斜瀚 Ｖｏ２． Ｎｏ３ ＳＣＩＥＮＣＥ ＦＡＮＳ 教育教学３ 平面向量与三角函数之间的联系 周小生 （江苏省兴化市教师进修学校 江苏 兴化摘讨平面向量与三角函数的关系问题。 ２２５７００） 要：平面向量与三角函数的图像和性质相结合的题目，是高考的热点类型，需要学生的重点掌握。本文通过数形结合的思想来探 三角函数 关键词：数学 平面向量【中图分类号】Ｇ６３３，６ 【文献标识码】Ｃ 【文章编号】１６７１—８４３７（２０１０）０３—００１３４—０１ （Ｉ）求角Ａ 考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是 高考的热点题型。此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三 角函数图象的基础上，要对平面向量和三角函数的性质灵活运 用，会用数形结合的思想来解题。 一 （ＩＩ）若Ｊ 一３，求ｔａｎＣ。 ＣＯＳ Ｂ—ｓｉｎ Ｂ 解析：本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数 的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识．考 查应用、分析和计算能力。 三角函数与向量的平移 例１．将函数ｙ＝ｓｉｎｍｘ（ｔｏ＞０） 图象按向量ａ：（～ ０）平移，平 Ｕ 移后的图象如图所示，则平移后的罔象所对应函数的解析式是 （ ）。 （Ｉ）‘． ｍ・ｎ＝ｌ，．＿．（一１，、／３）・ｃｏｓＡ，ｓｉｎＡ）＝ｌ，即、／３ ｓｉｎＡ— ｃｏｓＡ＝ｌ。 Ａ ｓｉｎ（ｘ＋ ） ｃ．ｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋ ） ｊ Ｂ・ｙ＝ｓｉｎ（ｘ一 ＇ｌＴ Ｄ．ｙ＝ｓｉｎ（２ｘ一 ） ２（ｓｉｎＡ’ 一ｃ。ｓＡ・争）＝ｌ，ｓｉｎ（Ａ一 ）＝ 。 ・・‘ｏ＜Ａ 竹，一－＜Ａ一 ，ｆ＜ ‘，．＿Ａ一 ＝ ，．・－Ａ＝手。 命题目的：本题考查 应用半面向量平移图象和应用数彤 （１Ｉ）由题知 ｌ＋ｓｉｎＢｃｏｓＢ ＝－３ ２ ２ 结合的思想解题的能力。 ＣＯＳ Ｂ－ｓｉｎ Ｂ 将函数ｙ＝ｓｉｎｏ）ｘ（ｔｏ＞ｏ）的图象按向量ａ＝（一 ，ｏ）平移，平移后 整理得ｓｉｎ Ｂ—ｓｉｎＢｃｏｓＢ一２ｃｏｓ Ｂ＝０． ２ ‘．‘ｃｏｓＢ≠０．‘．ｔａｎ Ｂ—ｔａｎＢ一２＝０。 ．的图象所对应的解析式为ｙ ｓｉｎ∞（ｘ ），由图象知，∞（詈 ） ＝ ．，‘．ｔａｎＢ＝２或ｔａｎＢ＝一ｌ。 所以（１）：２，因此选Ｃ。 而ｔａｎＢ＝一１使ＣＯＳ Ｂ—ｓｉｎ Ｂ＝０，舍去。．・．ｔａｎＢ＝２。 ’．．ｔａｎＣ＝ｔａｎ【叮Ｔ—ｆＡ＋Ｂ１］ 二 三角函数与向量的数量积、模 ＝一ｔａｎ（Ａ＋Ｂ） 一例２．已知向量ｉ＝（ｓｉｎｅ，１）， ＝（１，ｃ。ｓｅ），一手＜０＜手。 （Ｉ）若ｉｊ＿ ，求０； ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ 一 ± 一 一—８＋５ｘ／Ｙ （１Ｉ）求ｆｉ＋ｉ；ｆ的最大值。 解析：本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计 算能力。 １－２、／丁 １１ 例４．如图，在ＡＡＢＣ中，ＡＤ上ＡＢ ： ， ｌＩ：１． 口 （Ｉ）若ｉ上云，则ｓｉｎ０＋ｃ。ｓ０：０ 则 ． ： 由此得ｔａｎ０＝一１（一手＜０＜手），所以０＝－￣一－。 （Ⅱ）由ｉ：（ｓｉｎ０，１），云：（１，ｃ０ｓｅ）得， （Ａ）２ （Ｂ） （ｃ）孚 【答案】Ｄ 解析：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基 础知识，属于难题。 ・ｉ＋ｊ；：（ｓｊｎ０＋ｌ，１＋ｃ０ｓｏ） ＝ ＝ 蔚＝Ｉ ｌ・Ｉ蔚ｌ ＣＯｓ ＤＡｃ＝１ Ｉ．ＣＯＳＺ－ＤＡＣ＝Ｉ￣ＩＡ ｓｉｎ／ＢＡＣ： ｓｉｎＢ：、／丁 当ｓｉｎ（０＋ ，ｆ）＝１时， Ｉ＋＿；Ｊ取得最大值，即当０＝ 时，Ｊｉ＋ ｊ 的最３ｖ值为、／ ＋ｌ。 近几年高考试卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于 中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与 三角形综合的问题。 例３．已知Ａ，Ｂ，Ｃ是ＡＡＢＣ三内角，向量 ：（一１，、／ ）， ｎ ：ｃｏｓＡ，ｓｉｎＡ１，且 ．ｎ’：１ ｌ３４—
