学年论文1

学 年 论 文

题 目： 浅谈泰勒公式及其应用 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 李 政 学 号： 200971020125 指导教师： 刘雪艳

摘要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，本文介绍了它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，并且可以应用于求极限、泰勒公式关于界的估计、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。并且从它和常规方法的比较中可以看到利用泰勒公式对做题带来的极大方便，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具。 关键词 泰勒公式 极限 收敛性

Abstract The Taylor formula is the important component of mathematical analysis, Taylor formula in the analysis and study math problems has the important effect, this paper introduces some complex function approximation to express for simple polynomial function, and can be applied to the limit, Taylor formula for world estimate, judging generalized integral convergence, approximate calculation, inequation, etc. And from it and the conventional method can be seen in the comparison of the use of Taylor formula to become a problem of great bring convenience, it has become the study of the theory and method of function limit and estimate error, and other aspects of the indispensable tools. Key words Taylor formula limit astringency

1.引言

泰勒公式是数学分析中的重要公式，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。而多项式的系数由给定函数的各阶导数决定。泰勒公式的意义是，用一个n次多项式来逼近函数f.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.

2.基础知识

泰勒公式是数学分析中的重要公式，它的基本思想是用多项式来逼近一个已知函数，而多项式的系数由给定函数的各阶导数决定。

2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式

如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有n阶导数, 则对此邻域内的点x,有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)((xx0)n).

2!n!

当x00时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即

f''(0)2f(n)(0)nf(n1)()n1f(x)f(0)f(0)xxxx(01)

2!n!(n1)!'2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式

如果函数f(x)在点x0 的某邻域内具有n1阶导数, 则对此邻域内的点x, 有

f(x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)(xx0)n1

2!n!(n1)!(介于x0与x之间）

2.3 几种常用的Maclaurin 公式

2mx3x5x2m1m1xsin X=x-++…+(1)+o(); (1) 3!5!(2m1)!

2nx2x4x6nxcosx1(1)o(x2n); (2) 2!4!6!(2n)!n1x2x3nxln(1x)x(1)o(xn1); (3) 23n111xx2xno(xn); (4) 1xm(m1)2m(m1)(mn1)n(1x)m1mxxxo(xn) (5)

2!n! 上述展开式中的符号o (xn ) 表示当x →0时,它是一个较xn高阶的无穷小,

o(xn)即有limn0

x0x3.泰勒公式的应用

3.1 近似值的计算

根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数

(1)nxn1n1时所产生的误差。由拉格朗日型余项Rn(x)<(0.2)0.0001，n1(n1)(1)如果|f(n1)(x)|M, M 为一定数，则其余项不会超过以近似地计算某些数值并估计它们的误差。 例1 求65的值

分析：对于这样一个近似计算我们直接算是没办法找出突破口的，这是我们可以想到泰勒公式是用一个n次多项式来逼近一个函数，而对于一个多项式的计算是比较容易的，又由于1x用泰勒公式是很容易写出的，因此对于此题泰勒公式是一个很好的选择。 解：65 =1=81111由于1x1xx2

28M|xx0|n1。由此可(n1)!可得到

8658（111112）8.0622628此时误差R<

1120.510516

3.2 利用泰勒公式求极限

对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求limcosxex0x4x22

0型，我们首先想到的是洛比达法则，但是分母为0分析：此题是求极限中的

x4，如果用洛比达法则，需连用4次，而且对分子求4次导数也是比较麻烦的.

而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.就此题使用洛比达法则和泰勒公式求解的比较如下。

解法一：运用洛比达法则解

原式limcosxex0x4x22limsinxex04x3x22x22x 第一次使用洛比达法则

cosxex2e =limx012x2 =limx0x22 第二次使用洛比达法则

sinxex22x3e2xe24xx22x22x 第三次使用洛比达法则

=limx0cosxex22x(x32xx)e24x22(3x33) 第四次使用洛比达法则

1 12解法二： 使用泰勒公式求解

因为

=ex1x12xo(x2) 2!x2将x换成有

2e又

x22x21x22x221()()o(())

22!22x2x4cosx1o(x4)

2!4!所以 cosxex22x4(111)o(x4)o(x4) 248414xo(x4) 12故

limcosxexx4x2214xo(x4)1lim124 xx121x1x2 2x例2 求limx0

0型，也符合使用洛比达法则的条件，因此0使用洛比达法则和泰勒公式求解的比较如下： 解法一: 使用洛比达法则求解

分析: 对于此题也是求极限中的

11(1x)2(1x)21x1x22lim2原式=lim 第一次使2x0x0x2x11用洛比达法则

11(1x)2(1x)24=lim4 第二次使用洛比达法则

x021= 4解法二：使用泰勒公式求解

33x2项 将1-x,1x在0点的迈克劳林式展开到xx2 1x1o(x2)

28xx21x1o(x2)28

故有

x2o(x2)1x1x214 limlimx0x0x2x24 在上述求极限的过程中可以看出，对于有些求极限的题目中即使满足使用洛比达法则的条件，但是对于一些高次数的代数式在求导数的过程中是很复杂的，在常规方法不好求或者比较复杂的情况下，可以考虑使用泰勒公式。

3.3 在不等式证明中的应用

关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.

