《数值计算方法》试题集及答案要点

《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、

----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。答案：

--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,

0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31

_________

)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,

1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗⽇插值多项式为 。 答案：-1，)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L

4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对

1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (

1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(1

2+-n a b )；

9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()]

,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；

10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；

11、 两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]321

3()3213([21d )(f f x x f)，

代数精度为( 5 )；

12、 解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。 13、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地

少，应将该表达式改写为 11,))(3(10-=-++=x t t t t y，为了减少舍⼊误差，应将表达式1999

2001-改写为 199920012+ 。

14、 ⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x

x f 在区间[0,1]内的根,进⾏⼀步后根

的所在区间为 0.5，1 ,进⾏两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?15.0d x

x ,取4位有效数字。⽤梯形公式计算求得的近似值

为 0.4268 ，⽤⾟⼘⽣公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，⾟⼘⽣公式的代数精度为 3 。16、 求解⽅程组??=+=+042.01

532121x x x x 的⾼斯—塞德尔迭代格式为-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1

k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ=121。

17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的⼆次⽜顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 18、 求积公式∑=≈ba k n

k k x f A x x f )(d )(0

的代数精度以( ⾼斯型 )求积公式为最⾼，具有( 12+n )次代数精度。

19、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,⽤⾟普⽣求积公式求51d )(xx f ≈( 12 )。

20、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，⽤三点式求≈')1(f ( 2.5 )。 21、如果⽤⼆分法求⽅程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位⼩数，需对分（ 10 ）次。

22、已知≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =(3 )，b =（ 3 ），c =（ 1 ）。

23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==n

k kx l0)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)((jx )，当2≥n 时=

++∑=)()3(204x l x xk k n k k(

324++x x )。

24、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法++=+=++++)],(),([2),(]0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2 阶⽅法。

25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到

_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f x x x

()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确()xx x f ++=11 。

27、若⽤⼆分法求⽅程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位⼩数，则需要对分 10 次。28、设

()≤≤+++≤≤=21,10,22

3

3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 。

29、若⽤复化梯形公式计算?10dx

e x ，要求误差不超过610-，利⽤余项公式估计，⾄少⽤ 477个求积节点。 30、写出求解⽅程组=+-=+2

4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式()()

()() ,1,0,4.026.111112211=+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为

--.006.10，此迭代法是否收敛收敛 。31、设A =?? ?

5443,则=∞A 9 。32、设矩阵482257136A ??=的A LU=，则U =

4820161002U ??=??-。33、若

4321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f =3 。

34、数值积分公式11

218019

()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为2 。35、

线性⽅程组121015112103x =?????的最⼩⼆乘解为11??。

36、设矩阵321204135A ??=分解为A LU=，则U =

32141003321002-。

⼆、单项选择题：

1、 Jacobi 迭代法解⽅程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主⼦式不为零 B ．n i a ii ,,2,1,0 =≠D ． 1≤A2、设

--=700150322A ，则)(A ρ为( C )．A ． 2B ． 5C ． 7

D ． 3 3、三点的⾼斯求积公式的代数精度为( B )。A ． 2B ．5

1)(C ． 3D ． 4

4、求解线性⽅程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满⾜的条件是( B )。 A ． 对称阵 B ． 正定矩阵C ． 任意阵

D ． 各阶顺序主⼦式均不为零 5、舍⼊误差是( A )产⽣的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与⽤数值⽅法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。A ． 6B ． 5C ． 4

D ． 7 7、⽤ 1+x 近似表⽰e x 所产⽣的误差是( C )误差。A ． 模型B ． 观测C ． 截断

D ． 舍⼊ 8、解线性⽅程组的主元素消去法中选择主元的⽬的是( A )。 A ．控制舍⼊误差 B ． 减⼩⽅法误差 C ．防⽌计算时溢出 D ． 简化计算 9、⽤1+3x近似表⽰3

1x +所产⽣的误差是(D )误差。

A．舍⼊B．观测C．模型D．截断

10、-324．7500是舍⼊得到的近似值，它有( C )位有效数字。A．5 B．6 C．7 D．8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。A．–0．5 B．0．5 C．2 D．-212、三点的⾼斯型求积公式的代数精度为( C )。A．3 B．4 C．5 D．2

13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1

14、⽤简单迭代法求⽅程f(x)=0的实根，把⽅程f(x)=0表⽰成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。

(A) y=?(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标

(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y=?(x)的交点15、⽤列主元消去法解线性⽅程组?

