数学建模模型的建立

姓名：赵 * 学号：************ 班级：信计08-1 1

工厂升级方案的优化模型

摘要：随着科学技术的飞速发展，各种产品日新月异，工厂面临着提高产品科技含量和优

化改革方案的双重挑战。本文讨论工厂升级的优化问题，即分配各工厂的升级以使公司获得最大的利润，需要对其建立模型并借助LINGO软件对非线性规划问题进行了求解， 通过比较利润最大值和收益率得出了两个方案的优劣性并在此基础上给出一个更好的提案。

关键词：工厂升级、优化、非线性规划、目标函数、约束条件 问题重述：

某公司所属的高新技术研究所开发了一种新的产品W200X，该公司现有三个工厂，都生产普通的产品W100X。公司计划将现有工厂升级，升级后的工厂将能产生W100X和W200X两种产品；假设各工厂现有的工人数和预计需要的升级费用如下： 工厂 A1 A2 A3 工人数 30 40 60 升级费（万元） 10 17.5 20 其中A1离该公司的研究所最近，A2是最新最大的工厂。升级过程需要一周，在此期间，工厂将停产。该公司在过去的几个月进行了市场调研，W100X现有的批发价为400元。预测每种产品一个月的需求量随价格变换的数据：

价格（元） 需求量（个） 240 W100X 400 480 600 800 15800 11300 9350 6650 1950 W200X 价格（元） 需求量（个） 400 600 760 1000 1200 27000 16500 12100 5400 2950 工人的工资是45元/小时。工厂一星期做工40小时。工人数为固定数值。W100X的零

件成本40元，需1.5小时工作量；W200X的零件成本为元，需1.75小时工作量；每个W100X产品需要两个老芯片，每个W200X产品需要两个新芯片，该公司提供芯片的生产方程为：

公司老板要求：

两位副总裁分别提出了方案1，方案2，如下：

方案1：只让A1工厂升级，只生产新产品W200X； 方案2：所有工厂都升级，可生产两种产品。 要求：

（1）研究每一种方案，包括你自己的一个提案，总裁希望基于你的研究推出一个最好的方案，他非常非货币损失和利益。

（2）问题陈述，方案的模型和分析，寻求最佳方案的方法，结果的分析。 （3）下个月第几个工厂升级，每种产品的产量和定价。

问题分析：

2

题目给出了某公司三个工厂的人数，升级费用，以及对所生产产品的市场调查。对与工厂如何升级，题目分别给出了两套方案，并要求用作对比。 考虑到产品的市场批发价与市场需求量有着必然的关系，我们考虑首先将两种产品的市场批发价与需求量数据进行三次曲线拟合得到市场价与需求量的函数关系。建立模型，将纯利润作为目标函数，对于拟合曲线，当价格很高时市场需求量便降到很低的水平，显然这是不合理的，于是我们将价格水平在一个比较合理的水平作为一个约束条件。又生产产品数量不大于市场需求量，生产产品数量不大与工厂的生产水平等，我们就可以建立一个完整的非线性规划了。

符号说明：

Y2：W100X 产品的批发价格。 Y1：W200X产品的批发价格。

X4：A1工厂生产W100X 产品的数量。 X1：A1工厂生产W200X产品的数量。 X2：A2工厂生产W100X 产品的数量。 X5：A2工厂生产W200X 产品的数量。 X3：A3工厂生产W100X 产品的数量。 X6：A3工厂生产W200X 产品的数量。 Mi: Ai工厂升级与否。

模型假设：

1.假设价格与需求量之间的关系稳定。 2.假设每月按四星期计算。 3.假设工厂升级为1，不升级为0。

模型建立与求解：

方案1的模型建立与求解：

假设 A1工厂升级当月生产X1件W200X 产品，价格为y1 ; A2工厂和 A3工厂每月生产(X2+X3) 件W100X 产品，价格为y2 。则升级当月的总收入为：X1*y1+(X2+X3)*y2 升级当月总支出为： 100000+45*X1*1.75+(X2+X3)*1.5*45+(X2+X3)*40+*X1 目标函数： 总收入-总支出 约束条件如下：

