复数运算法则
注：本文不讨论复数中实数的运算法则
前言：
复数，为所有数的统称，复数所构成的集合称为复数域，包含了实数所构成的实数域与虚数构成的虚数域，实数与虚数合成的一般复数。复数可写成以下形式： 其中，
为实数，为虚数单位，与构成虚数，称之为该复数的虚部，则称之为该复
数的实部，在进入本文主要内容之前，读者所需要具备如下的数学知识或能力： 1.清楚并熟练地使用实数的四则运算法则。
2.对一元一次方程，一元二次方程具有熟练求解的能力。
3.清楚并熟练地使用代数的一些诸如平方差公式，完全平方公式一类的公式。
4.清楚并熟悉幂的运算，开方的运算，幂与开方的联系，三角函数与反三角函数的运算，自然对数的概念以及相关运算。 5.清楚并熟悉基本代数的一些性质。 6.理解并熟练使用角的弧度制。
本文将给予你以下的数学预备概念与公式： 1.负数的开方：
2.欧拉幅角公式：
3.自然对数运算的性质：
4.复数的三种表达： 复数代数式： 复数三角式： 复数指数式： 注意：
被称为复数的模，有：
被称为复数的辐角主值，有： 接下来，进入主题。
正文：
复数的求和：
复数的求和运算可表示为以下形式： 由的定义可得： 去括号，整理得： 将代入，得到最终形式： 复数的求积：
复数的求积运算可表示为以下形式： 展开可得： 又因为： 所以得最终形式： 复数的求商：
复数的求商运算可表示为以下形式：
上下同乘：
由平方差公式的逆式： 得到：
整理出最终形式：
复数的整实数幂：
复数的整实数幂运算可表示为以下形式： 令
，则：
据二项式定理，可得：
将代入：
即得到复数整实数幂计算的通式。 复数的任意实数幂： 试将复数
的任意实数幂表达为：
很明显，用二项式定理展开后，所需要解决的问题变为求虚数单位的任意实数幂，将其表达为以下形式：
尤其困难的，就是当为非整数的情况，由于指数值可以用分数表示或近似表示（无理数以及超越数），则可做以下处理： 那么：
由于必定是整数，所以问题又可变为： 由自然对数的性质，我们得到：
不幸的，我们碰到了虚数单位的自然对数的问题，我们将在稍后讨论它，再回头来解决这个问题。 当复数作指数时：
设一实数为底，虚数单位为指数： 由自然对数的性质： 可得： 继而化简得到：
据欧拉幅角公式，又可得到： 最终形式：
若虚数单位为底，虚数单位为指数： 代以上述公式，则有：
是的，在这里，我们又碰到了万恶的虚数单位的自然对数的问题，接下来，我们先讨论复数的自然对数，再回过头解决这个问题。 复数的自然对数：
设复数的自然对数为：
再把代数式换作指数式： 于是： 又因为：
与：
最终形式可写为：
回到前面提及的问题，特别地，当
时，上式即为：
复数的任意实数幂的问题补充： 在正文中，我们得到如下式子： 将前文的结果代入： 再由欧拉幅角公式可得：
复数作指数时的问题补充： 在正文中，我们得到如下式子： 将前文的结果代入：
再由欧拉幅角公式可得： 复数的三角函数值： 设纯虚数的正弦值为： 由欧拉幅角公式，又可知：
显而易见，我们的目的是求出纯虚数的正弦值，故可以借助三角恒等式： 则上式可化为： 简便起见：
移项并化简，解得：
于是：
右项去掉虚数单位一般记为：
于是结果一般写为：
同样的，纯虚数的余弦值，正切值可以通过三角等式的变换而得到结果。同样也可记为：
总结全文，关于复数的各类运算公式如下： 求和： 求积： 求商：
求幂（复数为底且指数为整实数）：
求幂（纯虚数为底且指数近似为或等于一个分数）：
求幂（实数为底而虚单位为指数）： 求幂（虚单位同时作底与指数）： 求自然对数值：
求正弦值：
——END——
附件：
欧拉幅角公式的证明： 设有函数：
对其进行无穷幂级数展开，由泰勒公式：
又因为： 所以：
令：
整理可得：
提取虚单位：
我们又知道，分别对正弦函数，余弦函数无穷级数展开：
所以，原式可以化为： 将
代入：
复数相关概念：
引入复平面的概念，类似于直角坐标系，以水平向右为实数正向，记为轴，铅直向上为虚数正向，记为轴。双数轴构成的平面称为复平面，所构成的域称为复数域，任意一个复数
在复平面都有确定的一点对应之。该点在轴坐标为，在轴坐标为
，以轴之
。 的大
所在射线为终边的角，定义之为该复数的幅角，可以取无限个
，取
为该复数的辐角主值，记作：
的模，即为向量
（单位为）。以零点为始点，复数在复平面所对应的点为终点，作向量正半轴为始边，以向量值，且每个值相差另外的，小或者说长度。
于是，我们很容易得到下列式子：
被定义为复数的模，其几何意义是向量
又由复数的基本式，也就是代数式，可得： 我们便得到了复数三角式，又因为欧拉幅角公式： 于是：
便又得到了复数指数式，复数的三种表达方式，就依此推出。
备注：在下才疏学浅，若文章中有错误不当之处，还请海涵并且指出，在下感激不尽。 EMAIL:XeusBlood@outlook.com