-=+--=-+-=+-13492143321321321xxx

xxxxxx

，第1次消元，选择主元为( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗⽇插值多项式的余项是( B ),⽜顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B))!1()()()()()1(+=

-=+n f x P x f x R n n n ξ

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (D))()!1()

()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ

17、等距⼆点求导公式f '(x1) ≈( A )。101101010010101)()()D ()()()C ()()()B ()()()

A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+----18、⽤⽜顿切线法解⽅程f(x)=0，选初始值x0满⾜( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…⼀定收敛到⽅程f(x)=0的根。)()()D (0)()()C (0)()()B (0

)()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f

19、为求⽅程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的⼀个根，把⽅程改写成下列形式，并建⽴相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A)11:,1112-=-=

+k k x x x x 迭代公式(B)21211:,11kk x x x x +=+=+迭代公式 (C)3/12123)

1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式(D)11:,12212

3+++==-+k k kk x x x x x x 迭代公式20、求解初值问题??

=='00y x y y x f y )(),(欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解⽅程组b Ax =的简单迭代格式g Bx xk k +=+)()

1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ22、在⽜顿-柯特斯求积公式：∑=-≈ban

i i n i x f C a b dx x f 0)()

()()(中，当系数)

(n i C 是

负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应⽤中，当（ ）时的⽜顿-柯特斯求积公式不使⽤。

（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，

（1）⼆次； （2）三次； （3）四次； （4）五次24、若⽤⼆阶中点公式))

,(2,2(1n n n n n n y x f hy

h x hf y y +++=+求解初值问题

1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（）。(1)10≤

, (2)10≤≤h , (3)10<(4)10<≤h251732.≈计算4

1)x =，下列⽅法中哪种最好？（ ）

(A)28-(B)24(-；(C )； (D)。

26、已知3

302

21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

27、由下列数表进⾏Newton 插值，所确定的插值多项式的最⾼次数

4

228、形如112233()()()()b

a f x dx A f x A f x A f x ≈++?的⾼斯（Gauss ）型求积公式的代数精度为（ ）(A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。29的Newton 迭代格式为( )

(A) 132k k kx x x +=+；(B )1322k k kx x x +=+；(C) 122k k kx x x +=+；(D) 133k k kx x x +=

+。 30、⽤⼆分法求⽅程324100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为31102

ε-=?，则对分次数⾄少为( )(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。

31、经典的四阶龙格—库塔公式的局部截断误差为 ( )(A)4()O h ；(B)

2()O h ； (C )5()O h ；

(D)3()O h 。

32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则9()ik kl k ==∑( )

(A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的⽜顿-柯特斯求积公式，⾄少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6；(D)3。34、已知3302

21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。 35、已知⽅程3250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是( )

(A)1k x +=(B)

1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D)312

2532k k k x x x ++=-。

(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

37、5个节点的Gauss 型求积公式的最⾼代数精度为( ) (A)8； (B )9； (C)10； (D)11。 三、是⾮题（认为正确的在后⾯的括弧中打√，否则打?）

1、 已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，， =,⽤最⼩⼆乘法求n 次拟合多项式)

(x P n 时，)

(x P n 的次数n 可以任意取。( )2、 ⽤1-2

2x 近似表⽰cos x 产⽣舍⼊误差。( ) 3、))(()

)((210120x x x x x x x x ----表⽰在节点x 1的⼆次(拉格朗⽇)插值基函数。( √ )

4、⽜顿插值多项式的优点是在计算时，⾼⼀级的插值多项式可利⽤前⼀次插值的结果。 ( √ )5、矩阵A =?

??-521352113具有严格对⾓占优。( )

四、计算题：

1、 ⽤⾼斯-塞德尔⽅法解⽅程组

=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T

)0,0,0()0(=x ，

迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)

1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1

k k k k k k k k k x x x x x x x x x

2、 求A 、B使求积公式-+-++-≈11)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量⾼,并求其代数精度；利⽤此公式求?=211dx

x I (保留四位⼩数)。 答案：

2,,1)(x x x f =是精确成⽴，即

=+=+32212222B A B A 得98,91==B A求积公式为)]21

()21([98)]1()1([91)(11f f f f dx x f +-++-=?- 当3

)(x x f =时，公式显然精确成⽴；当4)(x x f =时，左=52，右=31。

所以代数精度为3。69286.0140

97]3211

32/11[98]311311[91311113221≈=

+++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t3、 已知

分别⽤拉格朗⽇插值法和⽜顿插值法求)(x f 的三次插值多项式

)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位⼩数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4

)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为

)

4)(3)(1(4)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P5.5)2()2(3=≈P f

4、取步长2.0=h ，⽤预估-校正法解常微分⽅程初值问题

=+='1)0(32y yx y)10(≤≤x答案：解：

+++?+=+?+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)

0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y即

04.078.152.01++=+n n n y x y

5、已知

求)(x f 的⼆次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：

正规⽅程组为=+==+41341031015

10520120a a a a a1411

,103,710210===a a a

221411103710)(x x x p ++=xx p 711103)(2+='103)0()0(2='≈'p f

6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如⽤⼆次插值求631.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最⼩？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差|)(|!3|)(|332x M x R ω≤

