arIb所以

I2(12)abU0

ba故

EabU0 (arb)

(ba)r2ab1U0 (arb) J11E2(ba)rab2U0 (arb) J22E(ba)r2（2）电容器的漏电阻为

RU0ba I2(12)ab22(12)abU0P耗IU0

ba（3）电容器的损耗功率为

y

五、恒定磁场 J

a 1. 真空中有一厚度为2d的无限大载流块，电o x

流密度为JezJ0，在其中心位置有一半径为a(ad)d d 的圆柱形空腔，如例图所示。求空腔内的磁感应强

度。

解 设空腔中同时存在有密度为ezJ0的两种电

流分布，则可用安培环路定理和叠加原理来求出空腔内的磁感应强度

电流密度为ezJ0的无限大均匀载流块产生的磁感应强度为

B1ey0J0x (xB20J02(exyeyx) (x2y2a2)

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根据叠加原理得到空腔内的磁感应强度为

BB1B20J02(exyeyx) (x2y2a2)

2. 如图所示，无限长直导体圆柱由电导率不相同的两层导体构成，内层导体的半径

a12mm，电导率110Sm；外层导体的

7a3mm410Sm。导22外半径，电导率

7a2 a 1 12 I I 体圆柱中沿轴线方向流过的电流为I100A，求导体圆柱内、外的磁感应强度B。

解 电流沿轴线方向流动，则导体圆柱内的电场也沿轴线方向，根据边界条件，应有E1E2，则两层导体中的电流密度J1和J2不相同。由

2 IJ1dSJ2dSa12J1(a2a12)J2

S1S2 例5.1图

利用J11E1、J22E2以及E1E2E，有

2 I[a121(a2a12)2]E 于是得到

EI 222a11(a2a1)2故有

51071I2Am J11E122212a11(a2a1)251072IAm2 J22E22223a11(a2a1)2利用安培环路定律，当ra1时，有

2rB1r20J1

所以

B110J1r0.833rT 2当a1ra2时，有

2rB20[a12J1(r2a12)J2]

所以

B20a12(J1J2)2[r10105J2r]rT

3r当ra2时，有

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0I2105B3T

2rr

3, 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为1和2两种不同的磁介质，如图所示。设同轴线中通过的电流为I，试求：

（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量； （2）单位长度的自感。

解 同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度B1B2B，但磁场强度H1H2。

（1）利用安培环路定律，当ra时，有

2rB00I2r a2a 所以

B02 I 0Ir (ra) 22a 当arb时，有

r(H1H2)I 由于H1B1b 1 1、H2B2

2以及B1B2B，所以得到

12I (arb)

(12)r B同轴线中单位长度储存的磁场能量为

221aB021bB1bB Wm2rdrrdrrdr

2002a12a212\\I1a10Ir2111b2()2rdr()()rdr 22002a212a(12)r0I212I2bln 162(12)a （2）由 WmLI2，得到单位长度的自感为 L

六镜像法：

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122Wm012b ln2I8(12)a1. 试证无限大导体接地导体平面上半球形导体上方点电荷q受到的

16a3d5电场力为F(14)，式中a为导体球半径，d为电242160d(da)q2荷与球心的间距。

解：应用镜像法，将半球变为一个整球，为保证无限大导体平面 和球面形成的边界电位为零，需引入三个镜像电荷，-q，q，q， 其中q和-q，q和q保证无限大平面边界电位为零，q和q，-q 和q保证球面边界的电位为零。 利用镜像法，求得

aa qq qq

dda2a2 d d

dd点电荷q所受的力，应是三个镜像电荷产生的电场力的矢量和

aaq(q)q(q)q(q)ddFFqFqFq22a2a2240(2d)40(d)40(d)ddq2daq2daq2 2222222160d40(da)40(da)16a3d5(14)242160d(da)

2. 半径为a的导体球外距球心d处放置一点电荷q，

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q2（1） 若导体球接地，求点电荷q受到的静电场力；

（2） 若导体球未接地且带有电荷Q，求点电荷受到的静电场力

aa2解：（1）镜像电荷qq，d

dd 电荷q受到的静电力为

aq(q)qqadq2d F22222a40(dd)40(da)40(d)2daa2（3） 镜像电荷qq，d，

ddqQqQ电荷q受到的静电力为

qqqqadq2q(dQaq)FFqFq 22222340(dd)40d40(da)40daq，d0 d3.相对介电系数r4的无限大均匀电介质中有一半径为a的导体球，导体球内有一半径为b的偏心球形空腔，空腔的中心距导体球球心的间距为d，设空腔中心处有一点电荷q

（1） 求空间任意点的电场强度和电位 （2） 求导体球表面（r=a）的极化电荷密度

解：由于导体球的电磁屏蔽作用，球外电场由球面上的感应电荷决定，球面上的感应电荷为q，且均匀分布，空腔内的电场由电荷q

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和空腔内壁上的感应电荷共同决定，空腔内壁上的感应电荷-q，均匀分布，导体内的静电场为零

导体球外的电场，Eq4r2eqr16＞a）

0r2er （r 电势 q16

0r导体球内的电场，E0 电势 q16

0a空腔内的电场 Eq4r2er 电势 q40rC

由于导体为等为体，所以在rb处，电位为q16，由此

0a可得Cqq160a4

0b 故得 q40rCq4qq

0r40b160a导体球面处的电场Eq16er，DEq0a24a2er 电极化强度PD3q0E16a2er 极化电荷面密度3qspPer16a2 10 / 10