分析:如果函数f(x)的二阶及二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式去证明这些不等式。一般的证明思路：（i）写出比最高阶导数低的泰勒公式展开式。（ii）恰当选择等式两边的x 与x0。（iii）根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩。 例1 设f(x)在[0,1]二次可导，而且f(0)f(1)0，limf(x)1，试求存

0x1在(0,1)，使f()8.

证明： 由于f(x)在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在x1，使f(x1)1，由费马定理知，f(x1)0. 又

f(x)f(x1)f(x1)(xx1)f()(xx1)2 2!f()(xx1)2（介于x与x1之间） 12!由于f(0)f(1)0，不妨令x0和x1，有

0f(0)1f(1)(0x1)2 2所以

f(1)2(1x1)2(x121)

当1x111时，2x128，而当x11时，2(1x1)28，可见f(1)与22f(2)中必有一个大于或等于8.

3.4 泰勒公式在判别正项级数敛散性问题上的应用

正项级数敛散性判别法：Un及Vn都为正项级数。

n1n1 (1).若Vn收敛，当n，Uno(Vn)时，有Un收敛

n1n1 (2).若Vn发散，当n，Vno(Un)时，有Un发散

n1n1Un(3).若limI(0I)，则Un与Vn具有相同的收敛性

nVn1n1n泰勒公式在寻求一个数列同阶无穷小时为讨论正项级数敛散性提供了方便。

11例1 讨论[ln(1)]的敛散性

nn1n 解：因为ln(11111)2o(2) nn2nn

Un11111111ln(1)[2o(2)]2o(2) nnnn2nn2nn

11 故 Uno(2) 而2收敛

nn1n 所以级数

11[ln(1)]也收敛 nnn11例2 判断级数(1cos)的敛散性

nn1解法一：利用常规解法 1 由归结原则（取xn,n=1,2…），

n11cosnlim1cosx=lim1sinx1 limx0nx012x2x2n211又由于级数2是收敛的，所以级数(1cos)是收敛的

nn1nn1 解法二：利用泰勒公式时解法如下

111 由于an1cos1[12o(2)]

n2nn =

11o() 222nnan111又因为lim而2收敛，所以级数(1cos)收敛n12n1nnn1n2

对于上述题目如果利用原式直接找出某一个关系式在化简时是不容易做到

的，而利用泰勒公式展开之后就会使得题目很明了，其中的正项级数1是我2nn1们的基本级数，它是收敛的。还有一个问题就是有些级数我们在刚开始做的时候

并不能找到一个合适的级数和它比较，这就使的问题进一步复杂化了，因此利用泰勒公式有时是一个很好的选择

3.5 泰勒公式关于界的估计

我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，利用泰勒公式求关于界的估计。

例1 设f(x)在[0,1]上有二阶导数，0x1时f(x)1，f(x)2.试证：当0x1时，f(x)3.

分析:观察此题所给的条件，用常规方法证明是比较困难的，它涉及到函数f(x)一阶和二阶导数的不等式、函数区间上的点等，故我们会很容易想到泰勒公式。

1证明： f(1)f(x)f(x)(1x)f()(1x)2

21f(0)f(x)f(x)(x)f()(x)2

2所以

11f(1)f(0)f(x)f()(1x)2f()x2

2211 f(x)f(1)f(0)f()(1x)2f()x2

222(1x)2x2213

4.总结

综上可知，当一般问题涉及二阶以上导数、可考虑利用泰勒公式求解。把x0看成定点，通过定点x0处的函数值f(x0)及导数值f'(x0),f''(x0),,f(n)(x0) 来表达动点x处的函数值f(x).但利用泰勒公式解决问题时并不是万能的，在用泰勒公

式时也涉及到求高阶导数，对于一些代数式通过用泰勒公式去逼近并不是太容易，运用泰勒公式去解题只是其中的一种方法，在应用时我们可以灵活运用，选择适当的解题方法，使得解题更方便、快捷。

参考文献

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[ 6 ] 蒋政，泰勒公式在极限中的应用，无锡科技职业学院学报，2011。

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