尽量⼩，即应使|)(|3x ω尽量⼩，最靠近插值点的三个节点满⾜上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果596274.0631.0sin ≈，且4

1055032.0)7.0631.0)(6.09631.0)(5.0631.0(!31596274

.0631.0sin -?≤----≤-7、构造求解⽅程0210=-+x e x

的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||-+<-n n x x 。

答案：解：令 010)1(,02)0(,

210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x .且010e)(>+='x

x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯⼀实根.将⽅程0)(=x f 变形为)e 2(101x x -=

则当)1,0(∈x 时)e 2(101)(x x -=，110e

10e |)(|<≤-='x x ?故迭代格式)e 2(1011n x n x -=+

收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：

且满⾜ 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .8﹑利⽤矩阵的LU 分解法解⽅程组

=++=++=++20531825214

3232

1321321x x x x x x x x x 。答案：解：

--??-==24413211531

21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T)3,2,1(=x .9﹑对⽅程组

=-+=--=++84102541015

1023321321321x x x x x x x x x

（1） 试建⽴⼀种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由； （2） 取初值T)0,0,0()0(=x

，利⽤（1）中建⽴的迭代公式求解，要求3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。

解：调整⽅程组的位置，使系数矩阵严格对⾓占优

=++=-+=--151023841025410321

321321x x x x x x x x x

故对应的⾼斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)

(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x取T )0,0,0()0(=x,经

7步迭代可得：

T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .10、已知下列实验数据

试按最⼩⼆乘原理求⼀次多项式拟合以上数据。 解：11、⽤列主元素消元法求解⽅程组

--=--11124112345111321x x x 。解：

----???→----111124111123451111212345411121r r

-----→

------???→?-5852510579515130123455795151305852510123455251

321312r r r r r r ----→?+1351350579515130123

4513123r r

回代得 3,6,1123==-=x x x 。

12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数xx f -=e )(在区间[0,1]上的⼆次插值多项式)(2x P ,并估计误差。 解：)15.0)(05.0()

1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----?+----?

=--x x e x x e x P)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)

5.01)(01()5.0)(0(15.01-+----=----?+---x x e x x e x x x x e⼜1

|)(|max ,)(,)(]

1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x故截断误差 |)1)(5.0(|!31|)(||)(|22--≤

-=-x x x x P e x R x 。13、⽤欧拉⽅法求-=x t tx y 0d e )(2

在点0.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。 解：-=x t tx y 0d e)(2等价于=='-0)0(e2y y x (0>x )记2e

),(x y x f -=,取5.0=h ,0.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x .

则由欧拉公式=+=+0)

,(01y y x hf y y n n n n ,3,2,1,0=n可得 840.0)0.1(,

5.0)5.0(21≈==≈y y y y , 12604.1)0.2(,

07334.1)5.1(43≈==≈y y y y14、给定⽅程01e )1()(=--=x x x f

1) 分析该⽅程存在⼏个根；

2) ⽤迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所⽤的迭代格式是收敛的。 解：1）将⽅程 01e )1(=--x x（1）改写为x

x -=-e 1 （2）作函数

1)(1-=x x f ，x x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯⼀根)2,1(*∈x 。2) 将⽅程（2）改写为 xx -+=e 1构造迭代格式 ??=+=-+5.1e 101x x k x k),2,1,0( =k

计算结果列表如下：

3)

x x -+=e 1)(?，x x --='e )(?

当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈x ，且1e |)(|1<≤'-x ?

所以迭代格式

),2,1,0()(1 ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。15、⽤⽜顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位⼩数。 解：3是03)(2

=-=x x f 的正根，x xf 2)(='，⽜顿迭代公式为n n n n x x x x 2321--=+，即)

,2,1,0(2321 =+=+n x x x nn n

取x 0=1.7, 列表如下：

16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗⽇插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位⼩数。 解：)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?--+-+?+------?=x x x x x x x L)1)(1(34

)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=x x x x x x04167.0241

)5.1()5.1(2≈=≈L f

17、n =3,⽤复合梯形公式求xx

d e 10?的近似值（取四位⼩数）,并求误差估计。 解：7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210

310≈+++?-=≈?T x x

x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f05.0025.0108e312e |e |||23≤==?≤-= T R x

⾄少有两位有效数字。

18、⽤Gauss-Seidel 迭代法求解线性⽅程组 ??--411131103 ??321x x x =--815，

取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位⼩数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为：

-+-=----=+-=++++++)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)

(3)1(1k k k k k k k k x x x x x x x x系数矩阵

--411131103严格对⾓占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛.取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下: