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§5.1 正弦交流电的基本概念
本节主要讲正弦交流电的基本概念，我们必须掌握。
一、正弦交流电的三要素
我们中学时学过周期这个概念，现在我们来复习一下，所谓周期信号就是每隔一定的时间T，电流和电压的波形重复出现。我们用数学表示式为 f（t）=f（t+KT）
式中K为任何整数。我们把周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，周期的单位为秒（S）。我们又把周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，显然，频率与周期的关系为f=1/T频率的单位为赫兹（Hz）我国电力网所供给的交流电的频率是50Hz，它的周期是0.02S。周期信号不仅有大小而且有方向例如右图：
假如通过它的方向是图B所示，那么，当i（t）的波形为正时，表示电流的实际方向与参考方向一致，当i（t）的波形为负时，则表示相反。
按正弦（余弦）规律变化的周期信号，称为正弦交流电。简称交流电，以电流为例，其瞬是表达式为i（t）=ImCOS（ωt+θi） 其波形如图C所示，式中Im称为振幅或最大值，它表示正弦波的变化范围，ωt+θi称为正弦波的相位，它表示正弦量变化的进程，因为相位是用角度表示的，故又称为相位角。我们在中学时已经知道 ω=2π/T=2πf ω称为角频率，其单位是弧度/秒（rad/s）当t=0时，相位角为θi，称为初相位或初相角，简称初相。一般规定它的范围在-π—π
二、相位差
有两个同频率正弦交流电，它们分别为
u1（t）=U1mCOS（ωt+θ1） u2（t）=U2mCOS（ωt+θ2）
它们的相位之差称为相位差，用φ表示，即φ=（ωt+θ1）-（ωt+θ2）=θ1-θ2如果φ〉0，我们称u1（t）超前u2（t），u1（t）先达到正的最大值；
如果φ=0，我们称u1（t）与u2（t）同相，即初相相等，u1（t）与u2（t）同时达到正的最大值；如果φ=±π，我们称u1（t）与u2（t）反相，如果u1（t）达到正的最大值，则u2（t）达到负的最大值；
三、举例说明
例 设有两个频率相同的正弦电流
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i1（t）=5COS（ωt+60ο）A i2（t）=10SIN（ωt+40ο）A 问哪一个电流滞后，滞后的角度是多少？解 首先，把i2（t）改写称用余弦函数表示，即
i2（t）=10SIN（ωt+40ο）A =10SIN（90ο+ωt-50ο）A= 10COS（ωt-50ο）A 所以 φ=θ1-θ2=60ο-（-50ο）=110ο
电流i2（t）滞后的角度是110ο
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§5.2 利用相量表示正弦交流电
在分析电路的正弦稳态响应时，经常遇到正弦波的代数、微分等复杂运算，为此，我们借用复数来表示正弦交流电，从而可以使正弦稳态电路的分析和计算得到减化。一、复数的概念
A=a1+jb1 （ 这是我们中学时所学的代数形式）
A=aCOSθ+jaSINθ （这是我们中学时所学的三角形式）我们知道，一个复数还能表示成指数型。 A=aejβ
式中a称为复数A的模，β称为复数A的辐角。把它在平面上表示如图A所示
a1=acosβ a2=asinβa1和a2也可以表示为 a1=Re[A] a2=Im[A]
式中Re表示取复数A的实部，Im表示取复数A的虚部，它的指数型常简写为
二、利用相量表示正弦交流电
假设某正弦电流为 i（t）=ImCOS（ωt+θi）根据欧拉公式 ejθ=COSθ+jSINθ
我们可以把复指数函数Imej（ωt+θi）=ImCOS（ωt+θi）+jImSIN（ωt+θi）上式的实部恰好是正弦电流i（t），即 i（t）=Re[Imej（ωt+θi）]=ImCOS（ωt+θi）
这样，我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来，一个正弦波是由振幅、频率和初相位三个要素所决定的。电路各处的电流和电压的频率是相同的。这样，在正弦稳态响应的三要素中，只需要确定它们的振和初相两个要素。
i（t）=Re[Imej（ωt+θi）]=Re[Imejθiejωt]=Re[
]
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式中 =Imejθi 复数的模是正弦交流的振复，辐角是正弦电流的初相角。为了把这样一个能
称
表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别，把它叫做相量，并在符号上方加上一点以示区别。为电流相量。三、举例说明
