用技术‘ 文章编号：１６７４—９１４６（２０１０）１ １—００９４—０３ 教学建模 相餐问题研究 王庆云，霍桂利 （山西建筑职业技术学院，山西 太原摘０３０００６） 要：通过对比数学模型与数学建模两者的不同．介绍了数学建模的一般步骤，并对数学模型进行了分类，提出 了培养数学建模与能力的方法。 关键词：数学模型；数学建模；综合素质；数据处理能力 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标志码：Ａ １ 数学模型与数学建模 这一步骤是建模的关键所在，因为其后的工作和结 果都是建立在这些假设的基础之上的，换言之，科 学研究揭示的并非绝对真理。它揭示的只是一般规 律．即假如这些提出的假设是正确的，那么得到的 结果也是正确的。 模型是客观实体有关属性的模拟。陈列在橱窗 中的飞机模型外形应当像真正的飞机，至于它是否 真的能飞则无关紧要：然而参加航模比赛的飞机模 型则全然不同。如果飞行性能不佳，外形再像飞 机，也不能算是一个好的模型。模型不一定是对实 体的一种仿真，也可以是对实体的某些基本属性的 抽象。例如，一张地质图并不需要用实物来模拟， 它可以用抽象的符号、文字和数字来反映该地区的 地质结构。数学模型（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅ１）也是一 ３）在所作假设的基础上，利用适当的数学工 具去解析各变量之间的关系，建立相应的数学结 构，即建立数学模型。采用何种数学结构、数学工 具要看实际问题而定，并无固定的模式。因此，数 学的任何一部分在建模中都有可能被用到，而同一 个实际问题也可以用不同的数学方法建立起不同的 模型。所以．在能够达到预期目的的前提下，所用 的数学工具越简单越好。 ４）模型求解。为了得到结果，建模者还应当 对模型进行求解，在无法得出或难以得出解析解 种模拟．是用数学符号、数学公式、程序、图形等 对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律。 或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优 策略或较好策略。数学模型并非现实问题的直接翻 版，它的建立常常既需要人们对现实问题做深入细 微的观察和分析．又需要人们灵活巧妙地利用各种 时，也应当借助计算机等其他工具求出数值解。 ５）模型的分析与检验。如前所说，建立数学 模型研究实际课题。得到何种假设．就会有何种结 果。那么，假设是否正确，建模者还应当反之用所 得出的结果来检验它。建立数学模型的目的是为了 认识世界、了解世界，进而改造世界，建模的结果 应当能解释已知现象，预测未来，因此，只有经得 数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼 出数学模型的过程就称为数学建模（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ）Ｉ１１。 ２数学建模的一般步骤 １）掌握问题的实际背景，明确建模的目的， 收集了解必要的数据资料。这一步骤如果只是做好 准备工作，没有对实际问题的细致了解，就无法建 住实践检验的结果才能被世人所广泛接受。模型求 解并非建模的最终结果，模型的检验也应当是建模 模。为了对问题有所了解，有时还要求建模者对问 题做一番深入细致地调查研究。 的重要步骤之一，只有在证明了建模结果是经得起 实践检验以后．建模者才能认为完成了预定的研究 任务。 ２）在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析计算，找出其主要因素，经过必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 收稿日期：２０１０—０６—０６；修回日期：２０１０—０７—０７ 如果检验出的结果与事实不符。只要不是在求 解中存在推导或计算上的错误，那就必须分析检查 作者简介：王庆云（１９５９一），女，山西介休人，Ｈ－Ｌ－，教授，主要从事数学教育教学改革研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｑｙ５９０９＠１２６．ｃｏｍ。 ＳＣＩＩ－ＴＥＣＨ ＩＮＮＯＶＡＴＩＯＮ＆ＰＲＯＤＵＣＴＭＴＹ 。。。。。。。‘。 。。。‘。●。。‘ 。。。 。。 。 。。。。。。一 一０９４一ＬＮ—ｏ． 一Ｎｏｖ．２０１０，Ｔｏｔａｌ Ｎｏ・２０２ 假设中是否存在不合理或错误之处，修改假设并重 新建模，直到结果正确为至。综上所述，数学建模 的过程可以概括为：观察实际问题一（数据处理）一 提出假设一建模一求解一检验一修改或应用嘲。 ３数学模型的分类 基于不同的角度和目的，数学模型可以有多种 不同的分类法。根据人们对实际问题了解程度的不 同，其数学模型可以归结为不同类型的模型。把建 立数学模型研究实际问题假设为一只箱子，如果问 题的机理比较清楚，内在关系较为简单，这样的模 型通常称之为“白箱”模型；如果问题的机理极为 复杂，人们对它的了解极为肤浅，几乎无法加以精 确地进行定量分析，这样的模型就称之为“黑箱” 模型；而介于两者之间的模型，就称之为“灰箱” 模型［３１。当然，这种分类方法是比较模糊的，是相 对而言的。