（1）该公司提供芯片的总数不超过最大值10万个，即16*(x2+x3)+6*x1100000 。 （2）A1工厂生产W200X 产品的工作时不超过3600小时，即1.75*X1 3600 。 （3）A2 工厂生产W100X 产品的工作时不超过00小时，即 1.5*X2 00。 （4） A3工厂生产W100X 产品的工作时不超过9600小时，即1.5*X3 9600 。 （5）W100X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y2 240; y2 800;

x2+x3 15630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3);

3

（6）W200X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y1 400; y1 1200;

x1 178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3); （7）所有决策变量为非负。

综合以上分析，建立的数学模型如下：

max x1*y1+(x2+x3)*y2-100000-45*x1*1.75-(x2+x3)*1.5*45-(x2+x3)*40-*x1 S.T 16*(x2+x3)+6*x1 100000 1.75*x1 3600 1.5*x2 00 1.5*x3 9600 y2 240 y2 800 y1 400 y1 1200 x1 178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3) x2+x3 15630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3) xi 0 yj 0 i=1,2,3 j=1,2由LINGO软件解得：

Local optimal solution found at iteration: 226252 Objective value: 5014751.

Variable Value Reduced Cost X1 2057.000 -1057.250 Y1 1200.000 0.000000 X2 3594.000 -297.5196 X3 1884.000 -297.5196 Y2 4.1900 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 5014751. 1.000000 2 10.00000 0.000000 3 0.2500000 0.000000 4 1009.000 0.000000 5 6774.000 0.000000 6 404.1900 0.000000 7 155.8100 0.000000 8 800.0000 0.000000 9 0.000000 2057.000

4

10 545.7114 0.000000 11 -0.3879980E-04 239.1704

方案2的模型建立与求解：

假设A1工厂、A2 工厂和 A3工厂升级当月生产X1 、X5、X6 件W200X 产品，价格为y1 。A1工厂、A2 工厂和 A3工厂升级当月生产X2 、X3、x4 件 W100X产品，价格为y2 。则升级当月的总收入为：(x1+x5+x6)*y1+(X2+X3+x4)*y2

升级当月总支出为：

475000+45*(x1+x5+x6)*1.75+(X2+X3+x4)*1.5*45+(X2+X3+x4)*40+*(x1+x5+x6) 目标函数：总收入-总支出 约束条件如下：

（1）该公司提供芯片的总数不超过最大值 ，即16*(X2+X3+x4)+6*(x1+x5+x6)100000 。 （2）A1工厂生产W200X 产品和W100X产品的工作时不超过4800小，即 1.75*X1+1.5*x4 3600 。

（3）A2 工厂生产W200X 产品和W100X产品的工作时不超过00小时，即 1.5*X2 +1.75*x54800。

（4）A3工厂生产W200X 产品和W100X产品的工作时不超过9600小时，即1.5*X3+1.75*x6 7200 。

（5）W100X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y2 240; y2 800; x2+x3+x4 15630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3);

（6）W200X 产品的价格与需求量满足的变化规律，y1 400; y1 1200; (x1+x5+x6) 178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3); （7）所有决策变量为非负。

综合以上分析，建立的数学模型如下：

MAX (x1+x5+x6)*y1+(x2+x3+x4)*y2-47.5e+004-(x1+x5+x6)*1.75*45-(x2+x3+x4)*1.5*45-(x2+x3+x4)*40-(x1+x5+x6)*S.T 16*(x2+x3+x4)+6*(x1+x5+x6)100000 1.75*x1+1.5*x43600 1.5*x2+1.75*x54800 1.5*x3+1.75*x67200 y2240 y2800 y1400 y11200 x1+x5+x6178500+7383*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3) x2+x3+x415630-2688*y2^(1/2)+6724*y2^(1/3) xi0 yj0 i=1,2,3,4,5 ,6 j=1,2;

5

由LINGO软件解得：

Local optimal solution found at iteration: 3954 Objective value: 67363.

