ｐ岛芍Ｉ 究 ｏ梁懿涛 三角函数是基本初等函数之一，是高考考查的 面积相等关系，ＩＪ得点Ｍ到直线（ 的距离为ｆ（ｘ）＝Ｉ 重点内容和热点。高考中三角函数题一般是以“一 小一大”的形式呈现，考查的是基本内容、基本运 ｓｉ似ｃ。 １． １ｓｉｎ２ｘＩ，且当 ＝号时上述关系也成立， 算，属容易题。选择题、填空题考查三角函数的基 故函数，（ ）的图像为选项Ｃ中的图像。 本概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式的运 答案Ｃ 用、三角函数的图像与性质、三角函数的求值与化 点评任意角的三角函数的定义，可在单位圆 简、三角公式的变换与计算、正余弦定理、解斜三角 上得到形象地展示，因此常用来考查考生对三角函 形。解答题重点考查三角函数的性质与值域、三角 数定义的掌握程度以及数形转换的运用能力。此 函数与正余弦定理的结合、解斜三角形等，常与平 外，三角中的基础性概念与方法，如弧度制、同角三 面向量相结合，偶尔也会出现三角应用题，文科理 角函数的基本关系式与诱导公式等，也要理解并熟 科差异不大。 练掌握。 考点一、三角函数的概念 考点二、三角恒等变换与求值 例１ （２０１４年新课标全国卷Ｉ）如图，圆０的 例２（２０１４年江苏卷）已知 （ ，竹），ｓｉｎ 半径为１，Ａ是圆上的定点，Ｐ是圆上的动点，角 的 始边为射线ＯＡ，终边为射线ＯＰ，过点Ｐ作直线ＯＡ ： 一 ５。 的垂线，垂足为 ，将点 到直线ＯＰ的距离表示成 的函数－厂（ ），则Ｙ＝＿厂（ ）在［０，１Ｔ】的图像大致为 （１）求ｓｉｎ（詈＋ ）的值； （ ） （２）求ｃ。ｓ（ 一２ ）的值。 ）， ｙ １ ｌ 解析（１）因为０１ （２ －， ），ｓｉｎ ＝ ５， （） Ｄ Ａ Ｂ 所以ｃ…：一、俪：一 。 ｙ ｙ ｌ １ 故ｓｉｎ（号＋ ）＝ｓｉｎ寻ｃ。ｓ ＋ＣＯＳ ｑＴ ｓ‘１ｎ Ｏ Ｄ Ｃ．Ｄ． ＝ ２×ｃ一 ，＋譬× ＝一鲁。 解析 根据三角函数的定义，点Ｍ（ＣＯＳＸ，０）， （２）由（１）知， △ ｗ面积为 ｌ ｓｉｎｘｃｏｓｘｌ。在直角△ｏＰＭ ｅＦ，根据 ｓｉ ｓｉｎ…ｓ ×（＿竽卜了４， ＊ 。 高中生之友．２ｏ１４ １１上旬刊 责辅蔡志敏ｓｃｈｒ０ｄｌｎｇｅｒ１２３＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ （：０ｓ２ ＝１＿２ｓｉｎ２ ＝ｌ一２×（譬） ：÷， 所以ｃ。ｓ（ 一２ ）＝ｃ。ｓ ｃ０ｓ２ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ２ 型）的图像与性质在高考题中出现的频率很高，正 确理解三角函数的性质，掌握三角函数图像的特点 （起点、对称中心（轴）、 Ｊ期等）与画法，利用图像辅 助解题，是解答这类题的常用技巧。 例４ （２０１４年江西卷）已知函数ｆ（ ）＝ ＝（一譬） 了３ １×（一了４）＝一 。 点评本题综合考查了同角三角函数的基本 （ ＋２￣ＯＳ２Ｘ）ｃ。ｓ（２ ＋ ）ｌ勾奇函数，且 詈）＝ｏ，其 关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式，从中可 中 ∈Ｒ，０∈（０，订）。 看出，高考已淡化三角变换公式的复杂转换，注重 （１）求０，０的值； 一些基本公式的运用与计算。值得注意的是，三角 函数值的计算要记得通过角的范围来确定值的正 负，而且要尽量避免判断正负，如本题中ｓｉｎ２￣、 ｅｏｓ２ｏ／的计算就是通过二倍角公式，而不是利用 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １。 考点三、函数Ｙ＝Ａｓｉｎ（出＋ ）的图像与性质 例３（２０１４年安徽卷）若将函数＿厂（ ）＝ｓｉｎ（２ｘ ＋ 丌＿）的图像向右平移ｑｏ个单位，所得图像关于ｙ 轴对称，则 的最小正值是。 ——解析方法１：将，（ ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋—＇＿ＴＩ＿）的图像向 右平移 个单位，得到，（ ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋｛一２ ）的 图像。由该函数的图像关于Ｙ轴对称，可知 ｓｉｎ（手一２ ）＝±１，即ｓｉｎ（２￣一手）＝±１，故２ 一 ＝ ＋号， ｚ，即 ＝ ， ｚ。所以当 ＞０时， ＝ 。 方法２：画出函数／（ ）＝ｓｉｎ（２ ＋手）的图像， 如图所示，将其向右平移得到图像关于Ｙ轴对称，只 要将Ｙ轴左边的对称轴平移到与Ｙ轴重合即可，显 然最小的平移是 ，即 …＝ 。 、 ３ ／， ＼．一 ／ ０ ＼ 点评三角函数（包括正弦型、余弦型、正切 （２）若，（孚）＝一÷， （詈，竹），求 ｓｉｎ（ 十—３３ ＂）的值。 解析（１）－厂（子）＝（ ＋１）ｃ。ｓ（詈＋ ）＝一（。 ＋１）ｓｉｎ０＝０，因为０∈（（１，可），所以ｓｉｎ０≠０。所以ｒｚ ＋１＝０，口＝一１。又因 Ｉ厂（ ）＝（ｏ＋２ｃｏｓ ）ＣＯＳ（２ｘ ＋０）为奇函数，所以ｆ（０）＝ｃｏｓ０＝０。因为 ０∈（０，丌），所以０＝ 。 （２）由（１），得 ）：（２ｃｏｓ 一１）ｃ。ｓ（２ ＋｛ｒ＿） ＝一ｓｉｎ２ＸｅＯＳ２ ＝一 １ ｓｉｎ４ 。因为ｆ（等）＝ 一 鲫÷ ：一“ 一 ，２， （ ，了３１＂，竹）竹 ，，所以ｃ所以∞ 一。ｓ ：一÷。 。 所以ｓｉｎ（ ＋詈）＝ｓｉｎ￣，ｅｏｓ ５耵－＋ｃ。ｓ ｓｉｎ詈＝了４× １ ３ ４—３ 一了 芎 。 点评本题利用了“若奇函数ｌ厂（ ）在 ＝０处有 定义，则－厂（０）＝０”的结论。此外，也可以利用奇函数 的定义，由ｌ厂（～ ）＝ｌ厂（ ），得到ＣＯＳ（一２ ＋０）＝ 一ｃｏｓ（２ ＋ ），结合０∈：０， ），得出０＝ ；或由函 数Ｙ＝。＋２ＣＯＳ 是偶函数，知Ｙ＝ｃｏｓ（２ｘ＋０）必为奇 函数，又０∈（０，１Ｔ），得出０＝ 。 ，考点四、三角函数压Ｚ用题 例５ （２０１４年湖：『匕卷）某实验室一天的温度 （单位： ）随时间ｔ（单，立：ｈ）的变化近似满足函数 关系 ￡）＝１０一 ｃ。ｓ‘ ＂ＩＴ—ｓｉｎ ｆ’ｆ Ｅｏ，２４）。 （１）求实验室这一天的最大温差； 高中 之友＿２０１ ４＿１１＿上制 （２）若要求实验室温度不高于ｌ１ ，则在 段 一时间实验室需要降温？ ｓｉｎＡ＝一 ，【大１为Ｃ＝耵一（Ａ＋Ｂ），所以ｓｉｎＣ＝ 解析 （１）因为ｌ厂（￡）＝１０—２（等ｃ。 ，ｆ￡＋ ｓｉｎ（４＋ ：ｓｉｎＡｃ。ｓＢ＋ｃ。ｓＡｓｉｎＢ：√５ －×（一拿）＋ 寺ｓｉｎ ，ＩＴ ｆ）＝１０—２ｓｉｎ（ 了，ｆ），又ｏ≤ ＜２４，所以 了６×等＝了１。因此，ＡＡＢＣ的面积ｓ＝ １。６ｓｉｎｃ＝ 詈≤ ｔ＋詈 ，一 ≤ｓｉｎ（ ＋詈）≤ 。当 ＝ ÷×３×３ ×了１＝ 。 Ｊ２时，ｓｉｎ（ ￡ ５ －）＝１；当 ＝１４时，ｓｉｎ（ ＋子） 点评在正、余弦定理的选择上，一般遵循“角 ＝一１。于是＿厂（￡）在［０，２４）上取得最大值１２，取得 最小值８。 （２）依题意，当ｆ（ｔ）＞１ｌ时实验室要降温。由 （１）得， ）＝１０—２ｓｉｎ（ 十号），所以１０ —２ｓｉｎ（ ＋詈）＞ｌｌ，即ｓｉｎ‘ ，ｆ ＋詈）＜一 １。义 ｏ≤ ＜２４，因此 ＜ ＋詈＜ １０＜ ＜１８， 故在１０时至１８时实验室需要降温。 点评二＝三角函数应用题主要以正弦型函数为主， 其实质是在一定问题背景下，对Ｙ＝Ａｓｉｎ（ ＋妒）＋ｂ 图像与性质的应用的考查，如丽数的值域、最值、解 角不等式等。本题解题关键是把 ＋ 视为一个整 体，将Ｙ＝Ａｓｉｎ（ｔｏｘ＋ ）＋ｂ的问题转化为Ｙ＝Ａｓｉｎｘ＋ｂ 的问题，化繁为简，降低了思维难度。 考点五、正、余弦定理与解斜三角形 例６（２０１４年山东卷）ＡＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对 的边分别为８，６，ｃ。已知０＝３，ｃｏｓＡ：，了／６Ｂ＝Ａ ＂ＩＴ，。 （１）求ｂ的值； （２）求ＡＡＢＣ的面积。 解析 （１）在△ ＢＣ中，由题意知ｓｉｎＡ＝ ＝ ＝４３、 了，又因为Ｂ＝Ａ＋ ，所以ｓｉｎＢ＝ ｓｉｎ（Ａ＋ Ｔｆ）＝ｃ。ｓＡ＝等。由正弦定理得６＝ ＝ 堂 √３ ３ （２）由Ｂ＝‘４＋｛，得ｃ。ｓＢ＝ｃ。ｓ（４＋詈）＝ ２２ 高中生 友．２０１４１１上旬刊 多用正弦定理、边多用余弦定理”的原则，但在实际 应用中，优先考虑余弦定理，因为用正弦定理要考 虑一解或两解的问题，而用余弦定理则无此问题。 用余弦定理时，要注意检验 边长要符合“任意两 边之和大于第 边”。此外， 角形的面积公式的 选择可根据题中涉及的角来选择 例７（２０ｌ４年北京卷）如ｌ ，在 ＡＡＢＣ中，／＿Ｂ＝ ，ＡＢ＝８，点Ｄ在 日ｃ边上，且ＣＤ：２，ｃｏｓ／＿ＡＤＣ：—二－１。 （１）求ｓｉｎ／＿ＢＡＤ； Ｃ （２）求ＢＤ，ＡＣ的长。 解析（１）４￣＇ＡＡＤＣ中，因为ｃ。ｓ／ＡＤＣ＝＿＿１， 所以ｓｉｎ ＡＤｃ：生 。所以 ｉｎ ＢＡＤ：ｓｉｎ（ ＡＤｃ ＡＢ）＝ｓｉｎ／＿ＡＤＣｃｏｓ Ｂ—ＣＯＳＺ＿ＡＤＣｓｉｎ Ｂ ４√３ １ １ √３ ３，／３ 一了 ＿＿。 （２）ＡＡＢＤ中，由正弦定理，得ＢＤ＝ ：ｓｉｎＺＡＤＢ 蜷 在△４ … ｃ中 。” ，由触定“ 理得，ＡＣ ＝ＡＢ２＋曰ｃ２—２ＡＢ・ＢＣ．ｅｏｓＢ＝８ ＋５ 一２ ８×５×÷＝４９。所以Ａｃ＝７。 点评正、余弦定理在平面几何中的应用，应 将题设条件集中于某一个三角形中，创造 适合运 用正、余弦定理的条件。此外，有关平面几何中三 角形的有关性质也应熟悉，如本题中用到的“ｊ角 形的一个外角等于另外两个内角的和”。 