(完整word版)《对数及对数函数》练习题及讲解

《对数及对数函数》练习题讲解

知识梳理：

1、对数的定义:如果 a(a>0，a≠1)的b次幂等于N, 就是a=N,那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作

b

logaN=b,a叫做对数的底数,N叫做真数。（N > 0)

2、指数和对数的关系：abN logaNb 3、对数恒等式:∴loga10， logaa1 ，alogaNN

loga(MN)logaMlogaNMlogaMlogaN4、运算法则：logaNn(nR)logaMnlogaM5、换底公式:logab

logca logcb6、两个较为常用的推论：

1 logablogba1 2 logambnnlogab（ a, b 〉 0且均不为1） m7、对数函数定义：函数 ylogax (a0且a1)叫做对数函数；它是指数函数yax

(a0且a1)的反函数。

8、对数函数图象和性质: a a>1 0〈a〈1 图象 定义域 值 域 定 点 单调性 典型例题：

例1、求下列各式中的x．

1

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（1)log14x2 ； (2）log3x52 ； （3）logx2(x22x2)0． 5153解：(1)x(45)22452． (2）x25，得x53325． （3）由对数性质得x22x21解得xx20,x213．

变式：计算： （1）(log2x4)29 ; (2)log(x1)(x8x7)1 ；(3）log2323

(解析 (1)log1x43,得x34或x34． (2)由对数性质得x8． （3）令 xlog2323=log23231, ∴23x231， ∴x1） 例2：计算（1)计算：log2

lg8lg125lg2lg5155log1545+（log153) （2）lg10lg0.1

(3）lg522lg8lg51g20(lg2)23 解：(1)解一：原式 = log2

155（log153+1）+(log153)=log155+log153（log155+log153) =log155+log153=log155+ log153= log1515

解二:原式 = log1522

153log15(153)(log153)=(1-log153)（1+log153）+(log153）

=1—(log2

2

153)+（log153)=1

lg(8125（2）＝25)2lg(221252)2lg1024 2lg10（3）原式2lg52lg2(1lg2)(1lg2)(lg2)2

2(lg5lg2)1(lg2)2(lg2)23

变式：计算：（1）lg5lg8000(lg23)2lg16lg0.06 （＝1) （2)(log443log83)(log32log92)log132

25 解：原式(log4223log233)(log32log322)log12

2 (1log11553552233log23)(log322log32)4 6log232log32445452 2

1515 log(完整word版)《对数及对数函数》练习题及讲解

例3：已知log1a,18b5,求log35．

解：由log1a可知alog18181log182，又由18b5，可得 2blog185，故log35log1845log1log185ab

log18361log1822a变式:若log 8 3 = p ， log 3 5 = q ， 求 lg 5

解：∵ log 8 3 = p ∴log233plg33plg23p(1lg5) 又∵ log35lg5q ∴ lg5qlg33pq(1lg5) lg33pq

13pq ∴ (13pq)lg53pq ∴ lg5例4：比较下列各组数的大小：

 （2)p0.95.1，m5.10.9,nlog5.1 （1)ln0.99与ln0.90.9 （3)若1xd,alogdx,blogdx2,clogd(logdx)．

2，故ln0.99（3）令logdxu，由1xd可知0logdx1即 则au2,b2u,clogdu,u0,1，

在同一坐标系下画出这三个函数的图象， 如图示：

u0,1．

可知b最大，c最小，即cab． 变式：比较下列各数大小：

（1）log0.30.7与log0.40.3 (2) log0.60.8,log3.40.7和 (3） log0.30.1和log0.20.1

解:（1) ∵log0.30.7log0.30.31 log0.40.3log0.40.41

∴log0.30.7log0.40.3

13123

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1 (2） ∵0log0.60.81 log3.40.70 3121

1 ∴log3.40.7log0.60.83 （3） 解: log0.30.112

1log0.10.30 log0.20.11log0.10.20

∵log0.10.3log0.10.2 ∴log0.30.1log0.20.1 例5:求下列函数的定义域、值域：

（1)y2x211 （2） ylog2(x22x5) （3) ylog1(x24x5) 43（4) yloga(x2x)