随着科学技术的日益更新，模型之问也 会进行角色转换。 根据模型中变量的特征进行分类，模型又可分 为连续型、离散型或确定性、随机型模型等：根据 建模中所用的数学方法进行分类，又可分为初等、 微分方程、差分方程、优化等模型１４］。此外，对一 些人们较为重视或对人类活动影响较大的数学模 型，也可以按研究课题的实际范畴来进行分类，如 人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模 型、基因模型等。 ４数学建模与能力的培养 在高校中开设数学建模课程的主要目的并非单 纯为了传授知识，更主要的是为了提高学生的综合 素质，增强他们应用数学知识来解决实际问题的能 力。因此，学生在学习数学建模时应当特别注意自 身能力的培养和锻炼。要想知道如何建模，除了学 习基本技能与基本技巧之外，更重要的是参与，在 建模实践中获取真知。在数学建模实践的每一步中 都蕴含着对能力的锻炼，在调查研究阶段，需要用 到观察能力、分析能力和数据处理能力等阎。在提 出假设时。又需要用到想象力和归纳简化能力 实 际问题经常是十分复杂的。既存在着必然的因果关 系，也存在某些偶然的因果关系，这就需要从错综 复杂的现象中找出主要因素，确定变量的取舍并找 出变量问的内在联系。通常假设条件是围绕着两个 目的提出的，一类假设是为了简化问题、突出主要 因素；另一类则是为了应用某些数学知识或其他学 科的知识而提出的。但不管哪一类假设，都必须尽 可能地符合实际，既要做到不失真或少失真，又要 应用技 便于使用数学方法进行处理，两者应尽量兼顾。例 如，牛顿推导出万有引力定律所用的假设主要有４ 条，即开普勒的三大定律和牛顿的第二定律，他所 做的工作表明，如果这些假设是对的，如果推导过 程也是正确的，那么万有引力定律也是对的。万有 引力被实践验证是正确的，这就同样引证了开普勒 的三大定律和牛顿第二定律的正确性。当然，人的 能力各有大小．不可能要求人人都有如此重大的创 举。但既然从事研究，总会遇到一些别人没有做过 的事。碰到别人没有碰到的困难，因此，也需要有 创新的能力，这种能力不是与生俱来的，建模实践 为此就提供了一个培养创新能力的机会。当然，要 出色地完成建模任务还需要用到许多其他的能力， 如设计算法、编写程序的能力，熟练使用计算机的 能力，撰写研究报告或研究论文的能力，熟练应用 外语的能力等．因此，学习数学建模和参与建模实 践，实际上是一个综合能力、综合素质培养和提高 的过程。 ５实例分析 根据笔者学习数学建模的注意力培养应具备的 各种综合能力的过程，举一些较简单的实例来进行 论证。 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后 由他妻子开车接他回家。某天，他比平时提早３０ ａｒｉｎ 到达预定地点，于是此人就沿着妻子来接他的方向 步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时 提前了ｌ０ ａｒｉｎ到家，问此人共步行了多长时间？假 如他的妻子遇到他后还像往常一样，仍旧载着他开 往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提 前的１０ ａｒｉｎ从何而来？显然是由于节省了从相遇点 到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘 故，故由相遇点到会合点需开车５ ｍｉｎ。而此人提 前３０ ａｒｉｎ到达会合点．故相遇时他已步行２５ ｒａｉｎ。 又如交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡 状态，即亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多 长时间。 设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯 起的是警告作用，假如能停车，司机应立即停车。 然而，停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍 将向前行驶一段距离Ｌ。因此，在离街口距离为Ｌ 处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上）。对 于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。 马路的宽度Ｄ是容易测得的．问题的关键在于 科拮锄葡 ！ ２ｏｌｏ￣１１月总第２０２ 一０９５— 用技术互 的确定。为确定三，还应当将 划分为 和 两 段，其中 是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车 的反应时间内驶过的路程， 为刹车制动后车辆驶 过的路程。 较容易计算，交通部门对司机的平均 空气的阻力系数可以通过查资料得出，若设．ｊ｝＝ ０．０５并仍设ｔ＝４ Ｓ，则可求得 ７３．６ ｍ。由于考查 了空气阻力，这一结果应当比用方法１得到的结果 更接近于实际高度。 问题１：方法１既然是不考察空气阻力时得出 的公式，那么在式（６）中令ｋ＝０应当还原成自由 落体公式。但式（６）中ｋ在分母上，不能直接令 ｋ＝０，这一困难如何解决呢？办法不难找到。