例 电路如图所示，已知i1和i2为频率相同的正弦电流，即 i1（t）=5COS（ωt+36.9ο）Ai2（t）=10COS（ωt-53.1ο）A试求电流i（t）。
解 正弦电流i1和i2分别用复数表示为 i1=Re[式中
ejωt] i2=Re[=5ej36.9οA，
ejωt]
=10e-j53.1οA 。根据KCL，有
ejωt]+
）ejωt]=Re[
ejωt]
i=i1+i2=Re[ejωt]+Re[
根据定理2，得 i=Re[（式中
=
+
是电流i的相量。由上式可知，电流i的角频率也是ω。
我们可以得出一个结论：同频率的正弦电流相加，其结果仍是频率相同的正弦交流电。电流 i的相量为
=
+
=5ej36.9ο+10e-j53.1ο=（4+j3）+（6-j8）=10-j5=11.18e-j26.6οA
故电流i的表达式为 i=11.18COS（ωt-26.6ο）A
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§5、3 基本元件上的相量关系及基尔霍夫定律的相量形式
在交流电路中，基本的无源元件是电组、电感和电容。我们先讨论在正弦稳态情况下，这三种元件上的电流和电压之间的相量关系，再讨论KCL和KVL的相量形式。一、电阻元件的相量关系
假设电阻R两端的电压与电流的参考方向如图A所示，通过电阻的正弦电流为i（t）=ImCOS（ωt+θi）
对电阻元件而言，电流和电压之间满足欧姆定律，即U（t）=Ri（t）=RImCOS（ωt+θi）=UmCOS（ωt+θu）
上式表明：电压U和电流I的频率相同，电压的振幅Um=RIm（或电压有效值U=RI），而且电压与电流同相，即
Um=RIm θu=θi
同样
二、电感元件的相量关系
设有一电感L，其电流与电压参考方向如
图A所示。
当通过电感的电流为i（t）=ImCOS（ωt+θi）时，电感两端的电压 U（t）=UmCOS（ωt+θu） 由上式可得 Um=ωLIm θu=θi+90ο 式中Um为电压振幅；θu为电压的初相角。 以上两式表明：电感电压与电流是相同频率的正弦量，但电压的相位超前电流90ο 它们振幅之间的关系为
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式中XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲，称为感抗。它的单位称位欧姆。 三、电容元件的相量关系
设有一电容C，其电压和电流采用关联参考方向， 如图所示。
当电容两端的电压为U（t）=UmCOS（ωt+θu）时，通过电容的电流 i=ImCOS（ωt+θi） 由上式可得 Im=ωCUm θi=θu+90ο
上两式表明：通过电容的电流与电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压90ο。 它们振幅之间的关系为
，具有电阻的量纲，称为容抗。它的单位是欧姆。
四、基尔霍夫定律的相量形式 我们这样来描述它： （1）KCL定律 （2）KVL定律 举例说明：
=0 表示流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。
=0表示沿任意闭合回路绕行一周，各支路电压相量的代数和恒等与零。
例：如图（a）所示RL串联电路。已知以下条件 R=50Ω，L=25μH，us（t）=10COS106tV。求电流i（t），并画出相量图。
解 激励 us（t）的相量为
=10ej0 由KVL得
= Rm+Lm
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由于是RL串联电路，通过R和L为同一电流i，所以 Rm=R于是
， Lm=jXL=R
+jXL
式中 XL=ωL=106×25×10-6=25Ω
因此我们可以得到
的值如下：
=（R+jXL）
故 i（t）=0.179COS（106t-26.6ο）A
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相量图
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§5.4 阻抗与导纳
本节主要讲一些新的概念，我们必需熟练掌握。
一、阻抗与导纳
（1）阻抗
设有一无源二端网络，在正弦稳态情况下，端电压和输入电流均用相量表示，如下图所示：我们把电压相量
与电流相量
的比值定义为阻抗，并用Z表示
或者
显然，阻抗的量纲为欧姆。
如过无源二端网络分别为单个元件R、L、C，则它们相应的阻抗分别为
Z=R Z=jωL Z=1/jωC
（2）导纳
我们把阻抗的倒数定义为导纳，并用Y表示，即
导纳Y的单位是西门子（S），R、L、C它们相应的导纳分别为