解（1）：要使函数有意义，必须：2x2110 即：x2121x1 4 值域：∵1x1 ∴1x20 从而 2x211 ∴

12x4211 ∴02x221111 ∴0y 442(2)∵x22x5对一切实数都恒有x22x54 ∴函数定义域为R 从而log2(x22x5)log242 即函数值域为y2

（3）函数有意义，必须:x24x50x24x501x5 由1x5 ∴在此区间内 (x24x5)max9 ∴ 0x24x59

从而 log1(x24x5)log192 即：值域为y2

33（4)要使函数有意义，必须: x2x0 ①

loga(x2x)0 ②

由①：1x0

由②：当a1时 必须 x2x1 x

4

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当0a1时 必须 x2x1 xR

综合①②得 1x0且0a1 当1x0时 (x2x)max11 ∴0x2x 44 ∴loga(x2x)loga变式：求下列函数的定义域

11 yloga (0a1)

44(1） ylog(5x1)(7x2) （2)ylog0.5(3x2) （3）yloga(ax1)(a0,a1)

5x1022222 解:(1）由5x11得x且x ．所求定义域为,,．

757557x20(2）由log0.5(3x2)0得03x21，解得

22x1，所求定义域为,1． 33（3）由ax10得ax1,当a1时，x0，当0a1时,x0． 所求定义域为当a1时,x0,;当0a1时，x,0．

1x (a0,a1） 1x（1)求f(x)的定义域 （2)判断f（x)的奇偶性并予以证明; (3）求使f(x）＞0的x的取值范围．

1xx10,得 解：（1)令0， 1xx1即（x+1）（x-1)＜0，

故f(x）的定义域为(-1,1)． 例6:已知f(x)loga

又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f（x）是奇函数．

变式：求函数ylog1(x23x18)的单调区间，并用单调定义给予证明。

2解：定义域 x23x180x6或x3

5

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单调区间是(6,) 设x1,x2(6,)且x1x2 则

y1log1(x13x118) y2log1(x23x218)

222222 (x13x118)(x23x218)=(x2x1)(x2x13) ∵x2x16 ∴x2x10 x2x130 ∴x23x218x13x118 又底数0 ∴y2y10 y2y1 ∴y在(6,)上是减函数.

2211 2【练习2】

1．求下列各式的值:

(1）log24725； （2）lg5100 ．

解：（1）原式=log247log225=7log245log22725119；

122（2）原式=lg102lg10

5552、计算：（1）lg1421g

lg2437； lg7lg18; （2）

lg93 (3）

lg27lg83lg10．

lg1.27lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322) 3解：（1）解法一：lg142lglg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20;

解法二：lg142lg147727lg7lg18lg14lg()lg7lg18=lg7233lg10；

()183说明:本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。

lg243lg355lg35（2）； 2lg92lg32lg36

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3(lg32lg21)3lg27lg83lg10lg(3)lg23lg102（3)=． 232lg32lg212lg1.2lg101323123．已知lg20.3010,lg30.4771，求lg1.44的值。

分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：

1.441.22(322101)2,然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。

解:lg1.44lg1.22lg(322101)22(lg32lg21) 2(0.477120.30101)0.1582． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 4、已知logaxlogacb，求x．

分析：由于x是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式. 解:(法一）由对数定义可知：xalogacbalogacabcab．

（法二）由已知移项可得logaxlogacb，即logaxxb，由对数定义知：ab,∴ xcab． cc（法三)blogaab，∴logaxlogaclogaablogacab,∴ xcab．

说明:此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。 5、（1)已知3a2,用a表示log34log36；(2)已知log32a,3b5,用a、b表示 log330． 解：（1）∵3a2,∴alog32， ∴ log 3 4 log 3 6 = log3（2）∵3b5， ∴blog35，

2log321a1． 3111又∵log32a，∴log330=log3235log32log33log35(ab1)．

2221．换底公式：logaN6、计算：（1) 51log0.23logmN （ a > 0 ， a 1 ；m0,m1)

logma； (2)log43log92log2432．

解：（1）原式 =

515； 1log0.231log55533115153 (2） 原式 = log23log32log22．

224442111． zx2y557．设3x4y6zt1 ，求证:

