北邮概率论与数理统计事件的性1.4

条件概率P(A|B)是当知道事件B发生了的条件下对事件A的概率的调整，许多时候这个调整后的P(A|B)与没有调整过的概率P(A)有差异,这表明事件B的发生对事件A发生的概率是有影响的,也就是说这两个事件之间存在着一些关联.但有也一些场合也会出现

P(A)P(A|B)的情形.例如在上一节例1中,如果甲、乙两车间生产的产品中正品数与次

品数之比相等,则有P(A)P(A|B).再比如:

例1 一个袋有7个球,其中5个红球,2个白球.从中依次取2次球,每次取一个, 设B“第一次取到红球”, A“第二次取到红球”.如果是不放回地取球,那么P(A)P(A|B).如果是有放回地取球,那么P(A)P(A|B).

如果出现P(A)P(A|B)的情形,则意味着事件B的发生对事件A发生的概率没有影响,这时在概率论上就说A与B是相互的两事件. 注意到:如果P(B)0,则 P(A)P(A|B) 的充要条件是

P(AB)P(A)P(B)

而后一式子不受P(B)0的.为了避免这个条件,我们可用等式

P(AB)P(A)P(B)来刻划性.

一.两事件的性

定义 设A,B为两事件，若 P(AB)P(A)P(B)

称事件A与B相互，简称A与B,否则称A与B不或相依。 由此定义易得下面结论

(1) 若A与B相互,则A与B相互; A与B相互; A与B相互.换言之,这4对事件中有一对,则其余3对事件均相互. (2) 若P(A)0,则A与B相互P(B|A)P(B).

结合(1)可知,若P(A)1,则A与B相互P(B|A)P(B).可见A与B相互时，无论事件A发生还是不发生都不会对B发生的概率产生影响.

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(3) 若P(A)0,则A与任一事件B.

结合(1)可知, 若P(A)1, 则A与任一事件B.

例2 续领奖问题.

例3 将一颗骰子掷两次,记事件A“第一次出现1点”, B“第二次出现2点”, C“两次点数之和为7”, D“两次点数之和为5”, (1)A与B否? (2) A与C否? (3) A与D否? (4) C与D否? 解: (1) A与B; (2) A与C; (3) A与D不; (4) C与D不.

以上结果中, A与B根据背景便可直接判断. C与D不亦可直接判断,这里有一个更一般的事实,在A,B的均有正概率的前提下, A与B互斥则A与B不.由此可见与互斥是完全不同的概念.不要混淆. 例 设P(A)0.5,P(AB)0.8, (1)若A与B互斥,则P(B)___; (2) 若A与B,则P(B)___. 二. 多个事件的性. 若三个事件A,B,C满足

P(AB)P(A)P(B);P(AC)P(A)P(C);P(BC)P(B)P(C)

那么A,B,C中任两个事件都,此时我们称为A,B,C两两. 若A,B,C两两,是否可推AB与C？看下面例子. 例4 续例3，可以判断A,B,C两两。但AB与C互斥且概率均大于零，故AB与C不。

可见上面问题的答案是否定的. 因此有下面定义。 定义 设A,B,C为三个事件，若满足

P(AB)P(A)P(B);P(AC)P(A)P(C);P(BC)P(B)P(C)； P(ABC)P(A)P(B)P(C)

称事件A,B,C相互，否则称A,B,C不相互. 以上定义可推广至三个以上事件的性。

定义 设A若对任意k2,3,,n，及任意k个事件Ai1,Ai2,,Aik1,A2,An为n个事件，

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（i1i2ik），都有

P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Aik) 称事件A1,A2,An相互. 由定义,可以得到下面两个推论.

(1) 若事件A1,A2,An相互，则其中任一部分事件也相互.

(2) 若事件A则将这n个事件中任一部分事件换成它们各自的对立事1,A2,An相互，件,所得的n个事件仍相互

性的概念是概率论中极重要的一个概念，它的重要性主要体现在可使概率的计算简化，一些理论问题的处理也变得简便。而在实际问题中，我们很少会用事件的定义去验证是否，而是依据实际背景去判断事件之间是否相依，若可认为事件之间没有相依性或相依性很少以至于可以忽略，则可认为这些事件相互，从而可利用性定义及性所赋予的性质去计算一些复杂事件的概率。

例5（分猎物问题）甲、乙两位猎人同时向一猎物射击，已知甲、乙两位猎人打中猎物的概率分别为0.5,0.6，

（1）猎物被打中的概率；

（2）如猎物被打中，猎物该如何分？

例6（可靠性问题）系统由多个子系统组成，系统的可靠性（指在一定时间内能正常工作的概率）取决于子系统的可靠性及系统的组成方式.假设各个子系统的可靠性均为p，且各个子系统都地工作.试求以下系统的可靠性. 三.试验序列模型

试验序列模型是概率论及数理统计中非常重要的概率模型.

定义 若试验E1的任一结果(即任一事件), 试验E2的任一结果,„„, 试验En的任一结果都相互,则称试验E1,E2,„„, En相互.如果这样的n个试验是相同的,每次试验可能的结果只有两个A和A(或只考虑两个结果),并且在每次试验中结果A发生的概率保持不变,则称这n次试验为n重伯努利试验.