Variable Value Reduced Cost X1 372.0000 0.000000 X5 2478.000 0.000000 X6 3030.000 0.000000 Y1 994.1869 0.000000 X2 309.0000 -0.1968419 X3 1265.000 -0.1968432 X4 1966.000 -0.1968494 Y2 730.3574 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 67363. 1.000000 2 8080.000 0.000000 3 0.000000 308.2956 4 0.000000 308.2956 5 0.000000 308.2956 6 490.3574 0.000000 7 69.260 0.000000 8 594.1869 0.000000 9 205.8131 0.000000 10 0.000000 311.9196 11 0.000000 160.2172

综合以上分析可知：方案2比方案1的总收入大，故方案2优于方案1；但方案2的收益率却没有方案1的高。在这两个方案的基础上给出一个更好的提案如下：

假设 A1工厂升级当月生产(m1*s1+(1-m1)*r1) 件W100X 产品，价格为y2 ; A2工厂升级当月生产(m2*s2+(1-m2)*r2) 件W100X 产品，价格为y2 ; A3工厂升级当月生产(m3*s3+(1-m3)*r3) 件W100X 产品，价格为y2 ; A1工厂、 A2工厂和A3 工厂升级当月生产t1 、t2、t3 件 W200X产品，价格为y1 。则升级当月的总收入为：

(m1*s1+(1-m1)*r1)*y2+m1*t1*y1+(m2*s2+(1-m2)*r2)*y2+m2*t2*y1+(m3*s3+(1-m3)*r3)*y2+m3*t3*y1

升级当月总支出为：

((m1*s1+(1-m1)*r1)*1.5+m1*t1*1.75)*45+((m2*s2+(1-m2)*r2)*1.5+m2*t2*1.75)*45+((m3*s3+(1-m3)*r3)*1.5+m3*t3*1.75)*45+(m1*s1+(1-m1)*r1)*40+m1*t1*+(m2*s2+(1-m2)*r2)*40+m2*t2*+(m3*s3+(1-m3)*r3)*40+m3*t3*+m1*100000+m2*175000+m3*200000 目标函数：总收入-总支出

6

约束条件如下：

（1） 该公司提供芯片的总数不超过最大值 ，即

16*(m1*s1+m2*s2+m3*s3+(1-m1)*r1+(1-m2)*r2+(1-m3)*r3)+6*(m1*t1+m2*t2+m3*t3)<=100000

（2） A1工厂生产W100X 产品和W200X 产品的总工作时不超过3600小时，即 1.5*(m1*s1+(1-m1)*r1)+1.75*m1*t1<=(120*m1+(1-m1)*160)*30

（3） A2工厂生产W100X 产品和W200X 产品的工作时不超过4800小时，即 1.5*(m2*s2+(1-m2)*r2)+1.75*m2*t2<=(120*m2+(1-m2)*160)*40

（4）A3 工厂生产W100X 产品和W200X 产品的工作时不超过7200小时，即 1.5*(m3*s3+(1-m3)*r3)+1.75*m3*t3<=(120*m3+(1-m3)*160)*60 （5）W100X 产品的价格与数量满足的变化规律：y2 240; y2 800

m1*s1+(1-m1)*r1+m2*s2+(1-m2)*r2+m3*s3+(1-m3)*r3<=15630-2688*y2^(1/2)+6742*y2^(1/3)

（6）W200X 产品的价格与数量满足的变化规律：y1 400; y1 1200 m1*t1+m2*t2+m3*t3<=178500+7387*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3) （7）所有决策变量为非负。