7

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lgtlgtlgt证明：∵3x4y6zt1，∴ xlg3，ylg4，zlg6， ∴

11lg6zxlg3lg2lg41lgtlgtlgt2lgt2y． 8．若log83p，log35q，求lg5．

解:∵log83p， ∴log233plg33plg23p(1lg5), 又∵ log535lglg3q,∴ lg5qlg33pq(1lg5)， ∴ (13pq)lg53pq lg53pq13pq．

9．若 log34log48log8mlog42，求m． 解：由题意可得：

lg4lg8lgm11lg3lg4lg82， ∴lgm2lg3，∴m3． 10．已知logm4logn4,比较m,n的大小。 解：∵logm4logn4， ∴

1log1，当m1，n1时,得011，

4mlog4nlog4mlog4n∴log114nlog4m， ∴mn1．当0m1，0n1时，得

logn0，

4mlog4∴log4nlog4m， ∴0nm1．当0m1，n1时,得log4m0，0log4n， ∴0m1，n1， ∴0m1n．

综上所述，m，n的大小关系为mn1或0nm1或0m1n． 11．求下列函数的值域：

（1）ylog2(x3)；（2）ylog22(3x)；（3）yloga(x24x7)(a0且a1）． 解：（1）令tx3，则ylog2t， ∵t0, ∴yR，即函数值域为R． （2）令t3x2，则0t3， ∴ylog23, 即函数值域为(,log23]．

（3）令tx24x7(x2)233， 当a1时,yloga3， 即值域为[loga3,)， 当0a1时，yloga3， 即值域为(,loga3]．

8

∴ (完整word版)《对数及对数函数》练习题及讲解

12．判断函数f(x)log2(x21x)的奇偶性。

解：∵x21x恒成立,故f(x)的定义域为(,)， f(x)log2(x21x)

log21x21x3log2x21x(x21)2x2log2x21xf(x)，所以,f(x)为奇函数。

13．求函数y2log1(x23x2)的单调区间。

3133解：令ux23x2(x)2在[,)上递增,在(,]上递减,

2224又∵x23x20, ∴x2或x1,

故ux23x2在(2,)上递增，在(,1)上递减， 又∵y2log1u为减函数，

3所以,函数y2log1(x23x2)在(2,)上递增,在(,1)上递减。

3说明:利用对数函数性质判断函数单调性时,首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来

求单调区间。

14．若函数ylog2(x2axa)在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。 解：令ug(x)x2axa， ∵函数ylog2u为减函数，

a132∴ug(x)xaxa在区间(,13)上递减,且满足u0，∴2，解得

g(13)0223a2，

所以，a的取值范围为[223,2]．

15、如果对数logx7(x26x5)有意义,求x的取值范围； 解：要使原函数有意义,则

x26x50 x70x71解之得： -7-1

∴原函数的定义域为-7，-6）（-6，-5) （-1，+）

函数ylg[x2(k2)x]的定义域为一切实数，求k的取值范围。

9

54(完整word版)《对数及对数函数》练习题及讲解

52k52

16、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．

能取遍所有正实数

分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为的问题． 解： 令

,依题意

应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的

子集．则有

或 ，解得 ．

17、已知函数f(x)=lg［（a2－1)x2+(a+1）x+1］. （1）若f（x)的定义域为R,求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解：（1)(a2－1)x2+（a+1）x+1＞0对x∈R恒成立。

a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；

a2－1≠0时，

a＜－1或a＞ ,

∴a≤－1或a＞ 。

10

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（2）a2－1=0,即a=1时满足值域为R;

a2－1≠0时，

1＜a≤ .

∴1≤a≤ .

18。设函数y=f(x),且lg(lgy）=lg（3x)+lg（3-x）,（1）求f(x）的表达式及定义域；（2）求f(x）的值域。

【解】（1）若lg（lgy）=lg(3x)+lg(3-x)有意义，

x0,0x3,则3x0,即又∵lg(lgy)=lg(3x）+lg（3-x），∴lgy=3x（3—x)。∴y=103x（3—x)（0lgy0,y1.〈x<3）.

32727（2)∵3x(3—x)=—3x+9x=-3（x-）2+(02442

274。

∴y=f（x)的定义域为(0，3），值域为（1，10)。

27411