只要 反应时间ｔ，早有测算，而此街道的行驶速度Ｖ也是 交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可 以另建模型研究它，则￡ ＝ｖｔ 。刹车距离 ：既可利 用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算 出来。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了 第一步，先计算出Ｌ的距离应多大才能使看见黄灯 时位于其后的司机能够停得住车。第二步，黄灯亮 的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即 至少 应当达到（￡＋Ｄ）／１Ｊ。 对于一些较简单的问题，只需要应用初等数学 或简单的微积分知识即可建模加以研究 而对于一 些过于复杂的“黑箱”模型，如果目前还没有可能 做出深入细致的研究，那么，应用初等方法对它先 作一番粗略的分析研究也是十分有意义的。下面， 笔者将结合实例，介绍一些对问题作粗略研究的方 法。 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能 的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头 听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地 测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请分析 这一问题。 方法１：假定空气阻力不计，可直接利用自由 落体运动的公式ｈ＝１／２ｇｔ 来计算。例如，设ｔ＝４ ｓ， ｇ＝９．８１ ｍ／ｓ ，则可求得ｈ￣－７８．５ ｍ。 方法２：除去地球吸引力外，对石块下落影响 最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可 设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数Ｋ 为常数，由牛顿第二定律可得 Ｆ＝ｍｄｖ／ｄｔ＝ｍｇ－Ｋｖ． （１） 在等式两边同除以石块质量ｍ，并令ｋ＝ＫＩｍ，则有 ｄｖ／ｄｔ＝ｇ－ｋｖ． （２） 这是一个一阶常系数线性微分方程，其解为 ｖ＝ｃｅ山 ． （３） 代入初始条件 （０）＝Ｏ，得ｃ＝一 ，故有 ｖ＝ｇ／ｋ一 ・ｅ ． （４） 再积分一次．得 ｈ＝ｇ／ｋ・ ｅ￣ｔ＋ｃ． （５） 代人初始条件 （０）＝０，得到计算山崖高度的公式 ｈ＝ｇ／ｋ．ｆ＿ ・ｅ ＝ｇ／ｋ（ｔ－１／ｋ・ｅ－ｋｔ）一 ．（６） ［ＳＣＩ－ＴＥＣＨ ｏＶＡＴ１０Ｎ＆ＰＲ０ＤｕｃＴⅣＩＴＹ 将ｅ 用泰勒公式展开并令卜＋１）＋，困难就解决了。 问题２：听到回声再按跑表，计算得到的时间 中包含了反应时问，反应时间虽然不长，但石块落 地时的速度已较大，对计算结果的影响仍然较大。 如何解决这一问题呢？如果无法知道某次具体测量 时的反应时问究竟有多长，只好用平均反应时间来 代替它。例如，不妨设平均反应时间为０．１ ｓ．还可 多测几次反应时间，用测得时间的平均值作为测量 结果即可，假如仍设ｔ＝４ Ｓ，扣除反应时间后应为 ３．９ Ｓ，代入式（６）求得ｈ一６９．９ ｍ。 问题３：其实，石块下落的时间不是３．９ ｍ，因 为这３．９ ｍ中还包含了回声传回来所需要的时间。 为此，令石块下落的真正时间为ｔ ，声音传回来的 时间记为ｔ，，还得解一个方程组 ＝ ｆ 。＋１／ｋ￣ｅ－ｋｔｔ）－ｇｌｋ ｈ＝３４０ｔ ｌ＋￡２＝３．９ 在该方程组中，已假定声音速度为３４０ ｍ／ｓ。而 这一方程组是非线性的．求解不太容易。为了大致 估算一下崖高竟然要去解一个非线性方程组似乎不 合情理。相对于石块速度而言，声音速度要快得 多，可用方法２先求一次ｈ，令ｔｚ＝ｈ／３４０，校正ｔ， 求石块下落时间ｔ 一ｚ—ｔ 。将ｔ。代入式（７）再算一 次，得出崖高的近似值。例如，若第一次算得 ＝ ６９．９ ｍ，则ｔ２—０．２１ ｓ，故ｔｌ一３．６９ ｓ，进而可求得 ｈ ６２．３ １ＴＩ。 综上所述，直觉是数学发明的工具，而逻辑则 是证明的工作，直觉只有在经过逻辑上完全严禁的 证明才会被人们普遍地接受。逻辑推理能力也是建 模必须具备的素质之一，大多数模型就是从所研究 的问题应当具备的一些基本属性出发，运用逻辑推 理方法或者导出满足这些基本属性的解来，或者证 明在原有观念下问题不可能有解．从而从根本上改 变了人们对这一问题的看法。因此，敏锐的观察能 力与严密的逻辑推理能力才是科学研（下转第９９页） 应用技曩 述概念的内部结构，即类的属性，属性用来描述类 和实例的特性。 ３．５生成实例与形式化 在选用的工具中，定义要生成实例的类，接着 生成这些类的一个或多个实例，最后填充实例的属 性值。 总之．通过上述过程完成了领域内的术语及术 语间关系的清晰地形式化规范，对该领域涉及到的 参考文献： 【１】 Ｇｒｕｂｅｒ Ｔ Ｒ．Ａ Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔＯ Ｐｏｒｔａｂｌｅ Ｏｎｔｏｌｏｇｙ Ｓｐｅｃｉｉｆｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ，１９９３，５（２）：１９９—２２０． 