在n重伯努利试验中,若每次试验中结果A发生的概率均为p,则结果A恰好发生

k(k0,1,,n)次的概率为

pn(k)Cnpqkknk,q1p

证明：首先考虑事件：某特定的k次试验出现结果A，另外nk次试验不出现结果A.由试验的性知该事件的概率为pqknk，又由于n次试验结果的序列里，包含k次试验出

kk现结果A而另外nk次试验不出现结果A的序列共有Cn个，且这Cn个序列是两两互不相

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容,故结果A恰好发生k(k0,1,,n)次的概率为

kknk pn(k)Cnpq.

以上公式称为二项概率公式.

例如 将一骰子掷10次,那么这10次掷骰子的试验便是10次重复试验.如果我们关注每次试验中点数6是否出现,这便是10重伯努利试验.由于在每次试验中点数6出现的概率为

1,那么由二项概率公式可得事件“点数6恰好出现2次”的概率为 621258 p10(2)C10()()

66p事件“点数6至少出现2次”的概率为

10Ck2k1015()k()10k 6610或 1()1056159() 66例7 连续发送n个码字,每码字出错的概率为p(即误码率为p),那么全部码字都正确的概率为(1p)n.至少有一个码字出错的概率为1(1p)n. 例8 甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p, 且p1. 若釆用三局二胜制,甲2取胜的概率记为p1,若釆用五局三胜制,甲取胜的概率记为p2, 如此若釆用2n1局n1胜制,甲取胜的概率记为pn, (1) 求p1,p2, 并比较p1,p2的大小; (2) 证明 pn1pn.

解:(1) p1p22p2(1p)3p22p3

p2p33p3(1p)6p3(1p)26p515p410p3 p2p13p2(p1)2(2p1),

可见p2p1;

(2) 记A表示事件“釆用2n3局n2胜制时甲取胜”,B1表示事件“甲在前2n1局胜n局”, B2表示亊件“甲在前2n1局胜n1局”, B3表示亊件“甲在前

2n1局胜n1局以上”,则

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pn1P(A)P(B3)P(B2)(1q2)P(B1)p2 pnP(B3)P(B2),

n1n1nnnn1结合P(B2)C2，可得 q，P(B1)C2n1pn1pqnn1n1pn1pnC2q(pq) n1p又pq,故pn1pn.

以上考虑的试验序列是固定了试验次数.还有一类常见的模型:试验次数事先不固定,而是达到了某种“要求”时才停止试验,此类问题中我们常关注所需的试验次数.这类问题称为等待时间的问题.

例9 连续掷骰子直至6点出现停止试验,那么需掷3次骰子的概率是多少?如直至6点出现2次停止试验, 那么需掷3次骰子的概率又是多少?

解： “直至6点出现，需掷3次”等同于“前2次均不出现6点，而第3次出现6点”，由试验的性可得事件“直至6点出现，需掷3次”的概率为()5621； 6151； 666 “直至6点出现2次，需掷3次”等同于“前2次中6点恰好出现1次，而第3次出现6点”，由试验的性可得事件“直至6点出现2次，需掷3次”的概率为2例 同时掷两颗骰子,观察点数的和,如此试验连续做，求和为5出现在点数和为7之前的概率.

解：令An“前n1次试验中5和7都不出现，而第n次试验出现5”， 那么所求的概率为

P(An)P(An)(1n1n1n110n142) 363653. 5同样可求得和为7出现在点数和为5之前的概率为

另解：令A1“第1次的和为5”，A2“第1次的和为7” A3“第1次的和既不为5也不为7”，A“和为5出现在点数和为7之前”. 由全概率公式有

P(A)P(A1)P(A|A1)P(A2)P(A|A2)P(A3)P(A|A3) 而P(A|A1)1，P(A|A2)0，P(A|A3)P(A) 所以有 P(A)410(1)P(A) 3636 - 5 -

解得P(A)2. 5例10 (赌徒输光问题)两个赌徒约定:每一局输者支付给赢者1元,直至有一方输光就停止赌局.假设每一局甲蠃的概率为,乙蠃的概率为(1,即不考虑平局),且各局输蠃情况互不影响.开始时甲有a元赌资,乙有b元赌资（a,b为正整数）.求甲最后嬴得所有钱的概率.

解:记Nab,pi为甲有i元赌资时最后赢得所有钱的概率,那么有 pipi1pi1

并且有边界条件p00,pN1.解 由于1,上面等式可变形为 pi1pi(pipi1) 由p00,可得

p1 p3p2(p2p1)()2p1

p2p1„„

pipi1()i1p1

„„

pNpN1()N1p1

将前面i1等式相加得

2i1 pip1p1[()()()]

2i1即pip1[1()()()]

i1()p,1112 

ip,112再利用边界条件pN1,可得

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1,1N2 p11()1/N,12所以

i1(),1N2 pi1()

i/N,12因此甲赢得所有钱的概率为

a1(),1N2 pa1()

a/N,12作为该问题之结论的应用，请思考下面问题：

甲、乙两人进行乒乓球比赛，各局甲胜的概率均为，乙胜的概率均为（0,0,1），比赛直至一方比另一方多赢2局为止，多赢2局的一方取胜，甲、乙取胜的概率各是多少？若比赛直至一方比另一方多赢3局为止呢？若类似的比赛还有平局，这样的概率又如何？

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