式中G的单位是电导，BL和Bc分别称为感纳和容纳，单位为西门子（S）。
二、RLC串联电路
我们以下图为例来加深对阻抗概念的理解
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设电路中的电流为 i（t）=ImCOS（ωt+θi） 电流相量为由KVL得
=Imejθi
根据R、L、C元件的伏安关系，有
于是 这样，RLC串联电路的相量模型可用阻抗Z来等效如图（c）所示。
Z=R+j（XL-Xc）=R+jX 式中X=XL-Xc称为电抗。在不同的频率下，阻抗有不同的特性；
时，电压超前电流，阻抗呈电感性，电路等效为电感与电阻相串联；
时，电压滞后电流，阻抗呈电容性，电路等效为电容与电阻相串联；
时，电压与电流同相，阻抗呈电阻性，电路等效为电阻R。
三、GLC并联电路
GLC并联电路的模型如下图所示：
我们设电压相量=Umejθu 根据KCL，得 （A）
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由于是GLC并联电路，各元件受到同一电压的作用，有
把上式代到（A）中得到 即GLC并联电路可以等效为导纳Y，Y=G+jB
四、阻抗和导纳的串联和并联
若两个阻抗Z1和Z2相并联，则等效阻抗和分流公式分别为
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§5.5 正弦稳态电路中的功率
本节主要是讲正弦稳态电路中的功率问题，我们应作为重点掌握。
一、无源二端网络的功率
如图所示为无源二端网络，电流和电压采用关联参考方向 下面我们来讨论在正弦稳态情况下，二端网络N的功率。
设端口电压为u（t）=UmCOS（ωt+θu） 电流I是相同频率的正弦量，设为i（t）=ImCOS（ωt+θi）则二端网络的瞬时功率为 P（t）=u（t）i（t）=UmImCOS（ωt+θu）COS（ωt+θi）可以化简成 P（t）=UICOS（θu-θi）+UICOS（2ωt+θi+θu）
在正弦稳态下，无源二端网络可以等效为阻抗Z，电压与电流的相位差等于阻抗角。
即 φz=θu-θi 故
上式表明：阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅大小有关，而且与COSφz有关，COSφz称为功率因数，故阻抗角称为功率因数角。
当阻抗为电阻性时，φz=0，COSφz=1，Pav=UmIm/2 。当阻抗为纯电赶或电容性时，φz=±90ο，COSφz=0，Pav=0，因此前面讨论的R、L、C元件的功率可以看成是阻抗功率的特殊情况。我们把UmIm/2 和UI称为视在功率，用S来表示，即
它的单位是伏安（VA）。
二、无功功率和复功率
在工程上还引用了无功功率的概念，用Q表示之
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无功功率的单位叫做无功伏安，简称乏（VAR）。任意阻抗Z的电压相量
与电流相量
之间的相位差等于阻抗角，如图A所示，
阻抗的平均功率看作是由电流与电压所产生的即
无功功率看作是电流与电压所产生的即
与电流相量的X分量
所产生的，而
与电流相量的Y
阻抗吸收的平均功率可看作电压相量分量
不消耗功率。
当阻抗为电感时，
=90ο，无功功率为
当阻抗为电容时，=-90ο， 无功功率为
工程上为了计算方便，把平均功率Pav，作为实部，无功功率Q作为虚部，组成复功率，用表示即
把平均功率Pav和无功功率Q代入上式得到Sejφz
我们画出Pav、Q、S之间的关系，它们构成了直角三角形。
下面再讨论复功率与电压相量
ejθu
=Imejθi
、电流相量之间的关系。
电流相量的共复数为我们可以得到 三、举例说明
=Ime-jθi =θu-θi
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例 电路的相量模型如图所示，已知R=10欧姆，XL=XC=10欧姆 =28.2
V。求整个电路的平均功率Pav，无功功率Q，
视在功率S和功率因数。
解 设RL串联支路的阻抗为 Z1=R+jXL=10+10j=14.1电容支路的阻抗为 Z2=-jXc=-j10通过阻抗Z1和Z2的电流相量分别为
总电流
所以 =-j2A 故
=2-2+j2=j2A
=28.2
×2
=40-j40VA=
平均功率为 Pav=40W 无功功率 Q=-40VAR
视在功率 S=56.4VA 功率因数角 φz=θu-θi=45ο-90ο=-45ο 所以 COSφz=0.707
总结：在求功率方面的问题是一定要注意正负问题，解此类问题一定不能粗心大意，必须认真一步一步 算出结果来。
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