建方法，并给出具体的步骤，这种方法具有很强的 逻辑性和易操作性，可以在领域本体构建时采用。 『２１何克清，何扬帆，王种，等．本体元建模理论与方法及其应 用［Ｍ】．北京：科学出版社，２００８． 【３】 李景．本体理论在文献检索系统中的应用研究［Ｍ］．北京： 北京图书馆出版社．２００５． ［４］ 何琳．领域本体的半自动构建及检索研究【Ｍ】．南京：东南 大学出版社 ２００９． 概念、每个概念的不同特性和属性，以及属性的约 束进行明确地形式化描述构成了领域本体。 ４结束语 本体的构建是一项庞杂又易出错的工作，它的 【５１张海藩．软件ｘ－＃￣ＩＭ］．北京：人民邮电出版社，２００２． 【６】黄坷萍，蒋昌俊．基于本体的城市交通的知识分析和推理 构建和完善是一个反复迭代的过程，成熟易用的建 模方法对构建过程能起到指导作用，是本体构建的 理论基础。本文分析了现有的本体构建方法，结合 软件工程的思想和方法，提出了一种领域本体的构 Ｕ］．计算机科学，２００７，２０（２）１２—１８． （责任编辑王雯） Ｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｄｏｍａｉｎ Ｏｎｔｏｌｏｇｙ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ＷＡＮＧ Ｇａｎｇ．ＷＵ Ｂｏ （Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓ ｔｈｅｒｅ’Ｓ ｎｏ ｕｎｉｆｏｒｍ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｎｔｏｌｏｇｙ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ｏｎｔｏｌｏｇｙ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｕｒｅ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｓ ａ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ，ｅｌａｂｏｒａｔｅｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｓｔｅｐｓ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｓｐｅｃｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｎｔｏｌｏｇｙ；ｄｏｍａｉｎ ｏｎｔｏｌｏｇｙ；ｏｎｔｏｌｏｇｙ ｍｏｄｅｌｉｎｇ （上接第９６页） 究必须具备的两项基本素质。 参考文献： 版社．１９９９：１６５－１６７． ［４】Ｐａｐａｄｉｍｉｔｒｉｏｕ Ｃ Ｈ，ｓｃｅｉ ｉｔｚ Ｋ．组合最优化——算法和复杂 性【Ｍ１．刘振宏，蔡茂诚，译．北京：清华大学出版社，１９８８： ２０３－２１３． …１ 叶其孝．数学建模教育与国际数学建模竞赛ＩＭ】．北京：高 等教育出版社，１９９４：３２～３３． 【２】李大潜．中国大学生数学建模竞赛【Ｍ１．２版．北京：高等教 育出版社，２００１：５４—５６． 【５］ 李尚志．数学建模竞赛教程［Ｍ】．南京：江苏教育出版社， １９９６：１０－１３． ［３】邢文训，谢金星．现代优化计算方法ｆＭ】．北京：清华大学出 （实习编辑李洋） Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｒｅｌｅｖａｎｔ Ｉｓｓｕｅｓ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ Ｗａｎｇ Ｑｉｎｇ－ｙｕｎ，Ｈｕｏ Ｇｕｉ－ｌｉ （Ｓｈａｎｘｉ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｉｙｕａｎ ０３０００６ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｉｎ一 ￣ｏｄｕｃｅｄ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｔｅｐｓ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｉｆｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍｏｄｅ１．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｃｕｌｔｉｖａｔｉｎｇ ａｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｍｏｄｅｌ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ；ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｑｕａｌｉｔｙ；ｄａｔａ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｃａｐａｃｉｙ ｔ２ｏｌｏ￣－１１月总第２０２期ｌ—Ｏ＿Ｏ＿Ｏ一 科接圈葡墨塞苎塑ｌ