综合以上分析，建立的数学模型如下：

Max

(m1*s1+(1-m1)*r1)*y2+m1*t1*y1+(m2*s2+(1-m2)*r2)*y2+m2*t2*y1+(m3*s3+(1-m3)*r3)*y2+m3*t3*y1-((m1*s1+(1-m1)*r1)*1.5+m1*t1*1.75)*45-((m2*s2+(1-m2)*r2)*1.5+m2*t2*1.75)*45-((m3*s3+(1-m3)*r3)*1.5+m3*t3*1.75)*45-(m1*s1+(1-m1)*r1)*40-m1*t1*-(m2*s2+(1-m2)*r2)*40-m2*t2*-(m3*s3+(1-m3)*r3)*40-m3*t3*-m1*100000-m2*175000-m3*200000

S.T

16*(m1*s1+m2*s2+m3*s3+(1-m1)*r1+(1-m2)*r2+(1-m3)*r3)+6*(m1*t1+m2*t2+m3*t3)1000001.5*(m1*s1+(1-m1)*r1)+1.75*m1*t1(120*m1+(1-m1)*160)*301.5*(m2*s2+(1-m2)*r2)+1.75*m2*t2(120*m2+(1-m2)*160)*401.5*(m3*s3+(1-m3)*r3)+1.75*m3*t3(120*m3+(1-m3)*160)*60y1400y11200y2240y2800m1*s1+(1-m1)*r1+m2*s2+(1-m2)*r2+m3*s3+(1-m3)*r315630-2688*y2^(1/2)+6742*y2^(1/3)m1*t1+m2*t2+m3*t3178500+7387*y1^(1/2)-40620*y1^(1/3)m1=1或0 m2=1或0 m3=1或0

7

利用LINGO软件得到：

Local optimal solution found at iteration: 547 Objective value: 8306154.

Variable Value Reduced Cost M1 0.4188255E-05 -0.4417072E+11 S1 0.2478480E+09 0.000000 R1 0.000000 0.000000 Y2 771.3236 0.000000 T1 0.4424507E+09 -0.4180827E-03 Y1 823.7849 0.000000 M2 0.5425600E-05 -0.4266005E+11 S2 242.0000 0.3657762E-06 R2 1560.997 0.000000 T2 0.4274452E+09 -0.5414900E-03 M3 0.4095522E-05 -0.1327501E+12 S3 0.1051691E+08 0.7818241E-07 R3 0.000000 0.000000 T3 0.1330426E+10 -0.4086531E-03

Row Slack or Surplus Dual Price 1 8306154. 1.000000 2 0.46206E-04 33.452 3 0.4377739E-05 0.1275463E-01 4 0.000000 0.000000 5 0.2926847E-05 0.1275478E-01 6 423.7849 0.000000 7 376.2151 0.000000 8 531.3236 0.000000 9 28.67635 0.000000 10 0.2012296E-05 121.5113 11 0.2449280E-05 377.8516

结果分析：

由上述分析得出当三个工厂都升级并且A1和A3升级后不再生产W100X产品，只有A2工厂两种产品都生产时为利润最大，最大利润8306154元 。

模型评价：

该模型假设了只考虑三种显成本；同时假设了模型的建立是出于供需平衡的前提下，这样生产出来的产品不会产生积压并能够直接变现，从而不会出现产品储存成本，这大大简化

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了模型的建立，利于分析。由于公司老板非常重视货币的损益，从而我们建立的非线性模型以利润最大化为目标值很合理。在总裁所提的两个升级方案基础上，基于自己的分析，提出了一个更加优越的升级方案，即三个工厂都升级并且A1和A3升级后不再生产W100X产品，只有A2工厂两种产品都生产。但该模型还是存在一定的缺陷，比如模型假设过于理想，而实际的生产决策很难达到这么理想的状态，进而所提方案的优势并没有那么突出，这是需要改进的地方。

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