机械工程测试技术课后答案

信号及其描述习题

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)Cejnn0t;n0,1,2,3,

n式中： C1T0jnt10Tjn0 n2TT0x(t)e0dt0t2jn0tTT0(A)edtAedt02020 T 01A0jn2

Te0t1Aejn0t0jn0T0T0jn0

20

jAjA1jnjnA

nn2eejn1cosn j2A;n1,3,5 ,

n0;n2,4,6,所以：  x(t)j2Ajn0t;n1,3,5,7

nne,幅值频谱：

CC222AnnRCnI;n1,3

n,5,相位频谱： 2A C;n1,3,5,nI narctgnCarctg2nR0 2;n1,3,5,

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

T1T02x2 xlimT0x(t)dtTx0sintdt0;式中：T000

xrms1T0x2(t)dt1T0x0sindt2dtx0

T00T0021.3求指数函数 x ( t)  Ae   t; (   0 ; t  0 ) 的频谱。 解：

X(f)x(t)ej2ftdtAetej2ftdtA

0j2f1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱.

1

解:1) 符号函数的频谱:

t令: x1(t)limex(t);0

X1(f)x1(t)ej2ftdt

0ttj2ftlime(1)edteej2ftdt 00

1

jf

2)单位阶跃函数的频谱: tx(t)limex(t);2 0t 1j2ftX2(f)x2(t)ej2ftdtlimdt0ee 0j2f

1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。

cos0t;tT x(t)tT 0;解： Tj2ftX(f)x(t)edtcos2f0tej2ftdt T T1j2f0tj2f0tj2fteeedt T2

sin(ff0)2Tsin(ff0)2T T(ff)2T(ff)2T00

Tsinc1sinc2

t1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x (  e   sin  0 t ; (   0 , t  t)0 ) 的频谱 解： j2ftj2ftt X(f)x(t)edtesin2f0tedt0 jetej2f0tej2f0tej2ftdt 02

j11 2j2(ff)j2(ff)00

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ 解： j2ftX(f)x(t)edtf(t)cos2f0tej2ftdt  1

f(t)ej2f0tej2f0tej2ftdt211F(2f2f0)F(2f2f0)222

当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ x0)

等式两边对x求导数： 1 dtx011 dx220x0x2(t)0x(t) 1x 0 1Tx12tp(x)limlimlim x0xTTx0xT

2dt1 22Tdxx0x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：H1j111Y 0.35j1X10.7172 A10.352

当T=1s时，A10.41，即AY0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A20.67，误差为33% 当T=5s时，A30.90，误差为8%

2.3求周期信号xt0.5cos10t0.2cos100t45，通过传递函数为Hs10.05s1的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题

xt0.5sin10t900.2sin100t45

 A112110.0052 ，arctg0.005

110，A11，12.86

xt10.51sin10t902.86 ，

 3

2100 ，A20. ，226.57

yt20.20.sin100t26.5745

yt0.5sin10t87.14(0.178)sin100t18.43

2.7将信号cost输入一个传递函数为Hs在内的输出yt的表达式。

解： xtcostsint90 Hs1的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s111，A，arctg

2s11 yt111122sint90arctg costarctg

 =

2.8求频率响应函数

3155072的系统对正弦输入

10.01j1577536176j2xt10sin62.8t的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 Hjj12an22nj12n0

∴ A12162.80.0122

62.82176112561577536 1.690.991.7 对正弦波，uxA21.710212

241n1.52.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组22S1.4nS2nS1.4nS2n成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解： HH1H2

4

H11.53，S13

3.5S0.57S1241n H22，S241 2S1.4nSn SS1S2341123

2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求振幅误差在5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解： 由振幅误差

E|A0AI|A101A5%

AIAI ∴ A95% 即 A111295% ，

12100t20.95，5.23104s

4，且5.2310s时 当2f250100A115.23104100298.7%

∴ 此时振幅误差E1198.7%1.3% arctg5.23101009.3

42.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比

0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A和相角差各为多少？若该装置的阻尼比可改为0.7，问A和又将作何种变化？

