宝安区高中数学教师教育教学技能比赛解题比赛试题

1．如图在ABC中，C4,CACB48，点D在BC边上，且3. AD52,cosADB····· ·· · · ·· · · ·· · ··· 题 答 码 号 得 电话 不 内 线名 姓 订 装 ·· · · ·· · · ·校···学·····················5（Ⅰ）求AC,CD的长； （Ⅱ）求cosBAD的值.

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2．已知

an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN,bn是an和an1bn21bn2,nN*，求证：cn是等差数列；

2n的等差中项. （Ⅰ）设cn（Ⅱ）设a1d,Tn

.

1k1nbn,nN，求证：2*112. 2dk1Tkn第2页 （共8页）

3．如图，在四棱锥PABCD中，已知PB底面

ABCD,BCAB,ADBC,ABAD2,CDPD，异面直线PA和CD所成角等于60. （1）求证: 平面PCD平面PBD；

（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；

（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面

BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由.

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4．设二次函数f(x)(k4)x2kx(kR)，对任意实数x，有f(x)6x2恒

成立；数列{an}满足an1f(an). （1）求函数f(x)的解析式和值域；

（2）试写出一个区间(a,b)，使得当a1(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由； （3）已知a113，是否存在非零整数，使得对任意nN，都有log11131log3log311n(121)n12nlogn23log32 恒成2a12a11122an立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

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·····································装 订 线 内 不 得 答 题······································ ···················· ·· · · ·· · · ·· · ··· 题 答 码 号 得 电话 不 内 线名 姓 订 装 ·· · · ·· · · ·校···学·····················5．气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，

在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关. （Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有

两天降雨的概率； （Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x（单位：毫米）与其出售的快餐份数

y成

线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：

降雨量（毫米） 1 2 3 4 5 快餐数（份） 50 85 115 140 160 试建立

y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降

雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数） 附注：回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

bn(xix)(yiy)i1n，aybx

(xx)2ii1

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6．设函数fx（Ⅰ）当曲线yalnxxa2aR. xfx在点1，f,1处的切线与直线yx垂直时，求a的值；

a2（Ⅱ）若函数Fxfx有两个零点，求实数a的取值范围.

4x.

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x2y21的焦点G与y轴7．已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，过椭圆

9252垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|=2|GH| （I） 求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2，分别交C于点A,B和点M,N，设线段

AB,MN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点； （Ⅲ）在（ⅱ）的条件下，求FPQ外接圆面积的最小值。

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的实数解 第8页 （共8页）·····································装 订 线 内 不 得 答 题······································ 2x2y21x2y28．求方程组 z 21y2z2x21z