考点六、三角函数与向量 例８（２０１４年辽宁卷）在ＡＡＢＣ巾，内角Ａ，Ｂ， —解析（１）由／（ ）＝ＸＣＯＳＸ—ｓｉｎｘ得＿／’（ ）＝ＣＯＳＸ ＸＳｉｎｘ—ｃ。ｓ ＝一ｘｓｉｎ 。因为在区间（０，— ］上 ｃ的对边分别为。，ｂ，ｃ，且ａ＞ｃ，已知 ・Ｂｃ＝２，ｂ ＝３，ｃｏｓＢ＝ １，厂（ｌ ）＝一 ｓｉｎ ＜０，所以 ）在区间［０， ７ｒ］上单调 习 ： 递减。从而厂（ ） ０）＝０。 （１）ａ和ｃ的值； （２）ＣＯＳ（Ｂ—Ｃ）的值。 解析（１）南ＢＡ・ＢＣ＝２，得ｃ・ａ・ｃｏｓＢ＝２。 （２）当 ＞０时，‘‘ 苎＞０”等价于“ｓｉ似一似＞ 又ｃｏｓＢ＝÷，所以ａｃ＝６。① 由余弦定理得ａ ＋ｃ ：ｂ ＋２ａｃｃｏｓＢ。又ｂ：３， 所以ａ ＋ｃ ＝９＋２×２＝１３。② 由①②，解得 ＝２，Ｃ＝３或。＝３，Ｃ＝２。 因为ａ＞ｃ，所以ａ＝３，ｃ＝２。 （２）．￣ＡＡＢＣ中，ｓｉｎＢ：＼ ： ， 由正弦定理，得ｓｉｎＣ＝ Ｃ ｓｉｎＢ＝了２× ＝ ４ 。 因为ａ＝ｂ＞Ｃ，所以Ｃ为锐角。 因此ｃｏｓｃ： ＝÷。 于是，ＣＯＳ（Ｂ—Ｃ）＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＢｓｉｎＣ １ ７ ２，／２ ４４２ ２３ 丁 。 点评 角函数与平面向量的综合体现在三 角甬数恒等变换公式、性质与图像与平面的向量的 数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间的 交汇，一般是先利 ｝｝ｊ向量知识建立三角函数关系 式，再利用ｊ角函数知识求解；或是将三角变换公 式与正余弦定理交织在一起。平面向量主要是起 一个描述题设条件的作用，其实质是三角的问题。 考点七、三角函数与导数 例９ （２０１４年北京卷）已知ｆ（ ）＝ＸＣＯＳＸ— ｓｉｎｘ， ［０， ］。 （１）求证 ）≤０； （２）。＜一ｓｍｘ＜ｂ在（０， ）上恒成立，求。的最 大值与ｂ的最小值。 ０”；“一ＳｌｎＸ＜６’’等价于“ｓｉｎ—ｂ ＜０”。 令ｇ（ ）＝ｓｉｎｘ一“，ｊⅡ０ ｇ （ ）７－－ＣＯＳＸ—Ｃ。 当ｃ≤０时，ｇ （ ）＞ｌ１，ｇ（ ）在（０，— ）上单调递 增，ｇ（ ）＞ｇ（０）＝０对任意 ∈（ｏ， ）恒成立。 当ｃ≥ｌ时，对任意 ∈（Ｏ， ＂ｉＴ），ｇ （ ）＝ｃ。ＳＸ—ｃ ＜０，ｇ（ ）在（０， ）上单凋递减，ｇ（ ）＜ｇ（０）＝０对 任意 ∈（０，７ －）恒成立。 当０＜ｃ＜１时，存在惟一的 （０， ），使得 ｇ （‰）＝ＣＯＳＸ０一Ｃ＝０。 因为ｇ（ ）在区间［０．‰］上是增函数，所以ｇ（‰） ＞ｇ（Ｏ）＝０。由ｇ（ ）＞Ｏ对任意 ∈（０， ，ｆ）恒成立，则 ｇ（号）＝ｌ一号ｃ＞／０，即０ ｃ≤ 。 综上所述，当。≤ 时，ｇ（ ）＞０对任意 ∈（０， ．－ｆ）恒成立；当（≥１时，ｇ（ ）＜０对任意 ∈（０， Ｔｉ＂）恒成立。 因此，若。＜ ｓｌｎｘ＜ｂ对任意 （０，詈）恒成立， 则ｎ的最大值为三，６的最小值为１。 点评导数作为Ｔ具，应用非常广泛。近几年的 高考题出现了一些导数和 角函数相结合的题目，给 人耳目一新的感觉，给三： 函数问题注入了新的血液， 这也成为今后考查： 角函数的一个重要方向。 （作者单位：江西省南昌市外国语学校） 辩 高中生之友＿２０ １１ｌ上旬刊黟
