高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图像

4.2.3 对数函数的性质与图像(二)

必备知识基础练 知识点一 比较大小 1.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( ) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b

2．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( ) A．a知识点二 3.不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集为( ) 3

－，3 A．(－∞，3) B.2366

－， D.，3 C.255

2

4．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值X围为________.

5

知识点三 对数型函数的单调性 解对数不等式 进阶训练第一层 5.已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上为x的减函数，则a的取值X围为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞)

6．若函数y＝log1 (3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值X围是

2________．

7．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．

关键能力综合练 - 1 - / 8

进阶训练第二层 word

一、选择题

1．不等式log2(x－1)>－1的解集是( )

2

x> B．{x|x>2} A.x

33

x> C．{x|x>1} D.x

2

1－x

2．已知函数f(x)＝lg，f(a)＝b，则f(－a)等于( )

1＋xA．b B．－b 11C. D．－ bb

3．已知log1m22A．n1

4．已知loga<2，那么a的取值X围是( )

2A．022 B．a> 22

22

1 22

5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图像为( )

6．(易错题)已知y＝loga(8－3ax)在[1,2]上是减函数，则实数a的取值X围是( ) 41， A．(0,1) B.34

C.3，4 D．(1，＋∞) 二、填空题 7．比较大小：

(1)log23________log23； (2)log3π________logπ3.

- 2 - / 8

word

8．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)log2x，x>0，

9．(探究题)已知函数f(x)＝x直线y＝a与函数f(x)的图像恒有两个不同的

3，x≤0，

交点，则a的取值X围是________．

三、解答题

10．设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2. (1)某某数a的值及函数f(x)的定义域． (2)求函数f(x)在区间[0，6]上的最小值．

学科素养升级练 2－x－2x，x≤0

1．(多选题)已知函数f(x)＝，若x1|log2x|，x>0

进阶训练第三层

则下列结论正确的是( )

A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．111

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(log38x)>0的解集为________．

3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0＜a＜1)，函数y＝g(x)的图像与函数f(x)的图像关于原点对称．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)若x∈[0,1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，某某数m的取值X围．

- 3 - / 8

word

4．2.3 对数函数的性质与图像(二)

必备知识基础练

1．解析：∵2<3.6<4，∴log23.6>1>log43.6. 又∵log43.6>log43.2，∴a>c>b. 答案：B

2．解析：∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a2x＋3>0，6

3．解析：由5x－6>0，得5

2x＋3>5x－6，答案：D

22

4．解析：loga<1，即loga55

当a>1时，函数y＝logax在定义域内是增函数， 2

所以loga5

当0555

2

0，∪(1，＋∞)． 所以实数a的取值X围为52

0，∪(1，＋∞) 答案：5

5．解析：题目中隐含条件a>0，且a≠1， u＝2－ax为减函数，

故要使y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数， 则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数， 即2－a>0，故可得1- 4 - / 8

word

a≤－1，a

6．解析：令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有6

6

g－1>0，

a≤－6，

所以－8＜a≤－6. a>－8.

即

答案：(－8，－6]

1

x＞1或x＜－.则当a＞1时， 7．解析：由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为x3



若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 若x＜－1

3，则u＝3x2－2x－1为减函数．

∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当0＜a＜1时，

若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数； 若x＜－1

3，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．

关键能力综合练

1．解析：∵log2(x－1)>－1＝log21

2，

∴x－1>13

2，即x>2.

答案：D

2．解析：易知f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b. 答案：B

3．解析：因为0<1

2

<1，log1m22所以m>n>1，故选D. 答案：D

4．解析：当a>1时，由loga121

2，故a>1；

当02

2

或a>1. - 5 - / 8



word

答案：D

5．解析：由f(x)是R上的奇函数，即函数图像关于原点对称，排除A、B.又x＞0时f(x)＝ln(x＋1)，故选D.

答案：D

6．解析：因为a>0，所以t＝8－3ax为减函数，而当a>1时，y＝logat是增函数，所以888

y＝loga(8－3ax)是减函数，于是a>1.由8－3ax>0，得a<在[1,2]上恒成立，所以a<min＝3x3x3×24＝. 3

答案：B

7．解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3＞3，所以log23＞log23. (2)因为函数y＝log3x是(0，＋∞)上的增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1. 同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3. 答案：(1)＞ (2)＞ 8．解析：∵f(2)>f(3)， ∴f(x)＝logax是减函数，



由f(2x－1)0，

2x－1>2－x，

∴19．解析：函数f(x)的图像如图所示，

2x－1>0，



∴x<2，x>1，

1x>，2

要使y＝a与f(x)的图像有两个不同交点，则010．解析：(1)由题意，f(0)＝loga3＋loga3＝2loga3＝2， 所以a＝3，所以f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x)，

3＋x>0，所以解得－33－x>0，

- 6 - / 8

word

所以f(x)的定义域是(－3,3)． (2)因为f(x)＝log3(3＋x)＋log3(3－x) ＝log3[(3＋x)(3－x)] ＝log3(9－x2)且x∈(－3,3)，

所以当x＝6时，f(x)在区间[0，6]上取得最小值，f(x)min＝log33＝1. 学科素养升级练

2－x－2x，x≤0

1．解析：由函数f(x)＝，作出其函数图像：

|logx|，x>02

由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2；

21

所以2

由f(x3)＝f(x4)有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0； 所以x3x4＝1；

则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)． 答案：BCD

2．解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图像关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 作出函数图像如图所示．

- 7 - / 8

word

1－1＝0. 由f＝0，得f33

11若f(log1x)>0，则log1x<－或log1x>，

33

8881

解得x>2或021

0，∪(2，＋∞)． ∴x∈21

0，∪(2，＋∞) 答案：2

3．解析：(1)∵g(x)的图像与f(x)的图像关于原点中心对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)， 1

即g(x)＝loga，x＜1.

1－x

(2)函数f(x)－g(x)是偶函数．理由如下：

1

记h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(－11－x即h(x)＝loga[(1＋x)(1－x)]＝loga(1－x2)，x∈(－1,1)． ∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(1－x2)＝h(x)， ∴h(x)为偶函数，即f(x)－g(x)为偶函数．

1＋x1

(3)记u(x)＝f(x)＋g(x)＝loga(1＋x)＋loga＝loga，x∈[0,1)．

1－x1－x∵f(x)＋g(x)≤m恒成立，∴m≥loga



1＋x

. 1－xmax

21＋x

令u(x)＝loga＝loga－1＋1－x，

1－x∵a∈(0,1)，x∈[0,1)时，u(x)单调递减， ∴u(x)max＝u(0)＝loga1＝0， ∴m≥0.

故实数m的取值X围为[0，＋∞)．

- 8 - / 8