解： 作频率为400Hz的正弦力测试时 A11n242n2

2 5

124002400240.1418008002

1.31

2n arctg 21n40020.14800

arctg24001800 10.6 当阻尼比改为0.7时 A124002400240.7180080020.97

40020.780043

arctg24001800 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。

2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解： 最大超调量

121 Me 即 1.5

0.13

11ln1.52 6

且 Td2d6.28

2 ∴ dn121 6.2811 n

1210.1321.01 系统的传递函数 HsYskXsS22S

2n1n 3S2 1.01220.13S1.011该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由HjYXK2 j2jn1n K1

2j2nn ∴ HjK3n 120.26j2jnn d为有阻尼固有频率 M=0.5，2dT1  Me12120.215lnM1 2dn1 ，∴ dn1.02

12 S=3

7

∴Hs2nS222S nSn 1.04S20.44S1.043 A1n3426.98 （n时代入得）

A12,90 narctg2

yt6.98sin1.02t2 4.1解 ：=2m时，

单臂，URy4RU0 0

USgRy4RU0

212021066

Uy4120*3310(V)双臂，URy2RU0 0

USgRy2RU0

21202106U6y2120*3610(V)

：=2000m时，

单臂，URy4RU0 0

USgRy4RU0

8

21202000106Uy*33103(V) 4120双臂，UyRU0 2R0SgR2RU0

Uy21202000106Uy*36103(V) 2120双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。

4.4解：UyRU0 R0SgRRU0

UyUySg(Acos10tBcos100t)Esin10000t

SgAEcos10tsin10000tSgBEcos100tsin10000t11SgAE(sin10010tsin9990t)SgBE(sin10100tsin9900t)221100101001099909990Uy(f)jSgAE[(f)(f)(f)(f)]422221101001010099009900jSgBE[(f)(f)(f)(f)]42222

4.5解：xa(10030cost20cos3t)(cosct)

100cos2000t30cos1000tcos2000t20cos3000tcos2000t

100cos2000t15(cos3000tcos1000t)10(cos5000tcos1000t)Xa(f)50[(f10000)(f10000)]7.5[(f10500)(f10500)]7.5[(f9500)(f9500)]5[(f11500)(f11500)]5[(f8500)(f8500)]4.10 解：H(s)1113 s1RCs110s19

H()1103j1

A()111()21(103)

()arctan()arctan(103)

Uy10A(1000)sin(1000t(1000))100.707sin(1000t450)7.07sin(1000t450)

4.11 解：A()11()2

()arctan() 1

10时，A(10)1(0.0510)0.816

(10)arctan(0.0510)26.56

)1

100时，A(1001(0.05100)0.408

(100)arctan(0.05100)78.69

y(t)0.50.816cos(10t26.56)0.20.408cos(100t4578.69)0.408cos(10t26.56)0.0816cos(100t33.69)

5.1 t)eth(;(t0,0) 0;(t0) Rx()h(t)h(t)dtete(t)0dt e0e2tdte2

5.2 x(t)A1sin(1t12)A2sin(2t22)

10

由同频相关，不同频不相关得：

2A2Rx()cos1cos2

22A1245.3：由图可写出方波的基波为x1(t)sin(t2)

Rxy()2cos(2)

5.4: Sxy(f)H(f)Sx(f)

H(f)Sxy(f)/Sx(f)

Sxy(f)F[Rxy()]

Sx(f)F[Rx()]F[Rxy(T)]F[Rxy()]ejT H(f)ejT

5.5:见图5-16

5.6:由自相关函数的性质可知:

2xRx(0)Acos0A x2rmsxA

5.7:由对称性性质:

F{sinc2(t)}1 f2f2

2sinc2(t)dt

df2

11